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2014届高三数学 解三角形的综合问题期末复习测试卷 文

解三角形的综合问题
(40 分钟) 一、选择题 1.(2013·淮南模拟)三角形两条边长分别为 2 和 3,其夹角的余弦值是方程 2x -3x+1=0 的根,则此三角形周 长为( A. ) B.7 C.5+ D.5+2 ,AC=1,B=30°,则△ABC 的面积等
2

2.(2013·遂宁模拟)在△ABC 中,AB= 于( A. C. 或 ) B. D. 或

3.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40nmile 的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30min 后到达 B 处,在 C 处 有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 C.20 nmile nmile ) B.10 D.20 n mile nmile +1,面积为 sinC 且 sinA+sinB= D.90° , , ,则此人( ) sinC,则角 C 为( )

4.(2013·天津模拟)已知△ABC 的周长为 A.30° B.60° C.45°

5.某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 A.不能作出这样的三角形 B.能作出一个锐角三角形 C.能作出一个直角三角形 D.能作出一个钝角三角形 二、填空题

6.(2013 ·马鞍山模拟 ) △ A BC 中 , 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 若 c=2asinC,bc=4, 则△ ABC 的面积 是 . .

7.(2012· 湖北高考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)=ab,则角 C=

8.(2013 ·运城模拟 ) △ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的 边 a,b,c 成等差数列 , 且最大角是最小角的 2 倍 , 则
-1-

cosA+cosC= 三、解答题

.

9.(2013·重庆高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a, b,c,且 a =b +c + (1)求 A. (2)设 a= ,S 为△ABC 的面积,求 S+3cosBcos C 的最大值,并指出此时 B 的值.

2

2

2

bc.

10.(2013·四川高考)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=- . (1)求 sinA 的值. (2)若 a=4 ,b=5,求向量 在 方向上的投影.

11.已知甲船正在大海上航行. 当它位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待 营救,甲船立即以 10 海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30°,相距 10 海里 C 处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达. (1)试问乙船航行速度的大小. (2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到 1°).

答案解析 1.【解析】选 C.方程 2x -3x+1=0 的根是 和 1,所以三角形中该夹角的余弦值为 ,由余弦定理得第三边长
2


2

=
2 2

,所以该三角形的周长为 5+

.

2.【解析】选 C.由余弦定理得 AC =BC +AB -2BC·ABcosB, 即 1=BC +3-2×BC× 化简得 BC=1 或 BC=2. 所以 S△ABC= AB·BC·sinB= 或 .
2

×

,

3. 【 解 析 】 选 A. 如 图 , 由 条 件 可 知 △ ABC 中 , ∠ BAC=30 ° , ∠ ABC=105 ° ,AB=20nmile, ∠ ACB=45 ° , 由 正 弦 定 理 得 BC=10 nm ile,故选 A. = ,所以

-2-

4.【解析】选 B.由题意知



所以 cosC=

=

=

= ,所以 C=60°.

5.【解析】选 D.设三角形的面积为 S,三边长分别为 a,b,c,则 a× b=22S,c=10S,由余弦定理, cosA= == <0,所以 A 为钝角.

=S,所以 a=26S,同理可得另两边长

6.【解析】由正弦定理得 sinC=2sinAsinC, 所以 sinA= , 所以 S△ABC= bcsinA= ×4× =1. 答案:1 7.【解析】由(a+b-c)(a+b+c)=ab, 可知 a +b -c =-ab. 又 cosC= 答案:120° 8.【解析】设 A 为最大角,则 A=2C,a+c=2b, ① = ,则 = =c, . ② =- ,所以 C=120°.
2 2 2

所以 cosC=

由①②得 a= c,则 cosC= , cosA+cosC=2cos C-1+cosC= . 答案: 9.【解析】(1)由余弦定理得 cos A= 又因 0<A<π ,所以 A= . = =.
2

-3-

(2)由(1)得 sinA= ,又由正弦定理及 a= S= bcsinA= · ·asinC=3sinBsinC,



因此,S+3cosBcosC=3(s inBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C). 所以,当 B =C, 即 B= = 时,S+3cosBcosC 取得最大值 3.

10. 【解析】(1)由 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+C)=- , 得 cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=- . 则 cos(A-B+B)=- ,即 cosA=- . 又 0<A<π ,则 sinA= . (2)由正弦定理,有 所 以 sinB= = . = ,

由题知 a>b,则 A>B,故 B= . 根据余弦定理,有(4 ) =5 +c -2×5c×
2 2 2

,

解得 c=1 或 c=-7(负值舍去). 故向量 在 方向上的投影为| |cosB= .

11.【解题提示】据题意作出示意图,把实际问题转化为解三角形问题,利用正、余弦定理求解. 【解析】(1)设 C 与 B 的距离为 x 海里,所用时间为 =2(小时),

则 x =AC +AB -2AB·ACcos120° =10 +20 +2×20×10× =700, 所以 x=10 ,v 乙= =5 (海里/小时),所以乙船航行速度为 5 海里/小时.
2 2

2

2

2

(2)设∠ACB=θ ,
-4-



=

,

=

,

则 sinθ =

≈0.655,得θ ≈41°,

所以乙船应朝北偏东 71°的方向沿直线前往 B 处救援.

-5-


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