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【小学奥数题库系统】1-2-2-1 分数裂项.教师版


分数裂项计算

教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分 运算,使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的 前提,是能力的体现,对学生要求较高。

知识点拨
分数裂项
一、 “裂差”型运算
将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整 数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的 观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂 的计算, 一般都是中间部分消去的过程, 这样的话, 找到相邻两项的相似部分, 让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数, 即
1 1 1 1 那么有 = ( ? ) a×b b ? a a b 1 形式的, 这里我们把较小的数写在前面, 即a <b, a×b

(2)对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数,即: 1 1 , 形式的,我们有: n × (n + 1) × (n + 2) n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3)
1 1 1 1 = [ ? ] n × (n + 1) × (n + 2) 2 n × (n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 = [ ? ] n × (n + 1) × (n + 2) × (n + 3) 3 n × (n + 1) × (n + 2) (n + 1) × (n + 2) × (n + 3)

裂差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是 1 的,复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数)的,但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 (2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” (3)分母上几个因数间的差是一个定值。

二、 “裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:

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a 2 + b2 a2 b2 a b a+b a b 1 1 = + = + (2) = + = + a×b a×b a×b b a a×b a×b a×b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比: 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的, 同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
(1)

例题精讲
1 1 1 1 1 。 + + + + = 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】美国长岛,小学数学竞赛 ?1 1 ? ? 1 1 ? ?1 1? 1 1 5 【解析】 原式 = ? ? ? + ? ? ? +? + ? ? ? = ? = ?1 2 ? ? 2 3 ? ?5 6? 1 6 6 1 1 1 1 ,计算过程就要变为: 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一,如改为: + + + 1× 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 1 1 1 1 ?1 1 ? 1 + + + =? ? ?× . 1× 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 ? 1 9 ? 2 5 【答案】 6

【例 1】

1 1 1 + + ...... + 10 × 11 11 × 12 59 × 60 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = ( ? ) + ( ? ) + ...... + ( ? ) = ? = 10 11 11 12 59 60 10 60 12 1 【答案】 12

【巩固】

2 2 2 2 + +? + + = 10 × 9 9 × 8 5× 4 4×3 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1? ?1 1 ? 7 ?1 1 1 1 2×? ? ? = 【解析】 原式 = 2 × ? ? + ? + ? + ? + ? ? = 4 5 3 4? ? 3 10 ? 15 ? 9 10 8 9 7 【答案】 15

【巩固】

1 1 1 1 + + + ?? + 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + ? + 100 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单 的项开始入手,通过公式的运算寻找规律。从第一项开始,对分母进行等差数列求和运算公式的 1 1 2 1 1 2 代入有 , ,……, = = = = 1 (1 + 1) × 1 1 × 2 1 + 2 (1 + 2) × 2 2 × 3 2 2 2 2 2 2 1 200 99 原式 = + + + ?? + = 2 × (1 ? )= = 1 1× 2 2 × 3 3 × 4 100 × 101 101 101 101 99 【答案】 1 101 1 1 1 1 【例 3】 + + +? + = 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算

【例 2】

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 50 + + +? + = × (1 ? + ? + … + ? ) = 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 2 3 3 5 99 101 101 50 【答案】 101

【解析】

1 1 1 ? ? 1 + + +? + 【巩固】 计算: 25 × ? ?= 23 × 25 ? ? 1× 3 3 × 5 5 × 7 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2009 年,迎春杯,初赛,六年级 1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? 25 24 ? ? = 25 × × ?1 ? = = 12 【解析】 原式 = 25 × × ?1 ? + ? + ? + × ? 2 ? 3 3 5 23 25 ? 2 ? 25 ? 2 25 【答案】 12
251 251 251 251 251 + + +? + + 4 × 8 8 × 12 12 × 16 2000 × 2004 2004 × 2008 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,台湾,小学数学竞赛,初赛 251 ? 1 1 1 1 1 ? ×? + + +? + + 【解析】 原式 = ? 16 ? 1 × 2 2 × 3 3 × 4 500 × 501 501 × 502 ? 251 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? = × ?1 ? + ? + ? + ? + ? ? 16 ? 2 2 3 3 4 501 502 ? 251 501 501 21 = × = = 15 16 502 32 32 21 【答案】 15 32

【巩固】

3 2 4 5 6 7 1 + + + + + + = 2 × 5 5 × 7 7 × 11 11 × 16 16 × 22 22 × 29 29 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = ? + ? + ? + ? + ? + ? + = 2 5 5 7 7 11 11 16 16 22 22 29 29 2 1 【答案】 2

【巩固】 计算:

1 1 1 1 1 1 1 1 【例 4】 计算: ( + + + + + + + ) × 128 = 8 24 48 80 120 168 224 288 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,101 中学 1 1 1 1 【解析】 原式 =( + + +? + ) × 128 2× 4 4×6 6×8 16 × 18 1 1 1 1 1 1 1 = × ( ? + ? +?+ ? ) × 128 2 2 4 4 6 16 18 1 1 = ( ? ) × 64 2 18 4 = 28 9 4 【答案】 28 9 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 + + _______ + + + + + = 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,第六届,走美杯,初赛,六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为:
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1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + 6 12 20 30 42 56 72 90 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10 1 1 2 = ? = 2 10 5 2 【答案】 5 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 3 6 10 15 21 28 【考点】分数裂项 【难度】6 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,第 6 届,走美杯,6 年级,决赛 1 1 1 1 【解析】 原式 = 1+ + + +? + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

【巩固】 1 +

2 2 2 = 1+ + +? + 2 × 3 3× 4 7×8

1 1? ?1 1 1 1 1 = 2? + ? + ? +? + ? ? 7 8? ?2 2 3 3 4 ? 1? 7 =2 × ?1 ? ? = ? 8? 4
【答案】
7 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? 2 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2006 年,第 4 届,走美杯,6 年级,决赛 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 =? ( + + + + + + + ) 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10

【巩固】 计算:

=

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? + ? +?+ ? ) 2 2 3 3 4 9 10

1 1 1 1 = ?( ? ) = 2 2 10 10

【答案】

1 10

1 1 1 1 1 。 + + + + = 10 40 88 154 238 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = + + + + 2 × 5 5 × 8 8 × 11 11 × 14 14 × 17 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? = ×? ? + ? + ? + ? + ? ? 3 ? 2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 ?

【巩固】

1 ?1 1 ? 5 = ×? ? ? = 3 ? 2 17 ? 34 5 【答案】 34

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1 1 1 1 + + +?+ 1× 3 × 5 3 × 5 × 7 5 × 7 × 9 2001 × 2003 × 2005 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2005 年,第 10 届,华杯赛,总决赛,二试

【例 5】 计算:

= 【解析】 原式

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ?? ? ? ? ? ?+? ? +? + ? ?? 4? 1 × 3 3 × 5 3 × 5 5 × 7 2001 × 2003 2003 × 2005 ? ? ? ? ?? ??

1 ? 1 1 ? 1004003 = ×? ? ?= 4 ? 1 × 3 2003 × 2005 ? 12048045
【答案】
1004003 12048045

7 ? × 4.5 + 0.16 1 1 ? ?1 1 18 【例 6】 ×? + + + ?= 1 13 ? 3.75 × 3.2 ? 3 15 35 63 ? 3 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2007 年,仁华学校 7 9 16 ? 1 × + 1 1 1 ? ? 1 18 2 90 【解析】 原式 = ×? + + + ? 1 1 3 3 5 5 7 7 9? × × × × 13 ? 3 × 1.25 × 4 × 0.8 ? 3 7 1 + 4 6 × 1 × ?1 ? 1 + 1 ? 1 + ? ? ? + 1 ? 1 ? = ? ? 1 7 9? 13 ? 12 2 ? 3 3 5 3 46 3 1 8 23 = × × × = 24 4 2 9 36 23 【答案】 36
1 1 1 1 1 【例 7】 计算: 1 + 2 + 3 + 4 + ? + 20 2 6 12 20 420 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】第五届,小数报,初赛 1 1 ? ?1 1 1 +?+ 【解析】 原式 = (1 + 2 + 3 + ? + 20 ) + ? + + + ? 420 ? ? 2 6 12 20 1 1 1 1 1 =210 + + + + +? + 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 20 × 21 1 1 1 1 1 1 1 = 210 + 1 ? + ? + ? + ? + ? 2 2 3 3 4 20 21 1 20 = 210 + 1 ? = 210 21 21 20 【答案】 210 21 1 1 1 1 1 = 。 + 2009 + 2010 + 2011 + 2012 18 54 108 180 270 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,学而思杯,6 年级,1 试 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = 2008 + 2009 + 2010 + 2011 + 2012 + + + + + 3 × 6 6 × 9 9 × 12 12 × 15 15 × 18

【巩固】 计算: 2008

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1 ?1 1 1 1 1 1? 5 = 2010 × 5 + × ? ? + ? + ? + ? ? = 10050 9 ?1 2 2 3 5 6? 54
【答案】 10050
5 54

1 1 2 2 4 + + + + = ____。 2 6 15 35 77 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【关键词】2009 年,学而思杯,6 年级 1 3 ? 2 5 ? 3 7 ? 5 11 ? 7 【解析】原式 = + + + + 2 6 15 35 77

【巩固】 计算:

【题型】计算

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ? + ? + ? + ? 2 2 3 3 5 5 7 7 11 1 10 = 11 11

=? 1

【答案】

10 11

1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 计算: + + + + + + 3 15 35 63 99 143 195 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 ……, 【解析】 分析这个算式各项的分母, 可以发现它们可以表示为:3 = 22 ? 1 = 1 × 3 ,15 = 42 ? 1 = 3 × 5 , 2 195 = 14 ? 1 = 13 × 15 , 1 1 1 1 1 1 1 所以原式 = + + + + + + 1 × 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 9 × 11 11 × 13 13 × 15 1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ?1 1? = × ? ? ? + × ? ? ? +? + ×? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? 13 15 ? 1 ?1 1 ? 7 = ×? ? ? = 2 ? 1 15 ? 15 7 【答案】 15

1 5 11 19 29 9701 9899 . + + + + +? + + = 2 6 12 20 30 9702 9900 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2008 年,四中 1? 1 ? ? 1? ? 1? ? ? 【解析】 原式 = ?1 ? ? + ?1 ? ? + ?1 ? ? + ? + ?1 ? ? ? 2 ? ? 6 ? ? 12 ? ? 9900 ?

【巩固】 计算:

1 1 ? 1 ? = 99 ? ? + +?+ ? 1 2 2 3 99 100 × × × ? ? 1 1 ? ? 1 1 1 = 99 ? ?1 ? + ? + ? + ? ? 99 100 ? ? 2 2 3 1 ? 1 ? = 99 ? ?1 ? ? = 98 100 ? 100 ?
【答案】 98
1 100
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1 1 1 + +? + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 7×8×9 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 ? ( n + 1) ? ( n ? 1) 1 1? 1 1 = = ? 【解析】 首先分析出 ? ? ( n ? 1) × n × ( n + 1) 2 ( n ? 1) × n × ( n + 1) 2 ? ? ( n ? 1) × n n × ( n + 1) ? ?

【例 8】

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 × ?? ? ? ? ? 原式 = ?+? ? +? + ? ?+? ?? 2 ?? 1 × 2 2 × 3 ? ? 2 × 3 3 × 4 ? ? 6 × 7 7 × 8 ? ? 7 × 8 8 × 9 ??
1 ? 1 1 ? = ×? ? ? 2 ? 1× 2 8 × 9 ? 35 = 144
【答案】
35 144

1 1 1 + +? + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 98 × 99 × 100 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式= ×( ? + ? + + ??? + ? ) 2 1× 2 2 × 3 2 × 3 3 × 4 3 × 4 98 × 99 99 × 100 1 1 1 1 4949 4949 = ×( ? )= × = 2 1 × 2 99 × 100 2 9900 19800 4949 【答案】 19800

【巩固】 计算:

1 1 1 1 + + +? + 1× 3 × 5 2 × 4 × 6 3 × 5 × 7 20 × 22 × 24 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 + +…+ + +…+ 【解析】 原式= 1× 3 × 5 3× 5× 7 19 × 21 × 23 2 × 4 × 6 20 × 22 × 24 1 1 1 1 1 1 = ( - )+ ( - ) 4 1 × 3 21 × 23 4 2× 4 22 × 24 10465 40 65 28160 = + = + 340032 483 2112 340032 38625 = 340032 38625 【答案】 340032

【巩固】 计算:

4 4 4 4 + + ...... + + 1× 3 × 5 3 × 5 × 7 93 × 95 × 97 95 × 97 × 99 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 = ( ? )+( ? ) + ...... + ( ? )+( ? ) 1× 3 3 × 5 3× 5 5× 7 93 × 95 95 × 97 95 × 97 97 × 99 3200 1 1 = = ? 1 × 3 97 × 99 9603 3200 【答案】 9603

【巩固】

99 98 97 1 + + +? + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 99 × 100 × 101 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 99 100 ? 1 100 100 = = - = - 【解析】 1× 2 × 3 1× 2 × 3 1× 2 × 3 2 × 3 1× 2 × 3 2 × 3

【巩固】

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1 98 100 ? 2 100 2 100 = = - = - 2 × 3× 4 2 × 3× 4 2 × 3× 4 2 × 3× 4 2 × 3× 4 3× 4 97 100 ? 3 100 3 100 1 = = - = - …… 3× 4 × 5 3× 4 × 5 3× 4 × 5 3× 4 × 5 3× 4 × 5 4×5 1 100 ? 99 100 99 100 1 = = - = - 99 × 100 × 101 99 × 100 × 101 99 × 100 × 101 99 × 100 × 101 99 × 100 × 101 100 × 101 100 100 100 100 1 1 1 原式 = + + + ... + ?( + + ... + ) 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 99 × 100 × 101 2 × 3 3 × 4 100 × 101 1 1 1 1 1 51 = 100 × × ( ? )?( ? )= 24 2 2 10100 2 101 101 51 【答案】 24 101 1 1 1 1 1 + + + ??? + + 1× 2 × 3 × 4 2 × 3 × 4 × 5 3 × 4 × 5 × 6 6 × 7 × 8 × 9 7 × 8 × 9 × 10 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? + ? +? + ? 【解析】 原式 = × ? ? 3 ? 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 7 × 8 × 9 8 × 9 × 10 ?

【例 9】

1 ? 1 1 ? 119 = ×? ? ?= 3 ? 1 × 2 × 3 8 × 9 × 10 ? 2160
【答案】
119 2160

3 3 3 + + ...... + 1× 2 × 3 × 4 2 × 3 × 4 × 5 17 × 18 × 19 × 20 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 =3 × [ × ( ? + ? + ... + ? )] 3 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 2 × 3 × 4 3 × 4 × 5 17 × 18 × 19 18 × 19 × 20 1 1 3 × 19 × 20 ? 1 1139 = ? = = 1 × 2 × 3 18 × 19 × 20 18 × 19 × 20 6840 1139 【答案】 6840

【巩固】

5 7 19 . + +? + = 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 8 × 9 × 10 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同,那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相 同,而是成等差数列,且等差数列的公差为 2.相比较于 2,4,6,……这一公差为 2 的等差数 列(该数列的第 n 个数恰好为 n 的 2 倍),原式中分子所成的等差数列每一项都比其大 3,所以可 以先把原式中每一项的分子都分成 3 与另一个的和再进行计算. 3+ 2 3+ 4 3 + 16 原式 = + +?+ 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 8 × 9 × 10 1 1 2 8 ? 1 ? ? 1 ? 3× ? = + +? + + +? + ? + 2×? ? 8 × 9 × 10 ? 8 × 9 × 10 ? ? 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 ? 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 1 3× × ? = ? + ? +? + ? + +? + ? + 2×? ? 2 ? 1× 2 2 × 3 2 × 3 3 × 4 8 × 9 9 × 10 ? 9 × 10 ? ? 2 × 3 3× 4

【例 10】 计算:

=

3 ? 1 1 ? 1 1? ?1 1 1 1 ×? ? ? + 2×? ? + ? +?+ ? ? 2 ? 1 × 2 9 × 10 ? 9 10 ? ?2 3 3 4

3 ?1 1 ? 7 1 1 23 ?1 1 ? = ×? ? ? + 2×? ? ? = ? ? = 2 ? 2 90 ? 2 10 4 60 5 15 ? ? 也 可 以 直 接 进 行 通 项 归 纳 . 根 据 等 差 数 列 的 性 质 , 可 知 分 子 的 通 项 公 式 为 2n + 3 , 所 以

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2n + 3 = n × ( n + 1) × ( n + 2 )

2 3 + ,再将每一项的 ( n + 1) × ( n + 2 ) n × ( n + 1) × ( n + 2 )

2 与 ( n + 1) × ( n + 2 )

3 分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同. n × ( n + 1) × ( n + 2 )
【答案】
23 15

5 7 17 19 + +? + + ) 2 × 3× 4 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】2009 年,迎春杯,初赛,五年级 5 7 17 19 【解析】 本题的重点在于计算括号内的算式: .这个算式不同 + +? + + 2 × 3× 4 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列,而非常见的分子相同、或分子 是分母的差或和的情况.所以应当对分子进行适当的变形,使之转化成我们熟悉的形式. 观察可知 5= 2 + 3 , 7= 3 + 4 ,……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和,所以

【巩固】 计算: 1155 × (

5 7 17 19 + +? + + 2 × 3× 4 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 2+3 3+ 4 9 + 10 = + +? + 2 × 3× 4 3× 4 × 5 9 × 10 × 11 1 1 1 1 1 1 = + + + +? + + 3× 4 2 × 4 4 × 5 3× 5 10 × 11 9 × 11 1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1 = ? + +? + + +? + ?+? ? 10 × 11 ? ? 2 × 4 3 × 5 9 × 11 ? ? 3× 4 4 × 5

1 1 ? 1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1? ?1 1 1 1 = ? ? + ? +? + ? ? + × ? ? + ? + ? +? + ? + ? ? 10 11 ? 2 ? 2 4 3 5 4 6 8 10 9 11 ? ?3 4 4 5 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 1 1 ? 8 1 ? 2 8 ? 31 + ×? + ? = = ? ? ? + ×? ? + ? ? = ? 3 11 ? 2 ? 2 10 3 11 ? 33 2 ? 5 33 ? 55 31 所以原式= 1155 × = 651 . 55 (法二) 上面的方法是最直观的转化方法,但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列,而等差数列的 通项公式为 a + nd ,其中 d 为公差.如果能把分子变成这样的形式,再将 a 与 nd 分开,每一项都 变成两个分数,接下来就可以裂项了. 5 7 17 19 + +? + + 2 × 3× 4 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 1+ 2 × 2 1+ 3× 2 1+ 8× 2 1+ 9× 2 = + +? + + 2 × 3× 4 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 1 2× 2 1 3× 2 1 8× 2 1 9× 2 = + + + +?+ + + + 2 × 3× 4 2 × 3× 4 3× 4 × 5 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 9 × 10 × 11 1 1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? 2 = ? + +?+ + + +?+ + ?+? ? 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 ? ? 3 × 4 4 × 5 9 × 10 10 × 11 ? ? 2 × 3× 4 3× 4 × 5 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 1? ?1 1 1 1 = ×? ? + ? +? + ? ? + 2× ? ? + ? +? + ? ? 2 ? 2 × 3 3× 4 3× 4 4 × 5 9 × 10 10 × 11 ? 10 11 ? ?3 4 4 5 1 ? 1 1 ? ?1 1 ? = ×? ? ? + 2×? ? ? 2 ? 2 × 3 10 × 11 ? ? 3 11 ? 1 1 2 2 3 41 31 , = ? + ? = ? = 12 220 3 11 4 220 55 31 所以原式= 1155 × = 651 . 55 (法三)
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本题不对分子进行转化也是可以进行计算的: 5 7 17 19 + +? + + 2 × 3× 4 3× 4 × 5 8 × 9 × 10 9 × 10 × 11 5 ? 1 1 ? 7 ? 1 1 ? 17 ? 1 1 ? 19 ? 1 1 ? = ×? ? ? ? ? ? + ×? ? +?+ ×? ? + ×? ? 2 ? 2 × 3 3× 4 ? 2 ? 3× 4 4 × 5 ? 2 ? 8 × 9 9 × 10 ? 2 ? 9 × 10 10 × 11 ?

5 1 1 1 1 19 1 ?7 5? ?9 7? ? 19 17 ? = × + ? ? ?× + ? ? ?× +?+ ? ? ?× ? × 2 2 × 3 ? 2 2 ? 3× 4 ? 2 2 ? 4 × 5 ? 2 2 ? 9 × 10 2 10 × 11 5 1 1 1 1 19 1 = × + + +? + ? × 2 2 × 3 3× 4 4 × 5 9 × 10 2 10 × 11 5 1 1 19 31 = + ? ? = 12 3 10 220 55 31 所以原式= 1155 × = 651 . 55 (法四)对于这类变化较多的式子,最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式: 2n + 1 ( n = 2 ,3,……,9) an = n(n + 1)(n + 2) 如果将分子 2n + 1 分成 2n 和 1,就是上面的法二;如果将分子分成 n 和 n + 1 ,就是上面的法一. 【答案】 651
3 4 5 12 + + +? + 1× 2 × 4 × 5 2 × 3 × 5 × 6 3 × 4 × 6 × 7 10 × 11 × 13 × 14 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数,就会是 5 个连续自然数的乘积,所以可以先 将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即: 32 42 52 122 + + +? + 原式 = 1× 2 × 3 × 4 × 5 2 × 3 × 4 × 5 × 6 3 × 4 × 5 × 6 × 7 10 × 11 × 12 × 13 × 14 现在进行裂项的话无法全部相消,需要对分子进行分拆,考虑到每一项中分子、分母的对称性, 可以用平方差公式: 32 =1 × 5 + 4 , 42 = 2 × 6 + 4 , 52 = 3 × 7 + 4 …… 32 42 52 122 + + +? + 原式 = 1× 2 × 3 × 4 × 5 2 × 3 × 4 × 5 × 6 3 × 4 × 5 × 6 × 7 10 × 11 × 12 × 13 × 14 1× 5 + 4 2×6 + 4 3× 7 + 4 10 × 14 + 4 = + + +? + 1× 2 × 3 × 4 × 5 2 × 3 × 4 × 5 × 6 3 × 4 × 5 × 6 × 7 10 × 11 × 12 × 13 × 14 1 1 1 1 ? ? = ? + + +?+ ? 2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 12 13 × × × × × × × × ? ? 4 4 4 4 ? ? +? + + +?+ ? 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 × × × × × × × × × × × × × × × × ? ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 ? = ×? ? + ? +? + ? ? 2 ? 2 × 3 3× 4 3× 4 4 × 5 11 × 12 12 × 13 ?

【巩固】 计算:

1 1 1 1 1 1 ? ? +? ? + ? +? + ? ? 10 × 11 × 12 × 13 11 × 12 × 13 × 14 ? ? 1× 2 × 3 × 4 2 × 3 × 4 × 5 2 × 3 × 4 × 5 3 × 4 × 5 × 6 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? = ×? ? ? ?+? ? 2 ? 2 × 3 12 × 13 ? ? 1 × 2 × 3 × 4 11 × 12 × 13 × 14 ? 1 77 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 75 =? = = ? = ? + ? = ? 12 2 × 12 × 13 24 11 × 12 × 13 × 14 8 11 × 12 × 13 × 14 8 2 × 11 × 14 8 308 616
【答案】
75 616

1 2 3 4 9 + + + +? + 2 2 × 3 2 × 3× 4 2 × 3× 4 × 5 2 × 3 × 4? × 10 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 1 2 3 4 9 【解析】 原式 = + + + +? + 2 2 × 3 2 × 3× 4 2 × 3× 4 × 5 2 × 3 × 4? × 10

【例 11】

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2 ?1 3 ?1 4 ?1 10 ? 1 + + +? + 2 2 × 3 2 × 3× 4 2 × 3 × 4? × 10 1 1 1 1 1 1 1 =1 ? + ? + ? +? + ? 2 2 2 × 3 2 × 3 2 × 3× 4 2 × 3 × 4? × 9 2 × 3 × 4? × 9 × 10 1 3628799 = 1? = 2 × 3 × 4? × 9 × 10 3628800 3628799 【答案】 3628800 =
1 2 3 4 5 6 + + + + + 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 6 ?1 7 ?1 【解析】 原式 = + + + + + 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 1 1 1 1 1 1 = + ? + ? +? ? 1× 2 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 1 1 1 1 5039 = + ? = 1? = 1× 2 1× 2 1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 5040 5040 5039 【答案】 5040

【例 12】

2 3 99 . + +? + = 3! 4! 100! 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 【解析】 原式为阶乘的形式,较难进行分析,但是如果将其写成连乘积的形式,题目就豁然开朗了. 2 3 99 原式 = + +?+ 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 1 × 2 × 3 × ? × 100 3 ?1 4 ?1 100 ? 1 = + +?+ 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 1 × 2 × 3 × ? × 100 1 1 1 1 1 1 = ? + ? +? + ? 1× 2 1× 2 × 3 1× 2 × 3 1× 2 × 3 × 4 1 × 2 × 3 × ? × 99 1 × 2 × 3 × ? × 100 1 1 1 1 = ? = ? 1 × 2 1 × 2 × 3 × ? × 100 2 100! 1 1 【答案】 ? 2 100!

【巩固】 计算:

2 3 4 50 + + +? + 1 × (1 + 2) (1 + 2) × (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) × (1 + 2 + 3 + 4) (1 + 2 + 3 + ? + 49) × (1 + 2 + ? + 50) 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 2 3 4 5 50 + + + +…+ 【解析】 原式= 1× 3 3 × 6 6 × 10 10 × 15 1225 × 1275 1 1 1 1 1 1 1 1 1274 =( ? )+( ? )+( ? )+( )= ? 1 3 3 6 6 10 1225 1275 1275 1274 【答案】 1275

【例 13】

【巩固】

2 3 4 100 + + +? + 1 × (1 + 2) (1 + 2) × (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3) × (1 + 2 + 3 + 4) (1 + 2 + ? + 99) × (1 + 2 + ? + 100) 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 2 1 1 3 1 1 , ,……, 【解析】 = ? = ? 1 × (1 + 2) 1 1 + 2 (1 + 2) × (1 + 2 + 3) 1 + 2 1 + 2 + 3 100 1 1 ,所以 = ? (1 + 2 + ? + 99) × (1 + 2 + ? + 100) 1 + 2 + ? + 99 1 + 2 + ? + 100
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原式= 1 ? 【答案】
5049 5050

1 1 5049 = 1? = 5050 5050 1 + 2 + ? + 100

【巩固】 1 ?

2 3 10 ? ?? ? ( 1× 1 + 2) (1 + 2) × (1 + 2 + 3) (1 + 2 + 3 + ? + 9) × (1 + 2 + 3 + ? + 10) 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 2 3 4 10 【解析】 原式 = 1? ( + + +? + ) 1 × 3 3 × 6 6 × 10 45 × 55 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 =1 ? ?1 ? + ? + ? + ? + ? ? 45 55 ? ? 3 3 6 6 10 1 ? 1 ? = 1 ? ?1 ? ? = ? 55 ? 55 1 【答案】 55

1 1 1 1 1 1 . + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 3 ? 1 5 ? 1 7 ? 1 9 ? 1 11 ? 1 13 ? 1 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】仁华学校 【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项: a 2 ? b 2 = (a ? b) × (a + b) , 1 1 1 1 1 1 原式 = ( )+( )+( )+( )+( )+( ) 2× 4 4×6 6×8 8 × 10 10 × 12 12 × 14 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( ? + ? + ? + ? + ? + ? )× 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 12 14 2 1 1 1 3 = ( ? )× = 2 14 2 14 3 【答案】 14

【例 14】

2

1 1 1 1 1 1 ) × (1 ? 2 ) × (1 ? 2 ) × (1 ? 2 ) × ? × (1 ? 2 ) × (1 ? 2 ) = 2 2 3 4 5 48 49 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 3 1 1 1 2 4 【解析】 1 ? 2 = (1 ? ) × (1 + ) = × , 1 ? 2 = (1 ? ) × (1 + ) = × ,……所以, 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 3 2 4 48 50 1 50 25 原式 = × × × × ? × × = × = 2 2 3 3 49 49 2 49 49 25 【答案】 49

【巩固】 计算: (1 ?

3 5 7 15 + 2 2 + 2 2 +? + 2 2 2 1 ×2 2 ×3 3 ×4 7 ×8 【考点】分数裂项 【难度】3 星 22 ? 12 32 ? 22 42 ? 32 82 ? 7 2 【解析】 原式 = 2 2 + 2 2 + 2 2 + ? + 2 2 1 ×2 2 ×3 3 ×4 7 ×8 1 1 1 1 1 1 1 =? 1 2 + 2 ? 2 + 2 ? 2 +? + 2 ? 2 2 2 3 3 4 7 8 63 1 = 1? 2 = 64 8 63 【答案】 64

【巩固】 计算:

2

【题型】计算

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32 + 1 52 + 1 7 2 + 1 19932 + 1 19952 + 1 + + + ? + + = . 32 ? 1 52 ? 1 7 2 ? 1 19932 ? 1 19952 ? 1 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ? 【解析】 原式 = ?1 + 2 ? + ?1 + 2 ? + ?1 + 2 ? + ? + ?1 + ? + ?1 + ? 2 2 3 1 5 1 7 1 1993 1 1995 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? = 997 + ? + +?+ ? 2 4 4 6 1994 1996 × × × ? ?
【巩固】 计算:

1 1 ? ?1 1 1 1 = 997 + ? ? + ? + ? + ? ? 1994 1996 ? ?2 4 4 6 1 ? 997 ?1 = 997 + ? ? ? = 997 1996 ? 2 1996 ? 997 【答案】 997 1996

12 + 32 22 + 42 32 + 52 982 + 1002 + + + ? + = . 22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 992 ? 1 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 2 2 2 2 2 2 1 + 3 10 2 +4 20 3 + 5 34 20 4 34 4 10 4 = , 2 = = ,……由于 = 2 , 【解析】 2 , 2 =2 , =2 , 2 ?1 3 3 ?1 8 4 ? 1 15 8 8 15 15 3 3 4 4 4 4 可见原式 = 2 2 +2 2 +2 2 +? + 2 2 2 ?1 3 ?1 4 ?1 99 ? 1 1 1 1 1 ? ? = 2 × 98 + 4 × ? + + +? + ? 98 × 100 ? ? 1× 3 2 × 4 3 × 5 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? = 196 + 4 × × ?1 ? + ? + ? + ? + ? ? 2 ? 3 2 4 3 5 98 100 ? 1 ? ? 1 1 = 196 + 2 × ?1 + ? ? ? ? 2 99 100 ? 4751 199 = 198 = 196 + 3 ? 2 × 4950 9900 4751 【答案】 198 4950
【巩固】 计算:

12 22 32 502 + + +? + = . 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【解析】 式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为 22 ? 1 ,42 ? 1 ,62 ? 1 ,……,1002 ? 1 ,可以发现如果分母都加上 1,那么恰好都是分子的 4 倍, 所以可以先将原式乘以 4 后进行计算,得出结果后除以 4 就得到原式的值了. 1 ? 22 42 62 1002 ? + 2 + 2 +? + 原式 = × ? 2 ? 4 ? 2 ?1 4 ?1 6 ?1 1002 ? 1 ?
【巩固】 计算:

=

1 ? 1 1 1 1 ? × ?1 + +1+ 2 +1+ 2 +? +1+ ? 4 ? 22 ? 1 4 ?1 6 ?1 1002 ? 1 ?

1 ? 1 1 1 1 ? = × ? 50 + + + +?+ ? 4 ? 1× 3 3 × 5 5 × 7 99 × 101 ?

= =

1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 ?? × 50 + × ?1 ? + ? + ? + ? + ? ?? 4 ? 2 3 3 5 5 7 99 101 ? ?? ? 1 ? 1 ? 1 ?? 1 50 63 × ?50 + × ?1 ? × 50 = 12 ? ?= 4 ? 2 ? 101 ? ? 4 101 101
63 101
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【答案】 12

1-2-2-1.分数裂项.题库

5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 9 9 + 10 ? + ? + 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 9 9 + 10 1 1 1 1 1 1 1 1 3 【解析】 ? + ? + = + ? ( + ) + ... + ( + ) = + = 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10 5 6 6 7 9 10 5 10 10 3 【答案】 10

【例 15】

3 6 5 7 9 11 13 + + + + + + 5 7 6 12 20 30 42 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 【关键词】第三届,祖冲之杯,人大附中 3 6 2+3 3+ 4 4+5 5+ 6 6+ 7 3 6 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式= + + + + + + = + + + + + + ... + + = 4 5 7 2 × 3 3× 4 4 × 5 5× 6 6 × 7 5 7 2 3 3 4 6 7 【答案】 4

【巩固】

1 3 2 5 7 9 10 11 19 【巩固】计算: + + + + + + + + = 3 4 5 7 8 20 21 24 35 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 3 2 5 7 1 1 1 1 1 1 2 1 【解析】 原式 = + + + + + + + + + + + + = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 3 4 5 7 8 4 5 3 7 3 8 5 7 【答案】 5 1 2 3 7 9 11 17 25 【巩固】 + + + + + + + 3 5 7 12 20 28 30 42 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 1 3 【解析】 原式 = + + + + + + + + + + + + 3 5 7 3 4 4 5 4 7 5 6 6 7 3 ?1 1 1 1? ?2 1 2? ?3 1 3? ?1 1 1? =? + + + ?+? + + ?+? + + ?+? + + ? =3 4 ?3 3 6 6? ?5 5 5? ?7 7 7? ?4 4 4? 3 【答案】 3 4 1 1 1 1 1 20 10 26 38 27 + + + + + + + + + 2 3 30 31 41 51 119 120 123 124 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 ?1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? + + +? + ?+? ? ?+? ? ?+? ? ?+? ? ? 【解析】 原式 = + + 2 3 30 31 41 ? 3 17 ? ? 7 17 ? ? 4 30 ? ? 3 41 ? ? 4 31 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + =2 2 3 3 7 4 3 4 7 1 【答案】 2 7

【巩固】

?? 35 49 63 77 91 105 ? 3 ? 1 + ? + ? 【巩固】 ?? ? ? ?1 ? ÷ ?? 6 12 20 30 42 56 ? 8 ? 8 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 ?? 5 7 9 11 13 15 ? 3? ? + ? ? × 7 ?1 ? × 8 【解析】 原式 = ?? ? + 8? ?? 6 12 20 30 42 56 ? ?? 1 1 1 1 1 1? 11 ? = ?? + ? ? + ? ? ? ? × 7 ? ? × 8 7 8? 8? ?? 2 3 3 4

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11 ?1 1? = ? ? ?×7×8 ? ×8 8 ? 2 8? = 21 ? 11 = 10
【答案】 10
5 7 9 11 13 15 17 19 + ? + ? + ? + 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 2 + 3 3 + 4 4 + 5 5 + 6 6 + 7 7 + 8 8 + 9 9 + 10 【解析】 原式 = 1? + ? + ? + ? + 2 × 3 3 × 4 4 × 5 5 × 6 6 × 7 7 × 8 8 × 9 9 × 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1? ( + ) + ( + ) ? ( + ) + ( + ) ? ( + ) + ( + ) ? ( + ) + ( + ) 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 1 1 3 =1 ? + = 2 10 5 3 【答案】 5

【巩固】 计算: 1 ?

1 1 7 9 8 17 5 + + + + + + 4 5 12 20 15 30 12 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 【解析】 原式 = + + + + + + + + + + + 4 5 3 4 4 5 3 5 5 6 4 6 1 1 1 1 = ×2 + ×4 + ×5+ ×2 = 3 3 4 5 6 【答案】 3

【巩固】

12 + 22 22 + 32 182 + 192 192 + 202 + + …… + + 1× 2 2×3 18 × 19 19 × 20 【考点】分数裂项 【难度】3 星 【题型】计算 1 2 3 2 3 4 19 18 19 20 2 19 19 【解析】 原式 = + + + + + + ... + + + + = + 2 × 17 + = 36 2 1 2 3 4 3 18 19 20 19 1 20 20 19 【答案】 36 20
【例 16】
1 1 1 1 2007 1 1 1 【巩固】 ( + + ...... + + )? ( + + ...... + ) 1 × 2007 2 × 2006 2006 × 2 2007 × 1 2008 1 × 2006 2 × 2005 2006 × 1 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 2008 1 1 1 2007 1 1 【解析】 原式= ×( + + ... + )? ( + ... + ) 2008 1 × 2007 2 × 2006 2007 × 1 2008 1 × 2006 2006 × 1 2008 1 1 1 2007 1 1 = ×( + + ... + )? ( + ... + ) 2008 1 × 2007 2 × 2006 2007 × 1 2008 1 × 2006 2006 × 1 1 2008 2008 2008 1 2007 2007 = ×( + + ... + )? ( + ... + ) 2008 1 × 2007 2 × 2006 2007 × 1 2008 1 × 2006 2006 × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × [( + + + + ... + + )?( + + ... + + )] 2008 1 2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × [( + + + + ... + + )?( + + ... + + )] 2008 1 2007 2 2006 2007 1 1 2006 2006 1 1 1 1 1 = ×( + )= 2008 2007 2007 2015028 1 【答案】 2015028

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1 1 1 1 1 1 + +? + + + +? + = 2×3 4×5 98 × 99 51 52 99 【考点】分数裂项 【难度】5 星 【题型】计算

【例 17】 计算:

1 ? ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? ?1 1 +?+ ? 【解析】 原式 = ? + + ? + ? ? ? + + ? + ? + ? + 98 ? ? 3 5 99 ? ? 51 52 99 ? ?2 4 1 ? ?1 1 1 ? 1 1 ? ?1 1 ? 1 = ? + +? + ? ? ? + ? + ? + 2× ? + +? + ? 50 ? ? 3 5 49 ? 98 ? ?2 4 ? 52 54 1 ? ?1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ?1 1 = ? + +? + ? ? ? + ? + ? + ? + +? + ? 2 4 50 3 5 49 26 27 49 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?1 1 1 ? 1 1 ? 1 ?1 1 ? 1 = ? + +? + ? ? ? + ? + ? + 2× ? + +? + ? + 24 ? ? 3 5 25 ? 48 ? 50 ?2 4 ? 26 28 1 ? ?1 1 1 ? ?1 1 1 ? 1 ?1 1 = ? + +? + ? ? ? + ? + ? + ? + +? + ? + 24 ? ? 3 5 25 ? ? 13 14 24 ? 50 ?2 4 1 ? ?1 1 1? 1 ? 1 1 ?1 1 ?1 1 = ? + +?+ ? ? ? + ?+ ? + 2×? + +?+ ? + ? 12 ? ? 3 5 11 ? 24 ? 50 25 ?2 4 ? 14 16 1 ? ?1 1 1 ? ?1 1 1? 1 1 ?1 1 = ? + +? + ? ? ? + ? + ? + ? + +? + ? + ? 2 4 12 3 5 11 7 8 12 50 25 ? ? ? ? ? ? 1 ?1 1 1? ?1 1? ?1 1 1 ? 1 = ? + + ? ? ? + ? + 2×? + + ? + ? ? 2 4 6? ?3 5? ? 8 10 12 ? 50 25 1 ?1 1 1? ?1 1? ?1 1 1? 1 = ? + + ??? + ?+? + + ?+ ? ? 2 4 6 ? ? 3 5 ? ? 4 5 6 ? 50 25
=+ 1 1 1 49 ? = 50 25 50

【答案】

49 50

2 4 6 12 + + +?+ = 3 3× 5 3× 5× 7 3 × 5 × 7 × 9 × 11 【考点】分数裂项 【难度】4 星 【题型】计算 3 ?1 5 ?1 7 ?1 13 ? 1 【解析】 原式 = + + +? + 3 3× 5 3× 5× 7 3 × 5 × 7 × 9 × 11 × 13

【例 18】 计算:

1 1 1 1 ? 1 ? ?1 ? = +? +?+ ?1 + + ??? + ? 3 3 5 3 5 7 9 11 3 3 5 3 5 7 9 11 13 × × × × × × × × × × × ? ? ? ?
= 1? = 1 3 × 5 × 7 × 9 × 11 × 13

135134 135135

【答案】

135134 135135
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【例 19】 计算:

? 23 ? 1 2 22 28 24 211 + + +? + ?? + +? + ?= 1× 3 3 × 5 5 × 7 17 × 19 ? 1 × 3 × 5 3 × 5 × 7 17 × 19 × 21 ?

【考点】分数裂项 【难度】5 星 【题型】计算 3 4 11 2 2 2 2 2 4 4 29 29 + +?+ = ? + ? +?+ ? 【解析】 1× 3 × 5 3 × 5 × 7 17 × 19 × 21 1 × 3 3 × 5 3 × 5 5 × 7 17 × 19 19 × 21

=

2 2 4 28 29 + + +? + ? 1× 3 3 × 5 5 × 7 17 × 19 19 × 21

所以原式=

? 2 1 2 28 2 4 28 29 ? + +? + ?? + + +? + ? ? 1× 3 3 × 5 17 × 19 ? 1 × 3 3 × 5 5 × 7 17 × 19 19 × 21 ?
29 1 512 ? 133 379 ? = = 19 × 21 1 × 3 399 399

=
【答案】
379 399

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