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用3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算


3.1.1-3.1.2空间向量 及其加减与数乘运算

问题

空间向量和平面向量有什么区别?它有什么作用?

空间向量与平面向量没有本质区 别,都是表示既有大小又有方向的量, 具有数与形的双重性.形的特征:方 向、长度、夹角等;数的属性:大小、 正负、可进行运算等.空间向量的数 形双重性,使形与数的转化得以实现, 利用这种转化可使一些几何问题利用 数的方式来解决.

一:空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a

空间向量
具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 长度为零的向量

思考:空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内?为什么?
B

b

O

A

a
O′

结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内,
内,成为同一平面内的两个向量。

说明
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平面向量 中有关结论仍适用于它们。

二、空间向量加法运算(运算律)
1.空间向量的加法、减法 类似平面向量,定义空间向量的加、减法运算(如图): → → → OB=OA+OC=__________ ; a+b → → → a-b CA=OA-OC=__________. 2.空间向量加法的运算律 b+a ; (1)交换律 a+b=________
a+(b+c) (2)结合律 (a+b)+c=__________.

⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);

a

a c
b

b

c

概念 加法 减法 运算 运 算 律

二、空间向量的加法、减法运算 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量 ,表示法、 相等向量 . 加法: 三角形法则或 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法: 三角形法则 减法:三角形法则 加法交换律 a?b ? b?a 加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

三、空间向量的数乘运算
与平面向量一样 , 实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? a 仍然是一个向量. ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

例如:
a

3a

?3a

空间向量的数乘运算 (1)向量的数乘:实数 λ 与空间向量 a 的乘积仍然是一 个向量,记作_______ ,称为向量的数乘运算 _______________.当 λ>0 λa 时,λa 与向量 a 方向________ ;当 λ<0 时,λa 与向量 相同

|λ | a 方向________ ;λa 的长度是 a 的长度的________ 倍. 相反
(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律:

λ(a+b)=λa+λb λ(μa)=(λμ)a 分配律: ________________ , 结合律: _______________.

四、共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a ? ?b ??唯一?
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

中点公式:

1 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2
B
P A O

?

?

共线向量的推论 如果 l 为经过点 A 平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于 空间任一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,使 → → → 方向向量 . OP=OA+ta, ①其中 a 叫直线 l 的____________ 在 l 上取AB

→ → → OP = OA + tAB =a,则①式可化为____________.此推论可以用来判断三点
共线.

4、灵活性:
(1)中位线

A

1 DE= BC 2

D
B

E
C

A

(2)中线

1 B ( + ) ? AB AC AD 2
(3)重心

D

AC

2 AG =2GD = AD 3


B
D C

六、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e2 由平面向量基本定理知,如果 e1,
1 2

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 ? ? 只有一对实数 ? , ? 使 a ? ?1e1 ? ?2e2

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? a , 反过来,对空间任意两个不共线的向量 ,如 b ? 果 p ? x? ? yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

b

C

p

P

A aB

? xa, yb分别与a, b共线,

?xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在 a, b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a, b确定的平面内 ,即p与a, b共面

? b 不共线, 2.共面向量定理:如果两个向量 a , ? 则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是
存在唯一的实数对x,y使

p ? xa ? yb

b

C

p

P

A a B

3.空间四点P、A、B、C共面
? 存在唯一实数对(x , y) , 使得AP ? x AB ? y AC

? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

C'
b
C

p

P

A a B

O

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理 ? ? ?

? a // b (a ? 0)

? b ? ?a

? ? ? a b

p

共面

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0 ( x ? y ? z ? 1)

OP ? OA ?x AB ? y AC

运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或直线 直线平行 平行于平面

1.下列命题中,假命题是 → → A.向量AB与BA的长度相等 C.只有零向量的模等于 0 D.共线的单位向量都相等

( D )

B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同

解析 容易判断 D 是假命题,共线的单位向量是相等 向量或相反向量.

跟踪训练 2 如图所示, 四边形 ABCD 是空间 四边形, E,H 分别是边 AB, AD 的中点, → 2→ F, G 分别是边 CB, CD 上的点, 且CF= CB, 3 → 2→ CG= CD.求证:四边形 EFGH 是梯形. 3 证明 因为 E,H 分别是 AB,AD 的中点, → 1→ → 1 → 所以AE= AB,AH= AD, 2 2 → → 1 → → → 1→ 所以AE-AH=2(AB-AD),即HE=2DB. → → 2 → → → 2→ 同理CF-CG=3(CB-CD),即GF=3DB. → 3→ → → → → 所以HE=4GF,所以HE∥GF,且|HE|≠|GF|, 又 H,E,G,F 不共线,所以四边形 EFGH 是梯形.

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; (2)若空间向量

a、 b 满足| a |?| b |,则 a ? b



(3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,必有 AC ? AC ; 1 1
(4)若空间向量 m 、 n、 p 满足 m ? n, n ? p ,则 (5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

m? p



C )
D.4

平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到 A?B?C ?D? 的轨迹所形成的几何体,叫做平行六面体.记 作ABCD— A?B?C ?D? .
D’

C’

平行六面体 的六个面都是平 行四边形,每个

A’

B’

面的边叫做平行
六面体的棱.

a
A

D B

C

例2 已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下
列向量表达式,并标出 化简结果的向量:
D’ A’ B’

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
A

C’

D B

C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA'; 解:⑴ AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA' ? AC ? AA'   ? AC ? CC'
? AC'
A’

D’
B’

C’

D
A B

C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: 1 ⑶ AB ? AD ? CC ' 2

解:⑶设M是线段CC’的中点,则
1 AB ? AD ? CC ' 2
D’ C’ B’ M

? AC ? CM

A’

? AM
D A B
C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: 1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3

解:⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点,则
1 ( AB ? AD ? AA' ) 3 1 ? AC ' 3
A’

D’ B’

C’

M D A

G
C B

? AG.

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A1 D1 B1 C1

D

C B

A

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A D B C A1 D1 B1 C1

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1

解:(2) 2 AD1 ? BD1
? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? ( BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1
? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例3:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 A1

D1 B1

C1

⑶AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
解:(3) AC ? AB1 ? AD1
A

D B

C

? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD)
? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2 AC1

? x ? 2.

例4: B 1.下列命题中正确的有:
(1) p ? xa ? yb  ? p与a 、 b 共面 ;
(2) p 与 a 、 b 共面 ? p ? xa ? yb  ;
(3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

(4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2MA -MB 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、

它们一定是:

A

A.共面向量
C.不共面向量

B.共线向量

D.既不共线又不共面向量

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 1 1 意一点O, OM ? xOA + OB + OC ,则x 3 3 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

2 1 2 (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

(2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

例5. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH

求证:

OA

?

OB

?

OC

?

OD

? k,

D
B H F

C
G

A ⑴四点E、F、G、H共面;

⑵平面EG//平面AC.
E

例5 (课本例)已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面; ②平面AC//平面EG. 证明: ∵四边形ABCD为 ① ∴AC ? AB ? AD (﹡)
D

O

EG ? OG ? OE ? kOC ? kOA

C

? k (OC ? OA) ? kAC ? k ( AB ? AD) (﹡)代入

A
H

B
G

? k (OB ? OA ? OD ? OA)
? OF ? OE ? OH ? OE E F ? EF ? EH 所以 E、F、G、H共面。

例5 已知

ABCD ,从平面AC外一点O引向量

OE ? kOA, OF ? kOB, OG ? kOC , OH ? kOD
求证:①四点E、F、G、H共面;

②平面AC//平面EG。
证明: ② EF

? OF ? OE ? kOB ? kOA

O

? k (OB ? OA) ? kAB 由①知 EG ? kAC
? EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得:

D

C

A
H
E

B
G

面EG // 面AC

F


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