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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
疱工巧解牛 知识?巧学 一、两角和的余弦公式 1.比较 cos(α -β )与 cos(α +β ),根据 α +β 与 α -β 之间的联系:α +β =α -(-β ),则 由 两 角 差 的 公 式 得 cos(α +β )=cos [ α -(-β ) ] =cosα cos(-β )+sinα sin(-β )=cosα cosβ -sinα sinβ , 即 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 学法一得 这种以-β 代 β 的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用,同时 也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式 C(α -β )中, 因为角 α 、 β 是任意角, 所以在 C(α +β ) 中,角 α 、β 也是任意角. 2.用两点间的距离公式推导 C(α +β ).

图 3-1-5 如图 3-1-5,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,以 O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边, 作出角 α 、-β ,使角 α 、-β 的终边分别交单位圆于点 P2、P4,再以 OP2 为始边,作角 β , 使它的终边交单位圆于点 P3,这样就出现了 α 、β 、α +β 这样的角,设角 α 、-β 的始边 交单位圆于点 P1,则 P1(1,0).设 P2(x,y),根据任意角的三角函数的定义,有 sinα =y, cosα =x,即 P2(cosα ,sinα );同理,可得 P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ), sin(-β )). 由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4,所以|P1P3|=|P2P4|. 2 2 |P1P3| =|P2P4| , 2 2 2 2 即[cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] . 根据同角三角函数的基本关系,整理得 2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ), 即 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 3.利用向量的数量积推导 C(α +β ).

图 3-1-6 如图 3-1-6,在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆,以 Ox 为始边作角 α 、-β ,它们与单 位圆的交点分别为 A、B. 显然, OA =(cosα ,sinα ), OB =(cos(-β ),sin(-β )). 根据向量数量积的定义,有

1

OA

?

OB

=

(cosα ,sinα )?(cos(-β ),sin(-β ))=cosα cos(-β )+sinα sin(-β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 于是 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ . 学法一得 ①在处理问题的过程中,把有待解决或难解决的问题,通过某种转化,归结为一 类已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解,这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体, 我们推导了同角的三角函数的基本关系式、 诱导公式 和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关 键. 记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导

? -(α -β ) ] =cos [ ( 2 ? ? =cos( -α )cosβ -sin( -α )sinβ =sinα cosβ -cosα sinβ . 2 2
sin(α -β )=cos [

? 2

-α )+β



在上面的公式中,以-β 代 β ,即可得到 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ . 2.和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如 sin(2π -α )=sin2π cosα -cos2π sinα =0?cosα -1?sinα =-sinα . 当 α 或 β 中有一个角是

? 的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便;上面公式中的 α 、 2

β 均为任意角. 误区警示 公式对分配律不成立,即 sin(α ±β )≠sinα ±sinβ ,学习时一定要注意这一 点. 学 法 一 得 公 式 使 用 时 不 仅 要 会 正 用 , 还 要 能 够 逆 用 , 如 化 简 sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ , 不要将 sin(α +β )和 cos(α +β )展开, 而应当整体考 察,进行如下变形:sin(α +β )cosβ -cos(α +β )sinβ =sin[(α +β )-β ]=sinα ,这也 体现了数学中的整体原则. 记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来, 两角和与差的正弦公式的右端的两 部分为异名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角和与差的正切 1.公式的推导 利用两角和的正弦、余弦公式,可以推导出两角和的正切公式: tan(α +β )=

sin(? ? ? ) sin ? cos ? ? cos? sin ? ? , 当 cosα cosβ ≠0 时, 我们可以将上 cos(? ? ? ) cos? cos ? ? sin ? sin ?

式的分子、分母同时除以 cosα cosβ , 即得用 tanα 和 tanβ 表示的公式: tan(α +β )=

tan? ? tan ? ,在上面的公式中,以-β 代 β ,可得两角差的正切公式: 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? . 1 ? tan? tan ?
2

tan(α -β )=

2.公式成立的条件 要能应用公式,首先要使公式本身有意义,即 tanα 、tanβ 存在.并且 1+tanα tanβ 的值不为零,所以可得 α 、β 需满足的条件:α ≠kπ + α -β ≠kπ +

? ,以上 k∈Z.当 tanα 、tanβ 、tan(α ±β )不存在时,可以改用诱导公式 2

? ? ? ,β ≠kπ + ,α +β ≠kπ + 或 2 2 2

或其他方法解决. 学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用,而且可以逆用、变形用,逆用和变形用都 是化简三角恒等式的重要手段,如 tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ )就可以解决诸 如 tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征,巧 妙运用公式或其变形,使变换过程简单明了. 典题?热题 知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例 1 求 sin75°,tan15°的值. 解:sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =

2 3 2 1 6? 2 ; ? ? ? ? 2 2 2 2 4

tan15°=tan(60°-45°)=

tan60? ? tan45? 3 ?1 ? ? 2? 3, 1 ? tan60? tan45? 1 ? 3
1?

3 tan 45? ? tan30? 3 ? 2? 3. ? 或 tan15°=tan(45°-30°)= 1 ? tan 45? tan30? 3 1? 3
例2 求

sin 7? ? cos 15 ? sin 8? 的值. cos 7? ? sin 15 ? sin 8?

思路分析:观察被求式的函数名称的特点和角的特点,其中 7°=15°-8°,15°=8°+7°, 8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式, 都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开, 进行 约分、化简、求值.若用 7°=15°-8°代换,分子、分母是二次齐次式;若用 15°=8°+7° 或 8°=15°-7°代换,分子、分母将会出现三次式,显然选择后者更好,不妨比较一下. 答案:原式=

sin 7? ? cos(7? ? 8?) sin 8? cos7? ? sin(7? ? 8?) sin 8?

sin 7? ? cos7? cos8? sin 8? ? sin 7? ? sin 2 8? sin 7?(1 ? sin 2 8?) ? cos7? cos8? sin 8? ? ? cos7? ? sin 7? cos8? sin 8? ? cos7? ? sin 2 8? cos7?(1 ? sin 2 8?) ? sin 7? cos8? sin 8?
sin 7? ? cos2 8? ? cos7? cos8? sin 8? sin 7? cos8? ? cos7? sin 8? ? ? cos7? ? cos2 8? ? sin 7? cos8? sin 8? cos7? cos8? ? sin 7? sin 8?
? sin 15 ? ? tan 15? ? 2 ? 3 . cos 15?

3

巧解提示:原式=

sin(15? ? 8?) ? cos15? ? sin 8? cos(15? ? 8?) ? sin 15? ? sin 8?

sin 15? ? cos 8? ? cos 15? ? sin 8? ? cos 15? ? sin 8? cos 15? ? cos 8? ? sin 15? ? sin 8? ? sin 15? ? sin 8? sin 15? ? cos 8? ? =tan15°=tan(45°-30°) cos 15? ? cos 8? ?

tan 45? ? tan30? ? ? 1 ? tan 45? ? tan30?

3 3 ? 2? 3. 3 1? 3 1?

方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒 等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依据选择可以联系它们的适 当公式,这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值,还是证明,其结果应遵循以下 几个原则:①能求值的要求值;②三角函数的种类尽可能少;③角的种类尽可能少;④次数 尽可能低;⑤尽可能不含根号和分母. 知识点二 已知 α 、β 的三角函数值,求 α ±β 的三角函数值 例 3 已知 sinα = 思路分析:因为

? 是个特殊角,所以根据 C(α +β )的展开式,只需求出 cosα 的值即可.由于 3 1 条件只告诉了 sinα = ,没有明确角 α 所在的象限,所以应分类讨论,先求 cosα 的值, 3 ? 再代入展开式确定 cos( +α )的值. 3 1 解:∵sinα = >0,∴α 位于第一、二象限. 3
当 α 是第一象限角时,cosα = 1 ? ( ) ?
2

1 ? ,求 cos( +α )的值. 3 3

1 3

2 2 , 3

∴cos(

? ? ? 1 2 2 3 1 2 2? 3 ? ? ? +α )=cos cosα -sin sinα = ? ; 3 3 3 2 3 2 3 6
2 2 , 3

同理,当 α 是第二象限角时,cosα = ?

∴cos(

? 2 3? 3 +α )= ? . 3 6

方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清 S(α ±β )、C(α ±β )、T(α ±β )的展开式中所需要 的条件,结合题设,明确谁是已知的,谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求 值时,应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是,对于 cos(π +α )、cos(

? +α ) 2
4

这样的函数求值,由于它们的角与 利用诱导公式可能更简单. 例 4 已知 cos(α 的值. 思路分析:观察给出的角

? 的整数倍有关,所以无需按它们的展开式求值,直接 2

? 1 ? 2 ? ? ? ?? o s )= ? , sin( -β )= , 并且 <α <π , 0<β < , 求c 9 3 2 2 2 2 2

? ??
2

? (? ?

?
2

)?(

?
2

? ? ) ,结合公式 C(α -β )展开式的特点,只

? ? )、cos( -β )的值即可. 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 解:∵ <α <π ,0<β < ,∴ < < ,0< < . 2 2 4 2 2 2 4 ? ? ? ? ? ∴ <α - <π ,- < -β < . 4 2 4 2 2 ? 1 ? ? 又∵cos(α - )= ? <0,∴ ? ? ? ? ? ? . 9 2 2 2
需利用同角三角函数的基本关系计算出 sin(α ∴ sin(? ?

?
2

) ? 1 ? sin 2 (? ?

?

1 4 5 . ) ? 1 ? (? ) 2 ? 2 9 9

同理,∵sin(

? 2 ? ? -β )= >0,∴ 0 ? ? ? ? . 3 2 2 2

∴ cos( 故 cos

?
2

? ? ) ? 1 ? sin 2 (
? cos[( ? ?

?

2 5 . ? ? ) ? 1 ? ( )2 ? 2 3 3

? ??
2

?
2

)?(

?
2

? ? )]

=cos(α -

? ? ? ? )cos( -β )+sin(α - )sin( -β ) 2 2 2 2

1 5 4 5 2 7 5 ?? ? ? ? ? . 9 3 9 3 27
例 5 在△ABC 中,sinA=

3 5 ,cosB= ,求 cosC. 5 13

思路分析: 本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件, 就会产生 多解,所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围,避开分类讨论,同时要注意结论是 否符合题意. 解: ∵cosB=

? ? 12 5 2 ? ,∴B∈( , )且 sinB= . 13 4 2 13 2
? 3? 3 2 ? ,∴A∈(0, )∪( ,π ). 4 4 5 2

∵sinA=

5

3? ? ? 3? ,π ),B∈( , ),则 A+B∈(π , )与 A+B+C=π 矛盾, 4 2 4 2 3? ? 4 ∴A ? ( ,π ).因此 A∈(0, )且 cosA= . 4 5 4 4 5 3 12 16 ? ? ? 从而 cosC=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= ? ? . 5 13 5 13 65
若 A∈( 例 6 如图 3-1-7,已知向量 OP =(3,4)绕原点旋转 45°到 OP′的位置,求点 P′(x′,y′) 的坐标.

图 3-1-7 思路分析:本题相当于已知角 α 的三角函数值,求 α +45°的三角函数值. 解:设∠xOP=α . 因为|OP|= 32 ? 42 ? 5 ,所以 cosα =

3 4 ,sinα = . 5 5

因为 x′=5cos(α +45°)=5(cosα cos45°-sinα sin45°)

3 2 4 2 2 , ? 5( ? ? ? )?? 5 2 5 2 2
同理,可求得 y′=5sin(α +45°)=

7 2 2 7 2 ,所以 P′( ? , ). 2 2 2

方法归纳 ①已知角 α 的某一三角函数值和角 α 所在的象限,则角 α 的其他三角函数值 唯一;已知角 α 的某一三角函数值,不知角 α 所在的象限,应先分类讨论,再求 α 的其 他三角函数值. ②一般地,90°±α ,270°±α 的三角函数值,等于 α 的余名函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号,它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行. ③在给值求值的题型中,要灵活处理已知与未知的关系,合理进行角的变换,使所求角能用 已知角表示出来,所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例 7 已知 sinα =

5 10 ,sinβ = ,且 α 、β 都是锐角,求 α +β 的值. 5 10

思路分析:(1)根据已知条件可先求出 α +β 的某个三角函数值,如 cos(α +β ).(2)由两角 和的余弦公式及题设条件知只需求出 cosα 、cosβ 即可.(3)由于 α 、β 都是锐角,所以 0 <α +β <π ,y=cosx 在(0,π )上是减函数, 从而根据 cos(α +β )的值即可求出 α +β 的值. 解: ∵sinα =

5 10 2 5 2 ,sinβ = , 且α 、 β 都是锐角, ∴cosα = 1 ? sin ? ? , cosβ = 5 10 5

6

1 ? sin 2 ? ?

3 10 . 10 2 5 3 10 5 10 2 . ? ? ? ? 5 10 5 10 2

∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = 又∵0<α +β <π ,∴α +β =

? . 4

方法归纳 给值求角的一般步骤是: ①确定所求角的范围; ②找到该范围内具有单调性的某 一三角函数值;③先找到一个与之相关的锐角,再由诱导公式导出所求角的值. 知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式 例 8 已知 3sinβ =sin(2α +β ),求证:tan(α +β )=2tanα . 思路分析:观察条件等式和结论等式中的角,条件中含有 β 、2α +β ,结论中含有 α +β 、 α ,若从条件入手,可采用角的变换,β =(α +β )-α ,2α +β =(α +β )+α ,展开后转化成 齐次整式,约分得出结论. 证明:∵3sinβ =3sin[(α +β )-α ]=3sin(α +β )cosα -3cos(α +β )sinα , sin(2α +β )=sin[(α +β )+α ]=sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα , 又 3sinβ =sin(2α +β ), ∴3sin(α +β )cosα -3cos(α +β )sinα =sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα . ∴2sin(α +β )cosα =4cos(α +β )sinα . ∴tan(α +β )=2tanα . 方法归纳 对条件恒等式的证明,若条件复杂,可从化简条件入手得出结论;若结论复杂, 可化简结论得出条件; 若条件和结论都较为复杂, 可同时化简它们, 直到找到它们间的联系. 知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值 例 9 用和、差公式证明 tan12°+tan18°+

3 3 tan12°?tan18°= . 3 3

解:∵

tan 12? ? tan 18? 3 =tan(12°+18°)=tan30°= , 1 ? tan 12 ? ? tan 18? 3

∴tan12°+tan18°=

3 (1-tan12°?tan18°), 3

即左边=

3 3 3 (1-tan12°tan18°)+ tan12°tan18°= =右边. 3 3 3 3 3 tan12°?tan18°= . 3 3

∴tan12°+tan18°+

方法归纳 三角公式通过等价变形,可正用,可逆用,也可变用,主要是通过对函数结构式 的变形与对角的分、拆、组合来实现的. 例 10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)??(1+tan45°)的值. 解: 因为 α +β =45°时, tan(α +β )=

tan? ? tan ? =1, 所以 tanα +tanβ +tanα tanβ =1, 1 ? tan? ? tan ?
7

即(1+tanα )(1+tanβ )=2. 于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=??=(1+tan22°)(1+tan23°)=2. 23 又因为 1+tan45°=2,所以原式=2 . 方法归纳 当 α +β =kπ + 当 α +β =kπ -

? ,k∈Z 时,(1+tanα )(1+tanβ )=2tanα tanβ . 4

? ,k∈Z 时,(1+tanα )(1+tanβ )=2; 4

问题?探究 思想方法探究 问题 1 在三角恒等变换中,三角公式众多,公式变换也是解决问题的有效手段,在应用这 些公式时要注意些什么问题? 探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换,这是灵活使用公式所必须 的,尤其是面对那么多三角公式,把这些公式变活,显得更加重要,这也是学好三角函数的 基本功. 如:cos(α -β )cosβ -sin(α -β )sinβ 化简为__________.将 α -β 看作一个角,β 看作另一个角,则 cos(α -β )cosβ -sin(α -β )sinβ =cos[(α -β )+β ]=cosα . 解答本题时不仅利用角的变换:α =(α -β )+β ,同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式 tan(α +β )=

tan? ? tan ? .除了掌握其正向使用之外,还需 1 ? tan? tan ?

掌握如下变换:1-tanα tanβ =

tan? ? tan ? ;tanα +tanβ =tan(α +β )(1-tanα tanβ ); tan( ? ? ?)

tanα tanβ tan(α +β )=tan (α +β )-tanα -tanβ 等 .两角和的正切公式的三种变形要熟 悉,其在以后解题中经常使用,要能灵活处理. 问题 2 2004 年重庆高考有一题为:求函数 y=sin x+ 2 3 sinxcosx-cos x 的最小正周期和
4 4

最小值,并写出该函数在[ 0,π ]上的单调递增区间 . 该函数变形后就需要用到形如 asinx+bcosx(a、b 不同时为零)的式子的变换,我们称之为辅助角变换,那么如何进行辅助 角变换? 探究过程:形如 asinx+bcosx(a、 b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为 Asin(x+φ )的 形式.asinx+bcosx= a ? b (
2 2

a a ?b
2 2

sin x ?

b a ? b2
2

cos x) ,

令 cosφ =

a a2 ? b2

,sinφ =

b a2 ? b2

,则

原式= a 2 ? b 2 (sinxcosφ +cosxsinφ )= a 2 ? b 2 sin(x+φ ). (其中 φ 角所在象限由 a、 b 的符号确定, φ 角的值由 tanφ =

b b 确定, 常常取 φ =arctan ). a a

探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式,它的应用十分广泛,特别是在数学中求三角 函数的最值及物理学当中波的合成时,都是重要的工具.例如 2sinx-3cosx,就可以利用这 一 结 论 将 其 化 为 一 个 三 角 函 数 的 形 式 , 从 而 确 定 其 最 值 , 因 为

8

a=2,b=-3,A= a 2 ? b 2 ? 13 ,所以 2sinx-3cosx= 13 sin(x+φ ),(其中 φ 在第四象限, 且 tanφ = ?

3 ),所以 2sinx-3cosx 的最大值是 13 ,最小值是 ? 13 . 2

9