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高中数学完整讲义——解三角形2.解三角形综合


高中数学讲义

板块二.解三角形综合

典例分析
【例1】 E , F 是等腰直角 △ ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ∠ECF ?

A.

16 27

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 4

【例2】 在 △ ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD ?

1 DC , ?ABC ? 120? , AD ? 2 ,若 △ ADC 的面积 2

为 3 ? 3 ,则 ?BAC ?

.

【例3】 在 ?ABC 中,若 b ? 1 , c ? 3 , ?C ?

2π ,则 a ? 3



【例4】 在 △ ABC 中, 内角 A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c , 若 a2 ? b2 ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B ,

则 A? A. 30 ? B. 60 ? C. 120? D. 150?

【例5】 某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为

A.不能作出这样的三角形 C.作出一个直角三角形

1 1 1 , , ( ) 13 11 5 B.作出一个锐角三角形 D.作出一个钝角三角形

b, C 所对的边, b ? 3 ,A ? C ? 2 B , 【例6】 已知 a , 若 a ?1 , c 分别是 △ ABC 的三个内角 A ,B ,

则 sin C ?



【例7】 在 △ ABC 中, a ? 15 , b ? 10 ?A ? 60? , ,则 cos B ?

思维的发掘

能力的飞跃

1

高中数学讲义
A. ?
2 2 3

B.

2 2 3

C.

6 3

D. ?

6 3

【例8】 在锐角 △ ABC 中,角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若

b a t a n C t a n 则 ? ? 6c o s C, ? a b t a n A t a n

C B

的值是



【例9】 设 △ ABC 是锐角三角形, a , b , c 分别是内角 A , B , C 所对边长,并且
?π ? ?π ? sin 2 A ? sin ? ? B ? sin ? ? B ? ? sin 2 B . 3 3 ? ? ? ?

⑴求角 A 的值; ⑵ AB ? AC ? 12 , a ? 2 7 ,求 b , c (其中 b ? c ) .
【例10】 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H (单位 m) , 如示意图, 垂直放置的标杆 BC 高度 h ? 4m ,

仰角 ?ABE ? ? , ?ADE ? ? ⑴ 该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值, tan ? ? 1.24 , tan ? ? 11.20 ,请据此算出 H 的值; ⑵ 该小组分析若干测得的数据后, 发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位 m) , 使? 与 ? 之差较大,可以提高测量精度,若电视塔实际高度为 125m ,试问 d 为多少时, a ? ? 最 大?
E C D βB α d A

C 的对边, a, b, c 分别为内角 A , 【例11】 在 △ ABC 中, 且 2a sin A ? ? 2b ? c ? sin B ? ? 2c ? b ? sin C . B,

⑴求 A 的大小; ⑵求 sin B ? sin C 的最大值.
【例12】 已知 △ ABC 的内角 A , B 及其对边 a , b .满足 a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C .

【例13】 △ ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【例14】 如图, A , B 是海面上位于东西方向相聚 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东
45 ? ,B 点北偏西 60 ? 的 D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60 ? 且与点 B 相距

?

?

20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时, 该救援船达到 D 点

2

思维的发掘

能力的飞跃

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需要多长时间?

北 A

D 45? 60? 60? 北 B

C

1 【例15】 在 △ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a , b , c ,已知 cos 2C ? ? . 4 ⑴求 sin C 的值;

⑵当 a ? 2 , 2 sin A ? sin C 时,求 b 及 c 的长.

思维的发掘

能力的飞跃

3


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