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《三角函数》高考真题理科大题总结和答案解析_图文

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《三角函数》大题总结
1.【2015 高考新课标 2,理 17】?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC ,

?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍. (Ⅰ) 求 sin ?B ;
sin ?C
(Ⅱ)若 AD ? 1, DC ? 2 ,求 BD 和 AC 的长.
2
2.【2015 江苏高考,15】在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 3, A ? 60? .

(1)求 BC 的长;

(2)求sin 2C 的值.

3.【2015 高考福建,理 19】已知函数 f(x) 的图像是由函数 g(x) = cos x 的

图像经如下变换得到:先将 g(x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),再将所得到的图像向右平移 p 个单位长度.
2
(Ⅰ)求函数 f(x) 的解析式,并求其图像的对称轴方程;

(Ⅱ)已知关于 x 的方程 f(x) +g(x) = m 在[0, 2p ) 内有两个不同的解a , b .

(1)求实数 m 的取值范围;

(2)证明: cos(a - b ) = 2m2 - 1.
5

4.【2015 高考浙江,理 16】在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分

别为 a , b , c ,已知 A ? ? , b2 ? a2 = 1 c2 .

4

2

(1)求 tan C 的值;

(2)若 ?ABC 的面积为 7,求b 的值.

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5.【2015

高考山东,理

16】设

f

?

x?

?

sin

x

cos

x

?

cos2

? ??

x

?

? 4

? ??

.

(Ⅰ)求 f ? x? 的单调区间;

(Ⅱ)在锐角

?ABC

中,角

A,

B, C

的对边分别为 a,b, c

,若

f

? ??

A 2

? ??

?

0, a

?1

,

求 ?ABC 面积的最大值.

6.【2015

高考天津,理

15】已知函数

f

?

x?

?

sin 2

x

?

sin 2

? ??

x

?

? 6

? ??



x

?

R

(I)求 f (x) 最小正周期; (II)求 f (x) 在区间[- p , p ] 上的最大值和最小值.
34

7.【2015 高考安徽,理 16】在 ?ABC 中, A ? 3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D
4
在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 的长.

8.【2015 高考重庆,理 18】

已知函数

f

?

x?

?

sin

? ??

? 2

?

x

? ??

sin

x

?

3 cos2 x

(1)求 f ? x? 的最小正周期和最大值;

(2)讨论

f

?x?



?? ?? 6

,

2? 3

? ??

上的单调性.

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9.【2015 高考四川,理 19】 如图,A,B,C,D 为平面四边形 ABCD

的四个内角.

(1)证明: tan A ? 1 ? cos A ;
2 sin A
( 2 ) 若 A ? C ?180o , AB ? 6,BC ? 3,CD? 4, AD? 5, 求

tan A ? tan B ? tan C ? tan D 的值.

2

2

2

2

10. 【 2015 高 考 湖 北 , 理 17 】 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数

f (x) ? Asin(? x ? ? ) (? ? 0, |? |? π )在某一个周期内的图象
2
时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ?? x
Asin(?x ? ?)

0

π 2

π



2



π



3

6

0

5

?5

0

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,填.写.在.答.题.卡.上.相.应.位.置.,并直 接写出函数 f (x) 的解
析式; (Ⅱ)将 y ? f (x) 图象上所有点向左平行移动? (? ? 0) 个单位长度,得
到 y ? g(x) 的图 象. 若 y ? g(x) 图象的一个对称中心为 (5π , 0) ,求? 的最小值.
12

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11.【2015 高考陕西,理 17】(本小题满分 12 分)???C 的内角 ? ,? ,
? ? C 所对的边分别为 a , b , c .向量 m ? a, 3b 与 n ? ?cos ?,sin ?? 平行.
(I)求 ? ; (II)若 a ? 7 ,b ? 2 求 ???C 的面积.

12.【2015 高考北京,理 15】已知函数 f (x) ? 2 sin x cos x ? 2 sin2 x .

22

2

(Ⅰ) 求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ) 求 f (x) 在区间[?π ,0] 上的最小值.

13.【2015 高考广东,理 16】在平面直角坐标系 xoy 中,已知向量

? m ? ???

2 ,? 2

2 2

? ???



n

?

?sin

x, cos

x?



x

?

? ??

0,

? 2

? ??



(1)若 m ? n ,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为 ? ,求 x 的值.
3

14.【2015 高考湖南,理 17】设 ?ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为 a , b , c , a ? b tan A ,且 B 为钝角. (1)证明: B ? A ? ? ;
2
(2)求 sin A ? sin C 的取值范围.
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《三角函数》大题答案

1.【答案】(Ⅰ) 1 ;(Ⅱ)1. 2

【解析】(Ⅰ)

S?ABD

?

1 2

AB ? AD sin ?BAD



S?ADC

?

1 2

AC ? AD sin ?CAD

,因为

S?ABD

? 2S?ADC ,?BAD

? ?CAD ,所以

AB

?

2 AC

.由正弦定理可得 sin ?B sin ?C

?

AC AB

?

1 2



(Ⅱ)因为 S?ABD : S?ADC ? BD : DC ,所以 BD ? 2 .在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定理



AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2AD ? BD cos ?ADB ,AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2AD ? DC cos ?ADC .

AB2 ? 2AC2 ? 3AD2 ? BD2 ? 2DC2 ? 6 .由(Ⅰ)知 AB ? 2AC ,所以 AC ? 1 .
2.【答案】(1) 7 ;(2) 4 3 7

3.【答案】(Ⅰ) f(x) = 2sin x , x = kp + p (k ? Z). ;(Ⅱ)(1) (- 5, 5) ;(2)详见解 2
析.
【解析】解法一:(1)将 g(x) = cos x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标 不变)得到 y = 2 cos x 的图像,再将 y = 2 cos x 的图像向右平移 p 个单位长度后得到
2
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y = 2 cos(x - p ) 的图像,故 f(x) = 2sin x ,从而函数 f(x) = 2sin x 图像的对称轴方程为 2
x = kp + p (k ? Z). 2

(2)1) f(x) +g(x) = 2sin x +cos x = 5( 2 sin x + 1 cos x)

5

5

= 5 sin(x +j ) (其中 sinj = 1 , cosj = 2 )

5

5

依题意, sin(x +j )= m 在区间[0, 2p ) 内有两个不同的解a , b 当且仅当| m |<1,故 m 的

5

5

取值范围是 (- 5, 5) .

2)因为a , b 是方程 5 sin(x +j )=m 在区间[0, 2p ) 内有两个不同的解,

m

m

所以 sin(a +j )= , sin(b +j )= .

5

5

当1 ? m< 5 时,a +b =2(p - j ),a - b = p - 2(b +j ); 2
当 - 5<m<1时, a +b =2(3p - j ),a - b = 3p - 2(b +j ); 2

所以 cos(a - b ) = - cos 2(b +j ) = 2sin2 (b +j ) - 1 = 2( m )2 - 1 = 2m2 - 1.

5

5

解法二:(1)同解法一.

(2)1) 同解法一.

2) 因为a , b 是方程 5 sin(x +j )=m 在区间[0, 2p ) 内有两个不同的解,

所以 sin(a +j )= m , sin(b +j )= m .

5

5

当1 ? m< 5 时,a +b =2(p - j ),即a +j = p - (b +j ); 2
当 - 5<m<1时, a +b =2(3p - j ),即a +j = 3p - (b +j ); 2
所以 cos(a +j ) = - cos(b +j )

于是 cos(a - b ) = cos[(a +j ) - (b +j )] = cos(a +j ) cos(b +j ) +sin(a +j )sin(b +j )

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= - cos2 (b +j ) +sin(a +j ) sin(b +j ) = - [1- ( m )2 ] +( m )2 = 2m2 - 1.

5

55

4.【答案】(1) 2 ;(2) b ? 3 .

又∵ A ? ? , 1 bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 42

5.【答案】(I)单调递增区间是

????

? 4

?

k?

,

? 4

?

k?

? ??

?k

?

Z

?



单调递减区间是

?? ?? 4

? k? , 3? 4

?

k?

? ??

?k

?

Z

?

(II) ?ABC 面积的最大值为 2 ? 3 4
【解析】

(I)由题意知

f

?x?

?

sin

2x

1? ?

cos

? ??

2x

?

? 2

? ??

2

2

? sin 2x ? 1? sin 2x ? sin 2x ? 1

2

2

2

由 ? ? ? 2k? ? 2x ? ? ? 2k? , k ? Z 可得 ? ? ? k? ? x ? ? ? k? , k ? Z

2

2

4

4

由 ? ? 2k? ? 2x ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? ? k? ? x ? 3? ? k? , k ? Z

2

2

4

4

所以函数 f ? x?

的单调递增区间是

????

? 4

?

k?

,

? 4

?

k?

? ??

?k

?

Z

?



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单调递减区间是

?? ?? 4

? k? , 3? 4

?

k?

? ??

?k

?

Z

?

6.【答案】(I)? ; (II)

f ( x)max ?

3 4

,

f

( x)min

?

?

1 2

.

【解析】(I) 由已知,有

f

(

x)

?

1

?

cos 2

2

x

?

1

?

cos

? ??

2x

2

?

? 3

? ??

?

1 2

? ? ?

1 2

cos

2x

?

3 2

sin

2

x

? ? ?

?

1 2

cos

2

x

?

3 4

sin

2x

?

1 4

cos 2x

?

1 2

sin

? ??

2x

?

? 6

? ??

.

所以 f (x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? . 2

(II)因为 f ( x) 在区间[- p , - p ] 上是减函数,在区间[- p , p ]上是增函数,

36

64

f (? ? ) ? ? 1 , f (? ? ) ? ? 1 , f (? ) ? 3 ,所以 f (x) 在区间[- p , p ] 上的最大值为 3 ,

3 4 6 24 4

34

4

最小值为 ? 1 . 2

7.【答案】 10

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【解析】如图,

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设 ?ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理得

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ?BAC ? (3 2)2 ? 62 ? 2? 3 2 ? 6? cos 3? ? 18 ? 36 ? (?36) ? 90 , 4
所以 a ? 3 10 .

又由正弦定理得 sin B ? b sin ?BAC ? 3 ? 10 .

a

3 10 10

由题设知 0 ? B ? ? ,所以 cos B ? 1? sin2 B ? 1? 1 ? 3 10 .

4

10 10

在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ? AB ?sin B ? 6sin B ? 3 ? 10 sin(? ? 2B) 2sin B cos B cos B

8.【答案】(1)最小正周期为p ,最大值为 2 - 3 ;(2)f (x) 在[? , 5? ] 上单调递增;f (x)

2

6 12

在[5? , 2? ] 上单调递减. 12 3

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当 ? ? 2x ? ? ? ? 时,即 5? ? x ? 2? 时, f (x) 单调递减,

2

3

12

3

综上可知, f (x) 在[? , 5? ] 上单调递增; f (x) 在[5? , 2? ] 上单调递减.

6 12

12 3

9.【答案】(1)详见解析;(2) 4 10 . 3

【解析】(1) tan

A

?

sin

A 2

?

2sin2 A 2

? 1? cos A .

2 cos A 2sin A cos A sin A

2

22

(2)由 A ? C ? 180 ,得 C ? 180 ? A, D ? 180 ? B .

由(1),有 tan A ? tan B ? tan C ? tan D

2

2

2

2

? 1? cos A ? 1? cos B ? 1? cos(180 ? A) ? 1? cos(180 ? B) sin A sin B sin(180 ? A) sin(180 ? B)

? 2?2 sin A sin B

连结 BD,
在 ?ABD 中,有 BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2AB ? AD cos A , 在 ?BCD 中,有 BD2 ? BC2 ? CD2 ? 2BC ?CD cos C , 所以 AB2 ? AD2 ? 2AB ? AD cos A ? BC2 ? CD2 ? 2BC ?CD cos A ,

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则 cos A ? AB2 ? AD2 ? BC2 ? CD2 ? 62 ? 52 ? 32 ? 42 ? 3 , 2( AB ? AD ? BC ?CD) 2(6? 5 ? 3? 4) 7

于是 sin A ? 1? cos2 A ? 1? ( 3)2 ? 2 10 .

7

7

连结 AC,同理可得

cos B ? AB2 ? BC2 ? AD2 ? CD2 ? 62 ? 32 ? 52 ? 42 ? 1 , 2( AB ? BC ? AD ?CD) 2(6? 3 ? 5? 4) 19

于是 sin B ? 1? cos2 B ? 1? ( 1 )2 ? 6 10 . 19 19

所以 tan A ? tan B ? tan C ? tan D

2

2

2

2

? 2?2 sin A sin B

? 14 ? 2?19 2 10 2 10

10.【答案】(Ⅰ) f (x) ? 5sin(2x ? π) ;(Ⅱ) π .

6

6

【解析】(Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5, ? ? 2, ? ? ? π . 数据补全如下表: 6

?x ??

0

π



π



2

2

x

π

π





13 π

12

3

12

6

12

Asin(?x ? ?)

0

5

0

?5

0

且函数表达式为

f

(x)

?

5 sin(2 x

?

π )

.

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (x) ? 5sin(2x ? π) ,得 g(x) ? 5sin(2x ? 2? ? π) .

6

6

因为 y ? sin x 的对称中心为 (kπ, 0) , k ? Z .

令 2x ? 2? ? π ? kπ ,解得 x ? kπ ? π ? ? , k ? Z .

6

2 12

由于函数 y ? g(x) 的图象关于点 (5π , 0) 成中心对称,令 kπ ? π ? ? ? 5π ,

12

2 12

12

解得? ? kπ ? π , k ? Z . 由? ? 0 可知,当 k ? 1时,? 取得最小值 π .

23

6

11.【答案】(I) ? ;(II) 3 3 .

3

2

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【解析】
(I)因为 m//n ,所以 a sin B - 3b cos A = 0 , 由正弦定理,得 sinA sinB- 3 sinBcos A = 0 又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 ,

从而 sin B = 21 , 7

又由 a > b ,知 A > B ,所以 cos B = 2 7 . 7

故 sinC

?

sin

?A?

B?

?

sin

? ??

?

?

? 3

? ??

?

sin

B cos

? 3

? cos

B sin

? 3

?

3 21 14

所以 ???C 的面积为 1 bc sinA = 3 3 .

2

2

12.【答案】(1) 2? ,(2) ?1 ?

2 2

【解析】 :

f(x ) ?

2 sin

x 2

cos

x 2

?

2 sin2

x 2

?

2

?

1 sin 2

x

?

2

?

1

?

cos 2

x

?

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?

2 2

sin

x

?

2 2

cos x

?

2 2

?

sin(x

?

? 4

)

?

2 2

(1)f(x )的最小正周期为T

?

2? 1

? 2? ;

(2)

??

?x

?

0,?

?

3? 4

?

x

?

? 4

?

? 4

,当 x

?

? 4

?

?

? 2

,x

?

?

3? 4

时,

f(x )取得最小值为: ?1 ?

2 2

13.【答案】(1)1;(2) x ? 5? . 12

【解析】(1)∵

? m ? ???

2 ,? 2

2 2

? ???



n

?

?sin

x,

cos

x

?



m

?

n





? m ? n ? ???

2 ,? 2

2 2

? ???

?

?sin

x,

cos

x?

?

2 sin x ? 2

2 2

cos

x

?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

0





x

?

? ??

0,

? 2

? ??





x

?

? 4

?

? ??

?

? 4

,

? 4

? ??

,∴

x ? ? ? 0 即 x ? ? ,∴

4

4

tan x ? tan ? ? 1 ; 4

(2)由(1)依题知 cos ? ? m ? n ? 3 m?n

? ?
?

2 2

?2 ?
?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

? ??
?

2 2

?2 ?
?

?

sin 2

x ? cos2

x

?

sin

? ??

x

?

? 4

? ??





sin

? ??

x

?

? 4

? ??

?

1 2



x

?

? 4

?

? ??

?

? 4

,

? 4

? ??



∴ x ? ? ? ? 即 x ? 5? .

46

12

14.【答案】(1)详见解析;(2) ( 2 , 9]. 28

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? ? (2A ? ? ) ? ? ? 2A ? 0 ,∴ A? (0, ? ) ,于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin(? ? 2A)

22

4

2

? sin A ? cos 2A ? ?2sin2 A ? sin A ?1 ? ?2(sin A ? 1)2 ? 9 , ∵ 0 ? A ? ? , ∴

48

4

0 ? sin A ? 2 ,因此 2 ? ?2(sin A ? 1)2 ? 9 ? 9 ,由此可知 sin A ? sin C 的取值范围

2

2

4 88

是( 2 , 9]. 28

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