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2011—2012学年度下学期期末考试高二数学(文科)


2011—2012 学年度下学期期末考试

高二数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分共 60 分,每小题只有一个正确选项) 1、已知集合 A ? { x | x 是平行四边形 } , B ? { x | x 是矩形 } , C ? { x | x 是正方形 } ,
D ? { x | x 是菱形 } ,则(

) B. C ? B C. D ? C D. A ? D 则 M ? ( C U N ) =( D. ? )

A. A ? B

2、设全集 U ? R , M ? ?x log 2 x ? 1? , N ? x y ? A. ?x 0 ? x ? 1?
2

?

x ?1 ,

?

B. ?x 0 ? x ? 2 ?

C. ?x x ? 1?

3 、 已 知 集 合 A ? ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , x ? R ? , B ? ? x 0 ? x ? 5, x ? N ? 则 满 足 条 件
A ? C ? B 的集合 C 的个数为(

) C.3 D. 4

A .1

B .2

4、命题“存在实数 x ,使 x > 1”的否定是 A.对任意实数 x , 都有 x >1 C.对任意实数 x , 都有 x ? 1 5、当 a , b ? R 时,不等式
a?b a ? b
2

B.不存在实数 x ,使 x ? 1 D.存在实数 x ,使 x ? 1
? 1 成立的充要条件是(

)

A. a b ? 0

B. a ? b ? 0
2

C. a b ? 0

D. a b ? 0

6、已知命题:①“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是“所有能被 2 整除的整数不都是 偶数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题; a , b , c ? R , a ? b , a ? c ? b ? c ” ③“ 若 则 的逆否命题;④“若 a ? b ? 3 ,则 a ? 1 或 b ? 2 ”的否命题. 上述命题中真命题的个数为 ( ) A.1 B.2
1 a ? 1 b ? 1 c

C.3
? a ? b ? c ”的(

D.4 )

7、设 a , b , c ? R 则 “ a b c ? 1 ”是“

A.充分条件但不是必要条件 C.充分必要条件

B.必要条件但不是充分条件 D.既不充分也不必要的条件

8、已知函数 f ( x ) ? ?
1 2

? 2 ? 1, x ? 1, ?
x

? x ? a x , x ? 1, ?
2

若 f [ f ( 0 )] ? 4 a ,则实数 a 等于





A.

B.

4 5

C.2

D.9 )

9、不等式 f ( x ) ? a x 2 ? x ? c ? 0 的解集为 { x | ? 2 ? x ? 1} ,则函数 y ? f ( x ) 的图象为(

? x ? 2 y ? 2, ? 10、设变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 , ? 4 x ? y ? ? 1, ?

则目标函数 z ? 3 x ? y 的取值范围是(

)

A. [ ?

3 2

, 6]

B. [ ?

3 2

, ? 1]

C. [ ? 1, 6 ]

D. [ ? 6 ,

3 2

]

11、若正数 x , y 满足 x ? 3 y ? 5 xy ,则 3 x ? 4 y 的最小值是( A.
24 5

)

B.

28 5
x y ? z t

C.5

D.6

12、设 1 ? x ? y ? z ? t ? 1 0 0 , 则
1 2

的最小值是(
1 5


1 10

A.2

B.

C.

D.

二、填空题:(本大题共 4 小题,共 20 分) 13、函数
f (x) ? 1 ln ( x ? 1) ? 4? x
2

的定义域为

14、如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, E F ? D B , 垂足为 F,若 A B ? 6 , A E ? 1 ,则 D F ? D B ?
2m ? 1
2



15、若关于 x 的不等式 x ? 4 ? x ? 1 ?

有解,则 m 的取值范围为

m
b 16、已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b (a , ? R ) 的值域为 [0 ,? ? ) ,若关于 x 的不等式 f ( x ) ? c 的

解集为 ( m ,m ? 6 ) ,则实数 c 的值为



三、解答题:(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18 题至 22 题 12 分,共 70 分,解答应写出文字 说明、证明过程或步骤)

17、已知函数 f ( x ) ? lg( x ? ax ? b ) 的定义域为集合 A ,函数 g ( x ) ?
2

kx

2

? 4x ? k ? 3 的

定义域为集合 B ,若 ( C R A ) ? B ? B , ( C R A ) ? B ? { x | ? 2 ? x ? 3} ,求实数 a , b 的值及实数
k 的取值范围.

18、设函数 f ( x ) ? x ? b x ? c
n

(n ? N ? , b, c ? R )

(1) 设 n ? 2 , b ? 1, c ? ? 1 ,当 ? 1 ? x ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间和值域; (2)设 n 为偶数时, f ( ? 1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b ? 3 c 的最小值和最大值.
1 ? ax x?b
2

19、已知函数 f ( x ) ?

?a

? 0 ? 是奇函数,并且函数 f ( x ) 的图像经过点(1,3)

(1)求实数 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的值域.

20、如图,建立平面直角坐标系 x o y , x 轴在地平面上, y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y ? k x ?
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

表示的曲

线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1) 求炮的最大射程; (2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3 . 2 千米,试问它的横坐标 a 不 超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.

21、设函数 f ( x ) ? | x ? 1 |, g ( x ) ? | x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 ; (2)对于实数 x , y ,若 f ( x ) ? 1, g ( y ) ? 1 ,求证 | x ? 2 y ? 1 |? 5 .

22、设正有理数 x 是 3 的一个近似值,令 y ? 1 ? (1) 若 x ?
3 ,求证: y ?

2 1? x



3 ;

(2) 求证: y 比 x 更接近于 3 .

2011—2012 学年度下学期期末考试高二数学(文科)答案
一、选择题 BADCB AACDA CC 二、填空题 13、 ? x ? 1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 2 ? 三、解答题 17、 ?
?a ? ?1 ?b ? ? 6
2

14、5 15、 ( 0 , ) ? (1, ? ? )
2

1

16、9

3? ? k ? ? 4 ,? ? 2? ? ?
1 2 ), 单调增区间 ( ? 1

18、 (1)f ( x ) ? x ? x ? 1 , 单调减区间 ( ? 1, ? (2) b ? 3 c 最小值为 ? 6 ,最大值为 0 19、(1) a ? 2 , b ? 0
1 ? 2x x
2

? 5 ? ,1) , 值域 ? y ? ? x ? 1 ? 4 2 ? ?

(2)由(1)知 f ( x ) ?

? 2x ?

1 x

?x

? 0?

当 x ? 0 时, 2 x ?

1 x

? 2

2x ?

1 x

? 2

2 , 当且仅当 2 x ?

1 x

,即x ?

2 2

时取等号

当 x ? 0 时, ? ? 2 x ? ?

1 ? x

? 2

??

2x??

1 ? x

? 2

2 ,? 2 x ?

1 x

? ?2

2

当且仅当 ( ? 2 x ) ?

1 ? x

,即x ? ?

2 2

时取等号

综上可知函数 f ( x ) 的值域为 ?? ? , ? 2 2 ? 2 2 , ?? 20、(1)在 y ? k x ?
1 20 (1 ? k ) x ( k ? 0 )
2 2

? ?

?
1 20 (1 ? k ) x = 0 。
2 2

中,令 y ? 0 ,得 k x ?

由实际意义和题设条件知 x > 0, k > 0 。 ∴x=
20k 1? k
2

=

20 1 k ? k

?

20 2

=1 0

,当且仅当 k =1 时取等号。 ∴炮的最大射程是 10 千米。

(2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 k a ?

1 20

(1 ? k ) a = 3 .2
2 2

成立,即

关于 k 的 方程 a 2 k 2 ? 2 0 a k ? a 2 ? 6 4 = 0 有正根。由 ? = ? ? 2 0 a ? ? 4 a 2 ? a 2 ? 6 4 ? ? 0 得
2

a?6


8

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a
2

2

?a

2

? 64 ? >0

(不考虑另一根)。

6

2a

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标。 21、(1)解: (1)令 y ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | ,则
? 3 ? 2 x, x ? 1 ? y ? ? 1, 1 ? x ? 2 ? 2 x ? 3, x ? 2 ?
-5

4

2

1

1

2

5

10

-2

作出函数 y ? | x ? 1 | ? | x ? 2 | 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 ( , 2 ) 和 ( -4 , 2 ) .
2 2
-6

1

5

所以 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 的解集为 ( , ) .
2 2

1 5

(2)因为
| x ? 2 y ? 1 | ? | ( x ? 1) ? 2 ( y ? 1) | ?| x ? 1 | ? 2 | ( y ? 2 ) ? 1 | ? | x ? 1 | ? 2 (| y ? 2 | ? 1 ) ? f (x) ? 2 g ( y) ? 2 ? 5 所以 | x ? 2 y ? 1 |? 5 .
2 1? x (1 ? 3 )( x ? 1? x 3)

-8

22、证明:(1) y ?

3 ? 1?

?

3 ?

? x ?

3 ,? x ?

3 ? 0 ,而 1 ?
(1 ?

3 ? 0 ,? y ?
3 )( x ? 1? x 3)

3
3?2? x 1? x

(2)? y ?

3 ? x?

3 ?

? x?

3 ? x?

3 (

)

? x ? 0,

3 ? 2 ? 0, x ?

3 ? 0? y?

3 ? x?

3 ? 0即 y?

3 ? x?

3

? y 比 x 更接近于

3


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