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【高三数学复习资料】专题2.5 复杂数列的通项公式与求和问题(教学案)

数列在高考中占重要地位,每年都考,应当牢记等差、等比的通项公式,前 n 项和公 式,等差、等比数列的性质,以及常见求数列通项的方法,如累加、累乘、构造等差、等比 数列法、取倒数等。数列求和问题是数列中的重要知识,在各地的高考试题中频频出现,对 于等差数列、等比数列的求和主要是运用公式;而非等差数列、非等比数列的求和问题,一 般用倒序相加法、通项化归法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.数列的求和问题 多从数列的通项入手,通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题,考查等差、 等比数列求和公式及转化与化归思想的应用,属中档题. 一、数列的通项公式 数列的通项公式在数列中占有重要地位,是数列这部分内容的基础之一,在高考中,等 差数列和等比数列的通项公式,前 n 项和公式以及它们的性质是必考内容,一般以填空题的 形式出现,属于低中档题,若数列与函数、不等式、解析几何、向量、三角函数等知识点交 融,难度就较大,也是近几年命题的热点. 1.由数列的递推关系求通项 若一个数列首项确定,其余各项用 an 与 an-1 的关系式表示(如 an=2an-1+1,(n>1),则这 个关系式称为数列的递推公式. 由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法. an+1 (2) =f(n)型,采用叠乘法. an (3)an+1=pan+q(p≠0,p≠1)型,转化为等比数列解决. 2.由 Sn 与 an 的关系求通项 an 数列是一种特殊的函数,因此,在研究数列问题时,即要注意函数方法的普遍性,又要 ?Sn (n=1), ? 考虑数列方法的特殊性.Sn 与 an 的关系为:an=? ?Sn-Sn-1 (n≥2). ? 例 1. (苏北四市(徐州、淮安、连云港、宿迁)2017 届高三上学期期末)已知正项数 列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? a,(an ? 1)(an?1 ? 1) ? 6(Sn ? n) , n ? N . ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若对于 ?n ? N ? ,都有 Sn ≤n(3n ? 1) 成立,求实数 a 取值范围; (3)当 a ? 2 时,将数列 ?an ? 中的部分项按原来的顺序构成数列 ?bn ? ,且 b1 ? a2 ,证明: 存在无数个满足条件的无穷等比数列 ?bn ? . 解(1)当 n = 1 时, (a1 + 1)(a2 + 1) = 6(S1 + 1) ,故 a2 = 5 ; 当 n ≥ 2 时, (an- 1 + 1)(an + 1) = 6( Sn- 1 + n - 1) , 所以 (an + 1)(an +1 +1 ) - (an- 1 + 1)(an + 1) = 6( Sn + n) - 6( Sn- 1 + n - 1) , 即 (an + 1)(an+ 1 - an- 1 ) = 6(an + 1) , 又 an > 0 ,所以 an+ 1 - an- 1 = 6 ,………………………………………………3 分 所以 a2 k - 1 = a + 6(k - 1) = 6k + a - 6 , a2 k = 5+6(k - 1) = 6k - 1, k ? N* , ì ? 3n + a - 3, n为奇数, n ? N* , 故 an = ? …………………………………………5 分 í * ? 3 n 1, n 为偶数 , n ? N . ? ? (3)当 a = 2 时,若 n 为奇数,则 an = 3n - 1 ,所以 an = 3n - 1 . 解法 1:令等比数列 {bn } 的公比 q = 4m (m ? N* ) ,则 bn = b1q n- 1 = 5? 4m( n- 1) . 设 k = m(n - 1) ,因为 1 + 4 + 42 + ? + 4 k - 1 = 所以 5? 4m( n- 1) 4k - 1 , 3 5? [3(1 4 + 42 + ?+ 4k - 1 ) + 1] , = 3[5(1 + 4 + 42 + ?+4k - 1 ) + 2] - 1 ,…………………………14 分 因为 5(1 + 4 + 42 + ?+4k - 1 ) + 2 为正整数, 所以数列 {bn } 是数列 {an } 中包含的无穷等比数列, 因为公比 q = 4m (m ? N* ) 有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列, 故无穷等比数列 {bn } 有无数个.………………………………………………16 分 解法 2:设 b2 = ak2 = 3k2 - 1(k2 ≥ 3) ,所以公比 q = 因为等比数列 {bn } 的各项为整数,所以 q 为整数, 取 k2 = 5m + 2(m ? N* ) ,则 q = 3m + 1 ,故 bn = 5 ?(3m 1)n- 1 , 由 3kn - 1 = 5 ?(3m 1)n- 1 得, kn = 而当 n ≥ 2 时, kn - kn- 1 = 3k2 - 1 . 5 1 [5(3m + 1)n- 1 + 1](n ? N* ) , 3 5 [(3m + 1)n- 1 - (3m + 1)n- 2 ] = 5m(3m + 1)n- 2 , 3 点评:利用 an=Sn-Sn-1 求通项时,注意 n≥2 这一前提条件,易忽略验证 n=1 致误,当 n=1 时,a1 若适合通项,则 n=1 的情况应并入 n≥2 时的通项;否则 an 应利用分段函数的形式表 示. 二 数列的求和 数列求和是高考的热点,主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法 求和与并项法求和,题目呈现方式多样,在选择题、填空题中以考查基础知识为主,在解答 题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主,求解的关键是抓住通项公式的特征,正确变 形,分清项数求和. 数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然

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