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(新)绝对值不等式


一、绝对值不等式
复习回顾: 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: ? a ( a ? 0) |a| ? ? ⑴ a ? ? 0 (a ? 0) ;(定义)? a x 0 ? ? a (a ? 0) O A ? ⑵ a 的几何意义:

表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.

关于绝对值还有什么性质呢?
①a ? a
2

a a ② ab ? a b , ? ,…… b b

思考:用恰当的方法在数轴上把 a , b , a ? b 表示出 来,你能发现它们之间的什么关系?
注:绝对值的几何意义: ⑴ a 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与原点 O 的距离 OA ; ⑵ a ? b 表示数轴上的数 a 对应的点 A 与数 b 对应的点 B 的距离.如图: 即 a = OA , a ? b ? AB

猜想: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)

定理 1(绝对值三角形不等式)如果 a , b 是实数, 则 a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.) ? ? 如果把 a , b 换为向量 a , b ,根据向量加法的三 ? ? ? ? 角形法则,易知 a ? b ≤ a ? b .(同向时取等号)
? ? a?b ? a
? b

? a

? ? a?b

? b

推论 1 a1 ? a2 ? ? ? an ≤ a1 ? a2 ? ? ? an

定理2 如果a、b、c是实数, --------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| -------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号 成立. 定理3 如果a、b是实数, --------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|

将定理中的实数a、b换成向 量(或复数)仍成立

例1 已知ε> 0, - a|<ε, - b|<ε, |x |y 求 证: 2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .

练习 : a?b a?b 1.已知 a ? b , m ? ,n ? , 则m, n之间的 a ?b a ?b 大小关系是( D ) A.m ? n B.m ? n C.m ? n D.m ? n

? ? 2.设m, ? ? 0, x ? a ? , y ? b ? , a ? m, y ? m, 2 2 求证 xy ? ab ? m?

绝对值不等式的解法
1:形如|x|<a和|x|>a (a>0)的含绝对值的不等式的解集

① 不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a} 0 -a a ② 不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }

0 -a a 注:如果 a ≤ 0 ,不等式的解集易得. 利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.

例. 解下列不等式:

(1) | 3 ? 2 x |≥ 7

? ?? , ? 2 ? ? ? 5, ?? ? .
x

(2) | x ? 3 x |? 4 ( ?1, 4)
2

(3) | 3 ? 2 |? 1
(??, 0) ? (1, ??)

(4)1 ?| 3 x ? 4 |≤ 6 2 10 5 ( ?1, ] ? [? , ? ) 3 3 3

解:对绝对值里面的代数式符号讨论:

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x

(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时,不等式化为 5x-6<6-x,解得x<2, 所以6/5≤x<2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时,不等式化为 -(5x-6)<6-x,解得x>0
所以0<x<6/5 综合(Ⅰ)、 (Ⅱ)取并集得(0,2) 解:
5x-6 ≥ 0
(Ⅰ) 或

5x-6<0
(Ⅱ)

-(5x-6)<6-x 5x-6<6-x 解(Ⅰ)得:6/5≤x<2 解(Ⅱ) 得:0<x<6/5 取它们的并集得:(0,2)

解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
分析:对6-x 符号讨论, 进一步反思:不等式组 当6-x≦0时,显然无解; 中6-x>0是否可以去掉 当6-x>0时,转化为-(6-x)<5x-6<(6-x) 解: 由绝对值的意义,原不等式转化为:

有更一般的结论:X<6 6-x>0 |f(x)|<g(x) -g(x)<f(x)<g(x) -(6-x)<5x-6 -(6-x)<5x-6<(6-x) |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 5x-6<(6-x)
0<x<2

归纳:解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组). 单绝对值号不等式的解法: (1)分段讨论法去绝对值符号;
(2)利用解法公式去绝对值符号;

f ? x ? ? a (a ? 0) ? f ? x ? ? a或f ? x ? ? ? a;

f ? x ? ? g ( x ) ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x );

f ? x ? ? a (a ? 0) ? ? a ? f ? x ? ? a;

f ? x ? ? g ( x ) ? f ? x ? ? g ( x )或f ? x ? ? ? g ( x );
(3)平方法 (4)数形结合法(利用绝对值的几何意义)

练习 1、解不等式: ? x )(1? | x |) ? 0. (1 { x x ? ?1 或 ? 1 ? x ? 1} 2、解不等式:x
2

2

? 3 | x | ?4 ? 0

{ x x ? ?1 或 x ? 1}

3、解不等式 | x ? 4 |? x ? 2 .
解法 1:数形结合法(函数与方程思想).
解法2.根据绝对值的意义化简不等式(等价转化思想).

解法 3:分类讨论去绝对值符号(分类讨论思想) .

解法 4:运用解法公式去绝对值符号.

考点2 . x ? a ? x ? b ? c和 x ? a ? x ? b ? c型 不等式的解法

怎么解不等式|x-1|+|x+2|≥5 呢?
解绝对值不等式关键是去绝对值符号, 你有什么方法解决这个问题呢?

解不等式|x -1|+|x +2|≥5
方法一:利用绝对值的几何意义(体现了数

形结合的思想). 解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2
-3 -2

所以原不等式的解为 x x ≥ 2或x ≤ ?3

?

1 2

?

解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,把数轴分为三段, 然后分段考虑把原不等式转化为不含绝对值符号的不等 式求解(零点分段讨论法).(体现了分类讨论的思想)

解:(1)当x>1时,原不等式同解于 x>1 ? x≥2 (x-1)+(x+2) ≥5 (2)当-2≤x≤1时,原不等式同解于
-(x-1)+(x+2) (3)当x<-2时,原不等式同解于 x<-2 ? x≤-3 -(x-1)-(x+2) ≥5 综合上述知不等式的解集为? x x ≥ 2或x ≤ ?3?

-2 ≤ x ≤ 1

? x ?? ≥5

解不等式|x-1|+|x+2|≥5 方法三:通过构造函数,利用函数的图象(体现了 函数与方程的思想). 解 原不等式化为|x-1|+|x+2|-5 ≥0 令f(x)=|x-1|+|x+2|-5 ,则 (x-1)+(x+2)-5 (x>1) ? f(x)= -(x-1)+(x+2)-5 (-2≤x≤1) y -(x-1)-(x+2)-5 (x<-2) 2x-4 (x>1) f(x)= -2 (-2≤x≤1) -2x-6 (x<-2) 1 -2 由图象知不等式的解集为

? x x ≥ 2或x ≤ ?3?

-3

-2

2

x

归纳:双绝对值不等式的解法:

(1)利用绝对值的几何意义(数形结合思想).
(2)零点分段讨论法(分类讨论思想)

(3)通过构造函数,利用函数的图象(函数与方程思想).

(4)对 f ? x ? ? g ? x ? 型也可用平方法(等价转化思想)
f ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ?? ? ? g ? x ?? ? ? ? ?
2 2

不等式

??1, ??? x ? 2 ≥ x 的解集是___________.

练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1 2.函数f(x)=|x|-|x-3|的最大值

3 为______.
3.(08’海南)已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)作出函数y=f(x)的图象; (2)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

(??,5)

考点3.绝对值不等式中求参数的问题
1.若不等式|x-4|+|3-x|<a的解集是空集,则实数 ( ??,1] a的取值范围是___________. 2.不等式|x+1|+|x-2|<a有实数解,则实数a的取 a?3 值范围是___________. 3.若|x+1|-|x-a|<2对任意实数x恒成立,则a的取 ( ?3,1) 值范围是_________.

[例1] (2011· 陕西高考改编)若不等式|x+1|+|x

-2|≥a对任意x∈R恒成立,求a的取值范围.

[解答] 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x
-2)|=3,所以只需a≤3即可.

若本题条件变为“?x∈R使不等式|x+1|+|x-2|<a成立 为假命题”,求a的范围.

解:由条件知其等价命题为对?x∈R,|x+1|+|x-

2|≥a恒成立,
故a≤(|x+1|+|x-2|)min, 又|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, ∴a≤3.

归纳:

( ? f x) ? a ( ? f x) ? a ( ( ? f x) a解集为? ? f x) ? a ( ? f x) a解集为? ? f x) ? a ( ( ( ? f x) a恒成立 ? f x) ? a ( ( ? f x) a有解 ? f x) ? a ( ( ? f x) a解集为? ? f x) ? a ( ? f x) a解集为? ? f x) ? a (
( ? f x) a恒成立 ( ? f x) a有解
max min min min min max max max

聚焦高考 (08’广东)已知a∈R,若关于x的方程

1 范围是___________. 0?a? 4

1 x ? x ? | a ? | ? | a |? 0 有实根,则a的取值 4
2

6 (07’广东)设函数f(x)=|2x-1|+x+3,则f(-2)=___;

[?1,1] 若f(x)≤5,则x的取值范围是_____________.

方法小结: 解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号 转化为一般不等式来处理。
主要方法有: ⑴同解变形法:运用解法公式直接转化; ⑵定义法:分类讨论去绝对值符号; ①含一个绝对值符号直接分类;②含两个或两 个以上绝对值符号:零点分段法确定. ⑶数形结合(运用绝对值的几何意义); ⑷利用函数图象来分析.

聚焦高考
(08’山东)若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有

(5, 7) 且仅有1,2,3,则b的取值范围为____________.
(09’广东)不等式

x ?1 x?2

? 1 的实数解为

3 {x x ? ? 且x ? ?2} _____________. 2


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