# 关于向量组线性相关性的几种判定毕业设计

Several Methods for Judging the Related Linearity of Vectors Group Abstract

The Related Linearity of Vectors Group in Linear Algebra is one cornstone,the basis of its derivation and derived from our many other theories.So skilled master linear vector to determine the relevance of the method allows us to better understand the other theories.This article from the Vector Group,introduced the definition of a linear correlation to proceed,and then discussed a number of Vector Group to determine the method of linear correlation.For example,the definition of the use of linear correlation,the value of the determinant,rank of matrix,homogeneous solution of linear equations,Cramer's rule applied to vector groups,such as knowledge of the linear correlation found.And compare different methods to determine the conditions and scope of the application. Is to study solutions of linear equations existence and uniqueness of before the introduction of such a linear correlation,rank,and so a great group of linearly independent basic concepts.The use of these concepts can not only complete solution to the problem of linear equations,but also gives us a deeper understanding of the system of linear equations.At the same time,a way to build a linear vector method to determine the relevance of the bridge,so that conversion between each other.Linear vector in the determination of the relevance of the issue,we can structure the linear equations,solving linear equations in the process of vector can be linear or not the conclusions of the relevant. Vector Group to determine the linear correlation of theoretical knowledge as the basis of mathematical theory,in the real world, with extensive use of depth.A new adaptive subdivision scheme is presented based on the principle which is that three composed of every three adjacent vectors from a vertex of triangle mesh is computed to verify whether they are coplanar.If the determinate value is approximately equal to zero,the surface surrounding that vertex can be considered as fairly flat and the corresponding triangle needn’t be subdivided. Such an approach can cut down the amount of subdivisions during refining a mesh model and effectively accelerate the processing speed. Key words:Vectors group;Related dependence;Determinant;Judging method;Matrix;Cramer rule;Solution of system of linear equations

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-2-

loop 细分模式模板示意图 ·························22 ························· ························· 三维空间中 3 个向量线性相关 ······················· ······················23 ······················ 顶点平坦度定义的示意图 ·························24 ························· ························· 三角形分裂的 4 种情况 ··························· ··························26 ··························

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-2-

2.1 向量组线性相关性的定义 定义2.1 给定向量组 A : a1 , a2 , ???, am ，如果存在不全为零的数 k1 , k2 , ???, km ，使

k1a1 ? k2a2 ???? ? kmam ? 0

(2-1)

a1 ? ?1 (k2 a2 ? ??? ? km am ) ， k1

a1 , ???am?1 线性表示，即有 ?1 , ????m?1 使 am ? ?1a1 ? ?2a2 ? ??? ? ?m?1am?1 ，于是

?1a1 ???? ? ?m?1am?1 ? (?1)am ? 0

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x1a1 ? x2a2 ???? ? xmam ? 0 ，即 Ax ? 0 有非零解。
2.2 小结 只有充分理解了向量组线性相关的定义，我们才能找到不同的判定方法来判定某组 向量是否是线性相关的，并比较不同的判定方法的适用条件。

4

3.1 定义法 这是判定向量组的线性相关性的基本方法。定义法既适用于分量没有具体给出的抽 象向量组， 也适用于分量已经给出的具体向量组。 其定义是， 给定向量组 A : a1 , a2 , ???, am ， 如果存在不全为零的数 k1 , k2 , ???, km ，使 k1a1 ? k2 a ???? ? kmam ? 0 ，则称向量组A是线性相 2 关的，否则称它为线性无关。也就是说，只有当 k1 , k2 , ???, km 都为0时，

k1a1 ? k2a2 ???? ? kmam ? 0 才成立，则称向量组A是线性无关的 。
[1]

[1]

k1 (a1 ? a2 ) ? k2 (a2 ? a3 ) ? k3 (a3 ? a4 ) ? k4 (a4 ? a1 ) ? 0 ， (k1 ? k4 )a1 ? (k1 ? k2 )a2 ? (k2 ? k3 )a3 ? (k3 ? k4 )a4 ? 0 ，取 k1 ? k3 ? 1, k2 ? k4 ? ?1，则有 k1b1 ? k2b2 ? k3b3 ? k4b4 ? 0

[1]

5

3.3 利用齐次线性方程组的解进行判定 在应用定义法解一个齐次线性方程组， 需由该方程组是否有非零解来判定向量组的 线性相关性。即应用定义法的同时就应用了齐次线性方程组的解进行了判定。 对于各分量都给出的向量组 A : a1 , a2 , ???, am ， 若以 A ? (a1, a2 , a3 , ???am ) 为系数矩阵的齐 次线性方程组 Ax ? 0 有非零解向量，则此向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是线性相关的。若以

A ? (a1, a2 , a3 , ???am ) 为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax ? 0 只有零解向量，则此向量组 A : a1, a2 , ???, am 是线性无关的。例如：

[1]

?2 x1 ? 7 x2 ? 3 x3 ? 0 ? x ? 5x ? 7 x ? 0 ? 1 2 3 ? ?4 x2 ? 4 x3 ? 0 ?5 x1 ? x2 ? 11x3 ? 0 ?

3 ? ?2 7 ? 1 ?5 ?7 ? ? ? ? ? ? r1 ? r2 1 ?5 ?7 ? r1 ?r2 ? 2 7 3 ? (( ?2) r1 ? r2 5) A?? ??? ? ???? ? ?0 4 ? ?0 4 ? 4 4 ? ? ? ? ? 5 ?1 ?11? ? 5 ?1 ?11?
? 1 ?5 ?7 ? ? 1 ?5 ?7 ? ? 1 ?5 ?7 ? ? ? ? ? r3 ? r2 ? ? r4 ? r2 ? 0 17 17 ? ??? ? 0 1 1 ? ??? ? 0 1 1 ? ? ? ?0 4 4 ? ?0 1 1 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 24 24 ? ?0 1 1 ? ?0 0 0 ?
1 r2 17 1 r3 4 1 r4 24

a1 , a2 , a3 线性相关。
3.4 利用矩阵的秩判定向量组线性相关性 设向量组 A : a1 , a2 , ???, am 是由 m 个 n 维列向量所组成的向量组， 则向量组 ? 的线性相

6

[1]

T ? a1 ? ? T? ?a ? T A ? ? 2 ? ?? B ? ... ? ? ? aT ? ? n?

( ? 为阶梯型矩阵)

[1]

[1]

n ? 1 个向量线性表示，从而知向量组 a1 , a2 , ???, an 是线性相关的；反之，如果B中没有零

a1 , a2 , ???, an 是线性无关的。

[1]

5? ? a1 ? ? 1 3 ?4 7 5 ? ? 1 3 ?4 7 ? ? ? ? ? ? A ? ? a2 ? ? ? 2 4 ?5 3 2 ? ? ? 0 ?2 3 ?11 ?8 ? ? a ? ? 4 6 ?7 ?5 ?3 ? ? 0 0 0 0 1? ? ? ? ? 3? ?

7

[1]

a1 ? (1,3, ?2,1,5), a2 ? (?2, ?2, 4,6, ?9), a3 ? (1, ?1, ?2, ?7, 4), a4 ? (1, ?3,5,9,5) 的线性相关性。

3 ?2 1 5 ? ? 1 3 ?2 ? a1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? a2 ? ? ? ?2 ?2 4 6 ?9 ? ? ? 0 4 0 A? ? a3 ? ? 1 ?1 ?2 ?7 4 ? ? 0 0 0 ? ? ? ? ? ?a ? 5 ? ? 1 ?3 5 ? 4 ? ? 1 ?3 5 9 1 5? ? 8 1? 0 0? ? 9 5?

ki ??1,2, ???, n?, i ? 1,2, ???, m, m ? n )线性相关，则向量组 a1 , a2 , ???, an 也一定线性相关。

1 ? ?1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? 1 1 ? ? ? ? ? ? A ? ? a1, a2 , a3 ? ? ?1 2 3 ? ? ? 0 1 2 ? ? ? 0 1 2 ? ?1 3 t ? ? 0 2 t ? 1? ? 0 0 t ? 5 ? ? ? ? ? ? ?

? 1 1 1 ? ? 1 0 ?1? ? ? ? ? A ? ? 0 1 2 ? ? ? 0 1 2 ? ，所以 a3 ? ?a1 ? 2a2 ?0 0 0? ?0 0 0 ? ? ? ? ?

8

1
[1]

0

2

1 0 2

[1]

9

? x1 ? x3 ? 0 ? 因为 a1 , a2 , a3 是线性无关的，所以 ? x1 ? x2 ? 0 ，由于此方程组的系数行列式 ?x ? x ? 0 ? 2 3 1 0 1 1 1 0 ? 2 ? 0 ，故方程组只有零解 x1 ? x2 ? x3 ? 0 ，所以向量组 b1 , b2 , b3 线性无关。 0 1 1

?1 0 1? ? ? (b1 , b2 , b3 ) ? ( a1 , a2 , a3 ) ? 1 1 0 ? ?0 1 1? ? ?

?1 0 1? ? ? 证明三：将已知条件可以写为 (b1 , b2 , b3 ) ? ( a1 , a2 , a3 ) ? 1 1 0 ? ?0 1 1? ? ?
) 3 记做 B ? AK ， 因为 k ? 0 ， 所以k可逆， 由矩阵的秩的性质可知 R( A) ? R( B) ， R( A ? ， 且

? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? ??? ? ? n ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 1 3 n 例3.8：设 ? ，证明向量组 a1 , a2 , ???, an 与 ?1 , ?2 , ???, ?n 等价。 ???? ? ? n ? ?1 ? ? 2 ? ??? ? ? n ?1 ?

? 0 1 ??? 1 ? ? ? ? 1 0 ??? 1 ? ，设为 ? ? ?? 证明： (?1 , ?2 , ???, ?n ) = (a1 , a2 , ???, an ) ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 1 1 ??? 0 ?

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(2)求 ? 的值。 解：(1)因为 ?? ? (?x, ?2 x, ?3 x) ? (?x, ?2 x,3?x ? ?2 x)
?0 0 0 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ? ( x, ?x, ? 2 x) ? 1 0 3 ? ? ?? ，然后可以得到 ? ? ? 1 0 3 ? ，使得 ?? ? ?? 。 ? 0 1 ?1 ? ? 0 1 ?1? ? ? ? ?

(2)因为得到了 ?? ? ?? ，且 ? ? ( x, ?x, ? 2x) ，而向量组 x, ?x, ?2 x 是线性无关的。故P 是可逆的。 ? ? ??? ?1 ，所以 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 0

3.6 反证法 在有些题目中，直接证明结论常常比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一 些与已知条件或已知的定义，定理，公理相悖的结果，从而结论的反面不成立，即结论 成立。此方法是数学中常用的证明方法，欲证命题真，先假设命题假，导出矛盾，从而 原命题得证。 例3.10：设向量组 A : a1 , a2 , ???, am 中任一向量 ai 不是它前面 i ? 1 个向量的线性组合，且

ai ? 0 ，证明向量组 A : a1, a2 , ???, am 是线性无关的。

k1 , k2 , k3 , ???km ，使得 k1a1 ? k2a2 ???? ? kmam ? 0

k k1 k a1 ? 2 a2 ??? ? m?1 am?1 km km km

k1a1 ? k2 a2 ? ??? ? km?1am?1 ? 0

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3.7 利用向量组在线性空间中象的线性关系进行判定 线性空间 V 中向量组 a1 , a2 , a3 ??? ar 线性相关的充要条件是它们的象

? (a1 ),? (a2 ),? (a3 ) ???? (ar ) 线性相关。

[2] [2]

0? ?1 0 0 0? ?1 0 0 0? ? ? ? ? ? 0? ?0 1 0 0? ?0 0 0 0? ? ? ?B 0? ?0 0 1 0? ?0 0 1 0? ? ? ? ? ? 0? ?0 1 0 0? ?0 1 0 0? 在此变换中，虽然没有直接交换矩阵A中的第一、二行位置，但可明显的看到，在 最后的结果 ? 中，已将第一、二行交换了位置。因此，如果因为矩阵 ? 的行向量组的极 大无关组由第一行、第三行与第四行的行向量构成，就得出结论说 ? 的行向量组的极大 0 1 0 0 0 0 1 0

12

?1 ? 0 A?? ?0 ? ?0

3.8.2 预备知识 以 V ( ? , n) 表示数域P上一个n维线性空间， ? n ? ?? x1 , x2 , ??? xn ? xi ? ? ? 。设 a1 , a2 , ???, an 是 V ( ? , n) 的基， ?a ?V ( ? , n) ，则 a 可由 a1 , a2 , ???, an 线性表示：

a ? x1a1 ? x2a2 ???? ? xn an

[2]

[2]

? ?1 ? ?1 ?? ? ? ? k ? 2 21 1 ? 2 ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? k ? ? k ? ? ??? ? k ? l l1 1 l2 2 l ( l ?1) l ?1 ? l ???? ??? ??? ? ? ? s ? ? s ? ks1?1 ? ks 2? 2 ? ???ks ( s ?1)? s ?1 ?

(3-1)

kij ? ?, i ? 2,3, ???, s, l ? 1, 2, ???, s ?1. 如果 ?i1 ? 0, ?i2 ? 0, ????ir ? 0, 则在向量组 ?1, ?2 , ????s 中去

?1 , ?2 , ????k 线性表示( 2 ? k ? s )，所以 ?1, ?2 , ????s 与 ?1,?2 , ????s 等价。

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3)因为 ?i1 ? 0, ?i2 ? 0, ????ir ? 0, 所以由(3-1)式有下式

?? i1 ? ?? i2 ? ???? ?? ? ir

? ?ki11?1 ? ki1 2? 2 ? ??? ? ki1 (i1 ?1)?i1 ?1 ? ?ki2 1?1 ? ki2 2? 2 ? ??? ? ki2 (i2 ?1)? i2 ?1 ??? ??? ? ?kir 1?1 ? kir 2? 2 ? ??? ? kir (ir ?1)? ir ?1

[2] [2] [2] [2]

? a11 ? a21 证明：令 A ? ? ? ??? ? ? a s1

a12 a22 ??? as 2

??? a1n ? ? ??? a2 n ? ??? ??? ? ? ??? asn ?

? 0 ? ? ??? ? 0 ? A ? ? ai11 ? ? 0 ? ??? ? ? 0 ? a12 ??? a( i1 ?1)2 ai1 2 a
(1) ( i1 ?1)2

a13 ??? a( i1 ?1)3 ai1 3 a
(1) ( i1 ?1)3

??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

??? a
(1) s2

??? a
(1) s3

? ? ??? ? a( i1 ?1) n ? ? ai1n ? ? A(1) ? a (1) ( i1 ?1) n ? ??? ? ? a (1) sn ? ? a1n

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? 0 ? ? ??? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 (1) A ? ? ??? ? ? 0 ?a ? i11 ? 0 ? ? ??? ? 0 ? 0 ??? 0 ai2 2 0 ??? 0 0 0 ??? 0 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? a1n ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ai2 ?1n ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ? ai2 n ? ? ai2 1 * ??? * ? ? ? 0 0 ??? * ? ??? ? ? ? ??? ? 或 A(1) ? ? ??? ??? ??? * ? ? ? ? ai1 ?1n ? ? 0 0 ??? * ? ? 0 0 ??? * ? ai1n ? ? ? ? * ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ??? ? ? ? 0 0 ??? * ? ? ? ? * ? ?

? 0 ? ? ??? ? 0 ? ? 0 ? 0 ? A ? ? ??? ? ? 0 ?a ? i11 ? 0 ? ? ??? ? 0 ?

0 ??? 0 ai2 2 0 ??? 0 0 0 ??? 0

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

0 ? ? ??? ? 0 ? ? * ? ??? ? ? ??? ? ? ain n ? 0 ? ? 0 ? ? ??? ? 0 ? ?

(3-2)

15

? 0 ? ? ??? ? 0 ? ? ai11 ? ? 0 (1) A ? ? ??? ? ? 0 ? 0 ? ? 0 ? ??? ? ? 0 ?

0 ??? ai2 2 0 0 ??? 0 0 0 ??? 0

??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ???

0? ? ??? ? 0? ? *? ? 0? 0? ? 0? 0? ? 0? ??? ? ? 0? ?

(3-3)

[2]

[2]

?3 ? (2,10, 4,11,0), ?4 ? (?1, ?5, 2, ?1,1), ?5 ? (3,15,0,14,8) 的极大无关组。

1 ? 1 ? ?0 0 2 0 ? ? ? 5 0 6 2 ? 2 ? ?1 5 6 0 0 0 ?1 ?6 ? ? ? 0 0 0 ?1 ?6 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ?28 ? ? 0 0 0 0 ?28 ? ?0 0 0 0 0 0 0 ?26 ? 0 ? ? ? ? 矩阵 ? 是一个拟阶梯形矩阵。 因为只需要将 ? 的第二行换至第一行，第一行换至 第二行，其余的行不变，则得下面的阶梯形矩阵 0 2 0 ?0 ? ?1 ? ?0 ? ?0 ?0 ?

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2 ? ?1 5 6 0 ? ? 1 ? ?0 0 2 0 ? 0 0 0 ?1 ?6 ? ? C ? ? ? 0 0 0 0 ?28 ? ?0 0 0 0 0 ? ? ? 最后一个矩阵 C 是一个阶梯形的矩阵，它是由矩阵 ? 经适当换行变换而得。按定义 ? 是一个拟阶梯形矩阵。由定理5知，相应于 ? 的非零行， ? 的行为第一行，第二行，

[7]

?2k1 ? 2k3 ? 0 ?k ? 3k ? 4k ? 0 ? 1 2 3 解：以 ?1 , ? 2 , ?3 为系数的齐次线性方程组 ? ??k1 ? 2k2 ? 3k3 ? 0 ??k1 ? k3 ? 0 ?

[7]

(1) 当 t 为何值时，向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关？ (2) 当 t 为何值时，向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关？ (3) 当向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关性，将 ?3 表示为 ?1 和 ? 2 的线性组合。 解：设有实数 x1 , x2 , x3 使 x1?1 ? x2?2 ? x3?3 ? 0 ，则得方程组
1 1 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 0 ，其系数行列式 D ? 1 2 3 ? t ? 5 ? x ? 3 x ? tx ? 0 1 3 t 2 3 ? 1
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(1)当 t ? 5 时，D ? 0 ，方程组只有零解，x1 ? x2 ? x3 ? 0 ，这时向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关。 (2)当 t ? 5 时， D ? 0 ，方程组有非零解，即存在不全为0的数 x1 , x2 , x3 ，使

x1?1 ? x2?2 ? x3?3 ? 0 ,此时 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关。
?1 1 1 ? ? 1 0 ?1? ? ? ? ? ?x ? x ? 0 (3)当 t ? 5 时，由 ?1 2 3 ? ? ? 0 1 2 ? 有 ? 1 3 ?1 3 5 ? ? 0 0 0 ? ? x2 ? 2 x3 ? 0 ? ? ? ?

[4]

m ? t ，则可从 ? 中选出 (t ? m) 个向量组 ? j1 , ? j 2 , ???, ? j (t ?m) ，使得向量组

C : ?1,?2 , ???,?m , ? j1, ? j 2 , ???, ? j (t ?m) 与向量组 ? 等价。

j ?1 t

k k 1 ?1 ? 2 ?2 ? ??? ? t ?t ，故 ?1 , ?1, ?2 , ??? ? t 与 ?1 , ?2 , ???, ?t , k1 k1 k1

(2)

?s ? ?

h h h h1 1 ?1 ? s ?1 ? s ?1 ? ? s ? s ?1 ? s ?1 ??? ? t ?t hs hs hs hs hs

18

3.11 有限维向量空间中向量组的线性关系的判别法 定义3.4
[12]

m 个向量，而 ?i 在基 ??1,?2 , ???,?n ? 中的坐标是 ? i ? (?i1,?i 2 , ???,?in )i ? 1, 2, ???, m
? a11 ? a12 令A?? ? ??? ? ? a1n a21 a22 ??? a2 n ??? am1 ? ? ??? am 2 ? 则把 ? 叫做向量组 ?1 , ?2 , ???, ?m 在基 ??1,?2 , ???,?n ? 下的坐标矩 ??? ??? ? ? ??? amn ?

[12]

i ?1 n

f (?1 ), f (?2 ), ???, f (?m ) 线性相关。由定理5知， f (?1 ), f (?2 ), ???, f (?m ) 线性相关的充要条

[12]

??1, ?2 , ???, ?n ?下的坐标矩阵分别是 A ? (aij )?m?n 和 B ? (bij )?m?n

(?1 , ?2 , ???, ?n ) ? (?1, ?2 , ???, ?n )T (? 1 , ? 2 , ???, ? m ) ? (?1, ?2 , ???, ?n ) A (? 1 , ? 2 , ???, ? m ) ? (?1, ?2 , ???, ?n ) B

19

(3-4) (3-5) (3-6) (3-7)

20

4.1 引言 曲面造型是CAD/CAM、CG、计算机动画、计算机仿真、计算机可视化等众多领域 的一项重要内容， 主要研究在计算机图像系统环境下对曲面的表示、 设计、 显示和分析。 经过30多年的发展，它已形成了以有理B样条曲面参数化特征设计和隐式代数曲面表示 这两类方法为主体，以插值、拟合、逼近这三种手段为骨架的几何理论体系。 在80年代后期，参数曲面是CAD/CAM 曲面的主要表示方法，尤其形成了NURBS 理论，使它成为工业产品几何形状定义的唯一数学描述方法。但随着计算机设计的几何 对象不断朝着多样化、特殊化、拓扑结构复杂化方向的发展，参数曲面的局限性也越来 越明显。 通常用参数曲面构造复杂拓扑结构的物体表面时，需要对曲面片进行剪裁或直接在 非规则的四边形网格上构造曲面片，无论哪种情况都要考虑片与片之间的光滑拼接，这 是很困难的。对于影视动画领域的活动模型，需要采用更加简便的方法来构造任意拓扑 结构曲面。 细分方法正是在这种情况下迅速发展起来，其基本思想是：采用一定的细分规则， 在给定的初始网格中渐进地插入新的顶点，从而不断细化出新的网格。重复运用细分规 则，在极限时，该网格收敛于一个光滑曲面。细分曲面就是由初始控制网格按照一定的 细分规则反复迭代而得到的极限曲面， 它具有以下优点： 适应任意拓扑结构、 仿射不变、 算法简洁通用高效、应用规模可大可小。 正是由于细分曲面有着传统参数曲面所不具备的优点，现已广泛应用于计算机辅助 几何设计、计算机动画造型及商业造型软件等领域。Loop细分网格具有局部性质，如果 移动初始网格上的一个顶点，在最终细分网格或细分曲面上，只会在邻近该顶点的有限 区域内发生改变。现有的细分模式主要分为插值和逼近两类，Doo-Sabin，Catmull-Clark 和Loop模式属于逼近模式，Kobbelt、 3 、蝶型模式以及改进的蝶型模式属于插值模式。 然而，用以上所有细分模式对模型进行细分的过程中，如：Loop方法的细分规则是 一分为四，每一层都是全局均匀细分的，随着细分次数的增多，网格的面片数呈指数级 增长。而在实际应用中通常只需对不平坦或曲率较高的区域进行细分，使这部分区域更 加光滑或者达到用户需要的曲面形态。对一块原来已光滑的区域，再细分也不会得到明 显的效果，只会增加数据量；当模型较大时，过多细分不但会给计算机的处理能力增加 负担，而且还会影响模型的处理速度，使模型难以控制并影响后续操作。解决这类问题 的办法是在细分某一层时，根据实际需要进行误差检测，在满足精度的范围内确定哪些 区域不再参与细分，尽可能以相对较少的面片来逼近目标曲面，这就是自适应细分所要 达到的目的。 所以根据线性代数中的判别准则：当空间3个向量线性相关时，则这3个向量在同一 平面上， 提出了一种新的Loop自适应细分方法。它利用顶点的局部信息来衡量该顶点 的1邻域是否平坦进而决定该区域是否参与细分。向量线性相关的充要条件是三者组成 的行列式的值为零。然而，在曲面模型上，三个紧邻边组成的向量不可能严格地落在同 一个平面上， 通过测试过同一顶点的各组三条紧邻边所构成的三维向量的行列式的平均
21

[13]

22

? 3v ? 3v1 ? v2 ? v3 ? V ?? 0 ? 8 ? ?

V ? (1 ? k ? k )V ? ? k ?Vi
i ?0

k ?1

?3 (k ? 3) ?16 ? ? ?? ? 1 ( 5 ? ( 3 ? 1 cos 2? ) 2 ) ?k 8 8 4 k ?

( k ? 3)

[13]

23

4.3.2 顶点平坦度 该文提出另一种以顶点平坦度作为阈值标准的自适应细分方法。对网格模型上的一 个顶点来说，过同一顶点的两条边确定了一个平面，如果可以判断过该顶点的第三条边 也在这个平面上，这三条边所组成的向量就线性相关。再依次前进判断上两条边和紧邻 的那一条新边是否也在同一平面上，反复迭代，直到回到第一条边，这样顶点V的1邻域 上所有相邻的三条边都参与了运算。图3为顶点平坦度的示意图，计算公式为 F (V ) ? F2 (V ) F (V ) ? lim 1 ?0 t ?t0 k ?1 其中， F1 (V ) ， F2 (V ) 分别为
F1 (V ) ? ? ni ?1
i ?0 k ?2

ni

nk ? 2 (i ? k ? 2) F2 (V ) ? nk ?1 n0 (i ? k ? 2, k ? 1)

ni ? 2

ni ? VVi ? ( x ? xi , y ? yi , z ? zi )

24

[13]

(2) 根据式(4-1)计算各个顶点的平坦度 F (V ) ，如果 F (V ) 满足给定的阈值ε，则标记其为 死点。 (3) 由三角形所含死点的情况，标记该三角形的死边和活边，并标记该三角形为死面还 是活面。 (4) 产生奇点(新点)。对于死边，不在其上插入新点。对于活边，新点的插入及方式和 计算位置采用的模板与Loop细分模式一样。 (5) 产生新面。对于死面，由于其含有死边的个数(Dod)至少为2，不再将其分裂，如图 4(d)所示。对于活面其分裂的方式又可分为两种： ·当Dod=0时，该活面采用Loop细分分裂成4个小三角形，如图4(a)所示。 ·当Dod=1时，不在死边插入新点，新的三角形生成方式取决于另外两条边端点的平坦 度大小。图4(b)为V1的平坦度大于V2时的新面生成方式，图4(c)为V1的平坦度小于或等 于V2的处理方式。 (6) 更新所有偶点的位置。采用的模板与通常的Loop细分相同。 (7) 进行下次细分，直至满足用户需要。

25

4.4 实验结果与分析 表4-1在给定同一阈值的情况下对比了这两种方法的实验结果。 从表4-1中可以看出， 传统方法经三次细分所得的面片数多于该文方法的，但两者差距不是很大(最多为247 个)。由于该文方法计算简单，细分次数越多，速度上的优势越明显。

26

4.5 小结 根据过同一起点的3个向量线性相关在同一平面上的原理，提出了一种新的自适应 细分方法，即对网格模型1邻域上过同一顶点的所有3个紧邻边组成的3个向量计算其是 否线性相关来判断该顶点的1邻域是否光滑，从而进一步判断该顶点是否参与细分。实 践证明该方法是有效的，可应用在复杂表面建模和细化，有效地对模型局部进行快速逼 近。

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[1] 杨燕新，王文斌．关于向量组线性相关的几种判定 [J]．山西农业大学学报， 8151(2005） ，292-294 [2] 罗秀芹，董福安，郑铁军．关于向量组的线性相关性的学习探讨[J]．高等数学研究， 9(2005)，18-19 [3] 李先富，胡劲松．判断向量组线性相关性的另一种方法[J]．四川理工学院学报（自 然科学版） ，9(2005)，94-95 [4] 肖艾平．向量组线性相关性的几种判定方法[J]．伊犁师范学院学报（自然科学版） ， 3(2008)：58-59 [5] 栾召平．证明向量组线性相关性的几种方法[J].山东电大学报，2（2002） ：61-62 [6] 张文彬，余建坤．利用初等变换求极大线性无关组[J]．云南民族学院学报（自然科 学版） ，l(2003)：12-15 [7] 同济大学应用数学系．线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2004．89 [8] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组．高等代数[M]． （第 2 版）北京：高等 教育出版社，1988，271 [9] 米涌，梁旭，吴伏娜等．不同类型糖代谢紊乱与老年危重病人 APACHEⅡ评分相关 性分析[J]．论文天下论文网，2007 [10] 王洪林，王春梅. 相同的线性相关性在线性代数中的应用[J]．河北工程技术 高等专科学校学报，1(2001)：43-45 [11] 彭立新,姜淑莲.单参变量向量组线性相关性的一个判定条件[J]．荆门职业技 术学院学报，2001，16(6)：55-57 [12] 王艳艳，张荣国，王蓉，孙博，刘焜.向量线性相关的三角网格自适应 Loop 细分 方法[J]．工程图学学报，1(2009)：92-96 [13]李珍珠． 有限维向量空间中向量的线性相关的判别法[J]． 零陵师专学报， 1994： 80-81 [14]E.K.Loginov．On Linear Representations of Analytic Moufang Loops[J]．Mathematical Notes，2003，73(3)：424-428 [15] O. V. Kaptsov ． Invariant tensors and partial differential equations[J] ． Siberian Mathematical Journal，2006，47(2)：258-268

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ab ? ca ? a(bc ? a) , (cb ? c)a ? c(b ? ca) , a(b ? cb) ? (ab ? c)b

(1)

x2 y ? x( xy) ， yx2 ? ( yx) x .

( x1, y1 )( x2 , y2 ) ? ( x1x2 ? ? y2 y1, y2 x1 ? y1 x2 )

z ? x ? ye ，我们设 z ? x ? ye ，然后设 z ? z 是代数 ( A, ? ) 的乘方扩大为 A 的乘方。

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（4） 凯莱－迪克森代数 O(? , ? , ? ) ? ( H (? , ? ), ? ) 。构建替代代数的归纳过程 (1)—(4)类型的代数被称作组成代数， 它们中的每一个都存在一个非退化二次型 （规范） n( x) ? xx 满足等式 n( xy) ? n( x)n( y) 。特别是，在 R 集上的实数，构建了上 述列举的三个分裂代数(if ? ? ? ? ? ? ?1 )和四个可除代数(if ? ? ? ? ? ? 1 )，即 R 集，复数集 C ，四元代数 H ，和凯莱代数 O 欧式范数 n( x) ? x 。另外，任何简单的 非结合替代代数与凯莱－迪克森代数 O(? , ? , ? ) 同构 ?3? 。 这组定义在 R 集上的所有可逆元素的有限维替代代数 A 与乘法密切相关且产 生了解析 Moufang 循环的概念。其切线代数与代数 A 的交换代数 A( ?) 是同构的。如 果 A 是个替代非结合代数，则交换代数 A( ?) 就不再是个李代数。这个代数，不同于
Jacobi 特征，我们称之为 Mal， 特征 tsev

J ( x, y, xz) ? J ( x, y, z) x ， J ( x, y, z) ? ( xy) z ? ( yz) x ? ( zx) y 是 x ， y ，z 元素的雅克比函数，并且具有 Sagle

( xy ? z)t ? ( yz ? t ) x ? ( zt ? x) y ? (tx ? y) z ? ( xz )( yt )

Mal， 特征和 Sagle 特征是等同的。一个反交换代数满足这样的特征被称作 tsev Mal， 代数。 tsev Mal， 代数与替代代数是密切相关的。例如，任何简单非李 Mal， 代数是 tsev tsev

O( ? ) R ?1 同构。一个半代数 A 分解到李中心 N ( A) 和有雅克比函数生成的 J ( A) ，然

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， 代数，和任何连接解析 Moufang 环的相同，切线代数可由一个独立的中央 Mal tsev

( p, ? ) : A ? M 。根据这个规则，向量空间上 A，M 的直接总和 A ? A ? M 由乘

(a, x)(b, y) ? (ab, x?b ? y?a )
~ ~

(3)

M 就是在 ? 类中代数 A(或一个单元)的双模，并且令 ( ? , ? ) 是在 ? 类中的代数 A 的

(a, b, x) ? ?( x, b, a) ? ?(a, x, b) ? (b, x, a)
~

? 是在 ( A, ? ) 通过左乘和右乘 A 而得到的。这是另外一种定义凯莱－迪克森双模的

l 按 照 S a g 的 e特 征 (2) ， 对 于 任 意 一 个 x, y, z ? A ， 如 果
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? (a) ? a 这样的 2 维 sl (2, F ) 模，在这里 a 是矩阵 a ? sl (2, F ) 的伴随矩阵。
3 线性代数的特征这个概念是很容易联想到 Moufang 循环。 假设 M 是一个定义在 ~ F 集上的线性空间，对 a ? G 而言 ( ?a , ?a ) 是 M 的可逆线性变换。在 G ? G ? M 集中，

~ 示。如果 G 是个解析 Moufang 环，另外我们能得到 G 环也是解析的。一下断言是众 所周知的【17，18】 。

: (b) x(b ? ab) ? ( xb ? a)b 且 (ab ? a) x ? a(b ? ax) ， 则 规 则 ( ? ,? ) G ? A u t M 被 称 作 就

Moufang 循环 G 的线性表示。 命题 2 任何一个 Moufang 循环 G 的束缚 G 模是某些不可替代双模的一个子模。 命题 3 任何分析 Moufang 循环是嵌入循环可逆因素的一些替代代数的实数域。 设 G 是一个连通解析 Moufang 环， 并设 G ? 是一个局部与 G 同构的简单连接环。 假设切线代数 AG 有个表示法 AG ? M 。 这就表示代数 AG 的分裂零扩展 AG? ? AG ? M 是一个 Mal， 代数。因此，我们可以利用 Campbell ? Hausdorff 系列法则 tsev
~ 1 1 1 xy ? x ? y ? [ xy ] ? ?? xy ? y ? ? [ x[ xy ]] ? ??? 构建相应的局部 Moufang 循环 U 和 U 。 ? 12 2 12 ?

? Bn B (? x )n 和 ?x ? ? n (?? x )n 来定义规则 n ?0 n ! n ?0 n !

?

( ? , ? ) : G ? AutM ，在这里 Bn 是 Bernoulli 数， y? x ? [ yx] 。显然，算子 ? x 和 ?x 是解

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~

~

~

?g g ? ?g ? g ? g ?g ， ?g g ? ? g ?g ?g ? g 。由于一个连接环是任何单位附近的元素的
i j i i j ?1 i j i i i j ?1 i

( ? , ? ) : G? ? AutM 转化来的。 命题 3 暗示 G ? 环可被某些替代代数 A 的可逆元素组成

~

~

??? : AG ? EndM 的组成是代数 AG 的一种表示法。因此，下面的定理是有效的。

Mal， 双模。 tsev

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[1] 【题目】关于向量组线性相关的几种判定 【作者】杨燕新, 王文斌 【关键词】线性相关；行列式；矩阵；克莱姆法则 【摘要】向量组的线性相关与线性无关性的判定较难理解和掌握。实际上, 向量组的线性相关与线性无关是相对的, 我们只要掌握了向量组的线性相关的 判定, 线性无关的判定也就没有问题了。因此,将行列式的值、矩阵的秩、齐次 线性方程组的解、克莱姆法则等知识运用于向量组的线性相关性的判定, 从而 导出八种关于线性相关与线性无关的判定方法。 [2] 【题目】利用初等变换求极大线性无关组 【作者】张文彬，余建坤 【关键词】极大线性相关性；初等变换 【摘要】在线性空间中，极大线性无关组的概念是一个重要的概念，求极大线性 无关组也就成为一个重要内容之一。 目前求极大线性无关组的方法归纳起来有所谓 的加法及矩阵的初等变换法。然而如果我们按添加法求极大无关组计算量是比较大 的, 故一般不采用此法，因此，给出利用矩阵的初等变换求极大无关组的方法，并 从理论上加以证明。此法简单易行，且计算量小。 [3] 【题目】关于向量组的线性相关性的学习探讨 【作者】罗秀芹，董福安，郑铁军 【关键词】向量组；线性相关性 【摘要】n维向量及其线性相关性这部分内容的定义、定理多，往往使人抓不住 要领， 本文将其归纳为以下三大类问题， 可针对每类问题学习、 应用相对应的定义、 定理，并介绍解决问题的思路、方法。 [4] 【题目】证明向量组线性相关性的几种方法 【作者】栾召平 【关键词】向量组；线性相关；线性无关 【摘要】向量组线性相关性概念较抽象，等价命题多而易混，使“证明问题”成 为教与学的难点。抓住关键，突出重点，归纳出证明向量组线性相关性问题的几种 方法，可以解决其难点。本文主要采用定义法、方程组法、矩阵秩法、反证法和数 学归纳法来解决有关向量组线性相关性的证明问题。 [5] 【Title】Independence of linear forms with random coefficients 【Author】G. P. Chistyakov1 · G¨ F. otze1 【key words】Vectors group；Related dependence； 【Abstract】We extend the classical Darmois–Skitovich theorem to the case where the linear forms Lr1 ? U1 X1 ? ??? ? U n X n and Lr 2 ? Un?1 X1 ???? ? U2n X n have random
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coefficients U1 , ???,U 2n . Under minimal restrictions on the random coefficients we completely describe the distributions of the independent random variables X1 , ???, X n
and U1 , ???,U 2n such that the linear forms Lr1 and Lr 2 are independent.

[6] 【Title】Taylor formula for homogenous groups and applications 【Author】Andrea Bonfiglioli 【key words】Determinant；Judging method；Matrix； 【Abstract】In this paper, we provide a Taylor formula with integral remainder in the setting of homogeneous groups in the sense of Folland and Stein (Hardy spaces on homogeneous groups. Mathematical notes, vol 28. Princeton University Press, Princeton, 1982). This formula allows us to give a simplified proof of the so-called ‘Taylor inequality’. As a by-product, we furnish an explicit expression for the relevant Taylor polynomials. Applications are provided. Among others, it is given a sufficient condition for the real-analiticity of a function whose higher order derivatives (in the sense of the Lie algebra) satisfy a suitable growth condition. Moreover, we prove the ‘L-harmonicity’ of the Taylor polynomials related to a ‘L-harmonic’ function, when L is a general homogenous left-invariant differential operator on a homogeneous group. (This result is one of the ingredients for obtaining Schauder estimates related to L). [7] 【题目】向量组线性相关性的几种判定方法 【作者】肖艾平 【关键词】线性相关；线性无关；齐次线性方程组 【摘要】在线性代数的学习中，向量线性相关性的判定很难理解和掌握. 向量线 性相关性是线性相关和线性无关的统称，而向量组的线性相关和线性无关是相对的， 只要掌握了向量组的线性相关的判定，向量组的线性无关的判定就同时解决了。将 行列式的值、矩阵的秩、齐次线性方程组的解等知识运用于向量组线性相关性判定， 归纳出六种判定向量组线性相关性的方法。 [8] 【题目】判断向量组线性相关性的另一种方法 【作者】李先富，胡劲松 【关键词】秩；向量组 【摘要】给出了判断向量组线性相关与线性无关的一个新方法，该方法简单、适 用。同时指出，该方法也适用于求向量组的秩。用本文的方法来判断其线性相关性 的过程就更加方便，从而更能体现该方法的优越性。这种方法由于只用到矩阵的初 等变换，所以操作简单。 [9] 【题目】单参变量向量组线性相关性的一个判定条件 【作者】彭立新,姜淑莲 【关键词】参变量；矩阵；线性相关 【摘要】本文将借助于矩阵的初等行变换方法，利用矩阵的秩，给出了含有一个

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3_2_2向量组线性相关性的判定案例.pdf
3_2_2向量组线性相关性的判定案例 - 例 1 讨论向量组 α 1 = (1

(设计) 向量组的线性相关性的判定方法浅析摘 要:...[7]杨燕新, 王文斌.关于向量组线性相关的几种判定...12 楚雄师范学院本科论文(设计) 致谢值此毕业论文...

3-2-2向量组的线性相关性的判定_图文.ppt
3-2-2向量组的线性相关性的判定 - 定理3.1 若向量组有一部分组线性相关, 则此向量 组线性相关. 证明 不妨设?1,?2, …,?r, …,?s中?1,?2, …,...

5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 4.向量的线性相关关的基本判定方式: i....这种题目相对较难,运用的技巧性较多,一般有这几种题目: 1.告诉你 A 向量组...