当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学苏教版选修2-2课件:第一章 导数及其应用 1.5.3


阶 段 一

阶 段 三

1.5.3
阶 段 二

微积分基本定理
学 业 分 层 测 评

1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义. 2.会利用微积分基本定理求函数的积分.

[基础· 初探] 教材整理 微积分基本定理 阅读教材P49“例1”以上部分,完成下列问题.
b F(b)-F(a) , 对于被积函数f(x),如果F′(x)=f(x),那么? ? f(x)dx= ?
?a

b F(b)-F(a) 即? ? F′(x)dx= ?
?a



判断正误: (1)微积分基本定理中,被积函数f(x)是原函数F(x)的导数.( )

(2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通常取原函数的常数 项为0.( )

(3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分区间上必须是连续 函数.( )

【答案】 (1)√ (2)√ (3)√

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________ 解惑:_________________________________________________________

[小组合作型]

求简单函数的定积分
求下列定积分:
2 2 (1)? ? (x +2x+3)dx; ?
?1

π (2)? ? (sin x-cos x)dx; ?
?0

(3)

?0 ? ? ?

(cos x-ex)dx.



【精彩点拨】 先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解.
【自主解答】 x3 2 (1)取F(x)= 3 +x +3x,

则F′(x)=x2+2x+3, 25 从而 (x +2x+3)dx= F′(x)dx=F(2)-F(1)= 3 .
?2 ? ? ?1

2

?2 ? ? ?1

(2)取F(x)=-cos x-sin x, 则F′(x)=sin x-cos x,
π ?π 从而? ? (sin x-cos x)dx=? F′(x)dx=F(π)-F(0)=2. ? ?
?0 ?0

(3)取F(x)=sin x-ex, 则F′(x)=cos x-ex,
x 0 从而? (cos x - e )dx ? ?
? -π

0 =? ? F′(x)dx ?
?



=F(0)-F(-π) 1 =eπ-1.

求简单的定积分关键注意两点 (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数, 当原函数不易求时,可将被积函数适当变形后再求解. (2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

[再练一题] x-1 1. x2 dx=________.
?2 ? ? ?

1

【导学号:01580025】

【解析】
? =?ln ?

?2 ? ? ?1

?1 x-1 1? ?2? - 2?dx 2 dx=? ? ?x x? x ?
1

1? 1 ? 2+2 -(ln 1+1)=ln 2- . 2 ?

1 【答案】 ln 2- 2

求分段函数的定积分

计算下列定积分. π ? ?sin x,0≤x<2, ? (1)f(x)=? π ?1,2≤x≤2, ? ?x-1,2<x≤4,
2 2 (2)? ? |x -1|dx. ?
?0

4 求? ? f(x)dx; ?
?0

【精彩点拨】 分,再求和.

? ? π? ?π (1)按f(x)的分段标准,分成 ?0,2? , ?2,2? ,(2,4]三段求定积 ? ? ? ?

(2)先去掉绝对值号,化成分段函数,再分段求定积分.

【自主解答】
2 ?π ? 4 ? ? ? 1 ?2 ?π ? 2 ?? x)? +x? +?2x -x?? ?2 ?0 ?2



?4 ? ? ?

(x-1)dx=(-cos

2

? π? π =1+?2-2?+(4-0)=7-2. ? ?
2 2 2 2 ?1 ?2 (2)? ? |x -1|dx=? (1-x )dx+? (x -1)dx ? ? ?
?

0

?

0

?

1

1 ? 1 3?? =?x-3x ?? ? ?? ?0

2 ?1 3 ?? +?3x -x?? ? ?? ?1

=2.

1.本例(2)中被积函数f(x)含有绝对值号,可先求函数f(x)的零点,结合积分 区间,分段求解. 2.分段函数在区间[a,b]上的定积分可分成n段定积分和的形式,分段的标 准可按照函数的分段标准进行. 3.带绝对值号的解析式,可先化为分段函数,然后求解.

[再练一题]
3 2.计算定积分:? (|2x+3|+|3-2x|)dx. ? ?
?-3

【解】

设f(x)=|2x+3|+|3-2x|,x∈[-3,3],

? ?-4x,-3≤x<-3, 2 ? ? 3 3 则f(x)=?6,-2≤x≤2, ? ? 3 4x,2<x≤3. ? ?
3 所以? (|2x+3|+|3-2x|)dx ? ?
?-3

?9 ? ?3 3? ? 9? =-2×?4-9?+6×?2+2?+2×?9-4?=45. ? ? ? ? ? ?

[探究共研型]

利用定积分求参数
探究1 满足F′(x)=f(x)的函数F(x)惟一吗? 【提示】 不唯一,它们相差一个常数,但不影响定积分的值. 探究2 如何求对称区间上的定积分?
【提示】 在求对称区间上的定积分时,应首先考虑函数性质和积分的性 质,使解决问题的方法尽可能简便.

已知f(x)是一次函数,其图象过点(1,4),且
?1 ? ? ?0

f(x)dx=1,求f(x)的解析式.

【精彩点拨】 设出函数解析式,由题中条件建立两方程,联立求解.
【自主解答】 4.①
1 ?k 2 ?? ? 1 ?1 又? ? f(x)dx=? (kx+b)dx=? x +bx?? ? ? ?2 ??0 ? ? 0 0

设f(x)=kx+b(k≠0),因为函数的图象过点(1,4),所以k+b=

k k =2+b,所以2+b=1.②

由①②得k=6,b=-2,所以f(x)=6x-2.

1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,利用微积 分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. 2.计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数f(x)、积分上限与 积分下限、积分区间与函数F(x)等概念.

[再练一题] 3.上例中,若把“已知f(x)是一次函数”改为“已知f(x)=ax2+bx(a≠0)”, 其余条件不变,求f(x)的解析式.
【解】
?1 ? ? ?0

∵函数的图象过点(1,4),∴a+b=4,①
?1 ? ? ?0

又 f(x)dx= (ax a b ∴ + =1,② 3 2

2

?a 3 b 2? 1 a b +bx)dx=?3x +2x ?| 0=3+2, ? ?

由①②得a=6,b=-2,所以f(x)=6x2-2x.

[构建· 体系]

1 1. x dx=________.
?e ? ? ?1

【解析】

?e ? ? ?1

1 e |1=ln e-ln 1=1. dx = ln x x

【答案】 1

x π 2.? ? (2sin x-3e +2)dx=________. ?
?0

【解析】

?π ? ? ?0

π (2sin x-3ex+2)dx=(-2cos x-3ex+2x) |π = 7 + 2 π - 3 e . 0

【答案】 7+2π-3eπ
1 2 3.计算? ? x dx=________. ?
?0

【解析】

?1 3? 1 31 1 2 ?1 2 ? ? | 0= . 由于 3x ′=x ,所以? x dx = x ? 3 3 ? ? ?
0

1 【答案】 3

2 4.已知2≤? ? (kx+1)dx≤4,则实数k的取值范围为________. ?
?1
?2 ? ? ?1

【解析】

?1 2 ? 2 ?1 ? 3 3 ? ? ? ? | (kx+1)dx= 2kx +x 1 =(2k+2)- 2k+1 =2 k+1,所以2≤ 2 k+ ? ? ? ?

2 1≤4,解得3≤k≤2.
【答案】
?2 ? ? ,2? ?3 ?

2 5.已知f(x)=ax+b,且? 1-1f (x)dx=1,求f(a)的取值范围. ?
2 【解】 由f(x)=ax+b,? 1-1f (x)dx=1, ?

2 2 得2a +6b =3,2a =3-6b ≥0,所以- 2 ≤b≤ 2 ,
2 2 2 2

? 1?2 19 3 2 19 ? ? b - 所以f(a)=a +b=-3b +b+ =-3 6? +12,所以- 2 ≤f(a)≤12. 2 ?
2 2

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(十)

点击图标进入…


赞助商链接
相关文章:
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...新课改高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题...( x ) = 在 1 3 1 2 x + ax + 2bx + ...
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章...
最新人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用》本章小结 - 知识建构? 1.导数的概念? 函数 y= f ( x) 在 x=x0 处的导数记作 ,其定义用符号表示为 ...
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》教学...
最新人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用》教学设计 - 教学设计 第一章 导数及其应用复习课 本章知识网络 知识点精析 (一)求函数的导数 1.导数的基本...
【高中数学选修2-2:第一章-导数及其应用-单元测试题
高中数学选修2-2:第一章-导数及其应用-单元测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数学选修 2-2 第一章 单元测试题一、选择题(本大题共 12 小题,每...
高二数学 选修2-2 导数及其应用测试卷 (含答案)
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高二数学 选修2-2 导数及其应用测试卷 (含答案)_...高二数学(理)选修2-2第一... 8页 5下载券 新...
数学选修2-2第一章导数及其应用练习题
数学选修2-2第一章导数及其应用练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数练习题 2015 年春 第一章 1.1 1.1.1 Δy 则Δx等于( A.4 ). B.4x ...
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结
高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结 - 数学选修 2-2 导数及其应用知识点必记 1.函数的平均变化率是什么? 答:平均变化率为 f ( x 2 ) ? f (...
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)
新课标高二数学选修2-2第一章导数及其应用测试题(含答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学选修 2-2 第一章导数及其应用测试题一选择题(本大题共 ...
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元检测卷含解析
高中数学选修2-2第一章导数及其应用》单元检测卷含解析_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修 2-2 第一章导数及其应用》单元检测题 本试卷分第Ⅰ卷(选择...
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用复习》...
最新人教版高中数学选修2-2第一章导数及其应用复习》示范教案(第1课时) - 第一章 导数及其应用复习课 本章知识网络 知识点精析 (一)求函数的导数 1.导数...
更多相关标签: