当前位置:首页 >> >>

第三章 向量空间_图文

通识教育平台数学课程系列教材

第一节 向量空间 第二节 向量的线性相关性 第三节 向量空间的基及向量的坐标 第四节 欧氏空间 第五节 线性变换

本章学习要求:
?
? ? ?

1.理解n维向量的概念。
2.理解向量组线性相关、线性无关的定义,了解有关 的重要性质并会进行判别。 3.理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念,并 会求向量组的最大无关组与向量组的秩。 4.知道n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概 念,知道基变换和坐标变换。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”(或“会”)三级来 表述。

本章学习要求:
? 5.了解向量内积的概念,了解标准正交基的概念,会 用线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。 ? 6.了解线性变换的概念,了解正交变换和正交矩阵的 概念和性质。 ? 7.理解线性变换的特征值与特征向量的概念并掌握其 求法。 ? 8.了解相似矩阵的概念及性质。了解矩阵对角化的充 要条件。会求实对称矩阵的相似对角形矩阵。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对于概念和理论方面的内容,从高到低分别用 “理解”、“了解”、“知道”三级来表述; 对于方法,运算和能力方面的内容,从高到低分别用 “熟练掌握”、“掌握”、“能”(或“会”)三级来

§1. 向量空间 一、n 维向量的定义及运算 我们知道三维向量的概念,知道三维向量与一个 三元有序数组形成一一对应,实际生活中很多事物也可 用多个数构成的有序数组来刻划. 如一个n元线性方程组 a1x1+a2x2+…+ anxn= b

就可用 n+1个数构成的有序数组 (a1, a2, …, an, b) 来代表. 我们把三维向量的概念予以推广,讨论 n 维向量. 1. n 维向量
定义1

由 n 个数构成的有序数组(a1, a2, …, an) 称为 一个n 维向量, 其中ai 称为该向量的第 i 个分

量 ( i =1, 2, …, n).
第三章 向量空间

上一页

我们也可把 n 维向量的分量排成一列,如

? a1 ? ?a ? α ? ? 2? , ??? ? ? ?an ?
此时可称 ? 为 n 维列向量;相应地称把分量排成一 行的向量称为 n 维行向量,如 ? = (a1, a2, …, an). 由上面可看出,n 维向量的概念与运算实际上与 1? n ( 或 n ? 1 )矩阵一致.

第三章 向量空间

上一页

设A是一个 m 行 n 列的矩阵,则 A 的每一行是一 个 n 维行向量,A 的每一列是一个m维列向量,分别 称它们为 A 的行向量与列向量. 并可以表示为

? a11 ?a A ? ? 21 ?? ? ?a m1

a1n ? ? ?1 ? ?? ? ? a 22 ? a 2n ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? a m 2 ? a mn ? ? m ? a12 ?

? ( ?1, ? 2 ,?, ? n ).

第三章 向量空间

一般用希腊字母 ?, ?, ?, …表示 n 维向量. 分量全 是实数的向量称为实向量. 以后我们所讨论的向量都 是指实向量.

注意:n > 3 时的向量没有直观的几何意义.
规定: 对于 ? = (a1, a2, …, an ), ? = (b1, b2, …, bn ),

?= ? ? ai = bi, i =1, 2, …, n.
2. n 维向量的运算 1) 加减法 设 ? = (a1, a2, …, an), ? = (b1, b2, …, bn ), 定义

? ? ? = (a1 ? b1, a2 ? b2, …, an ? bn).
2) 数乘 设 ? = (a1, a2, …, an), k为实数,定义数 k 与向量 ? 的乘积为 k? = (ka1, ka2 , …, kan). 第三章 向量空间

上一页

易验证,向量的运算满足如下八条基本规律: 1) 加法交换律 ? + ? = ? + ?; 2) 加法结合律 (? + ? ) + ? = (? + ? ) + ? ; 3) 向量 0 = (0, 0, …, 0) 称为零向量,它有性质 4) (?1) ? = (?a1, ? a2, …, ? an) 称为 ? 的负向量,记为 ? ?. 显然有: 5) 1?? = ?; 6) 数乘结合律 k ( l?) = ( k l) ?; 7) 第一分配律 k ( ?+ ? ) = k ? + k ?; 8) 第二分配律 ( k+l ) ? = k ? + l ?, (其中 ?, ?, ? 为任意 n 维向量, k, l 为实数). 第三章 向量空间

? +0=?;

? + (? ? ) = 0;

§1. 向量空间 二、向量空间
定义1

设V是一些 n 维向量的非空集合,如果 V 关 于向量的加法与数乘封闭,即 (1) ? ?, ? ? V, 有 ? + ? ? V. (2) ? ? ?V, k ? R, 有 k ? ?V. 则称 V 是一个向量空间.

第三章 向量空间

例1 全体 n 维向量的集合{(x1, x2, …, xn)| xi ? R, i=1, 2, …, n }是一个向量空间,记为 Rn.

特别的 n = 1 时全体实数 R 是一个向量空间; n = 2 时全体平面中的向量 {(x1, x2 ) | xi ?R, i=1, 2} 是 一个向量空间,记为R2. n = 3 时全体三维向量 {(x1, x2, x3) |xi ? R, i= 1, 2, 3 } 是一个向量空间,记为R3.

第三章 向量空间

上一页

例2

仅含一个 n 维零向量 0 = (0, 0, …, 0) 的集合 {0} 构成一个向量空间,称为零空间.

例3 W = {(a1, a2, …, an)| 而

?a
i ?1

n

i

? 0} 是一向量空间.
n

S ? {( a1 , a 2 , ?, a n ) | ? ai ? 1}
i ?1

不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭.

第三章 向量空间

上一页

二、子空间
定义3

设 V 是一个向量空间,W ? V, W ? ?. 如果 W 关于向量的加法与数乘也封闭,则称 W 是 V 的子空间. 由定义可知,向量空间 V 的非空子集 W 是 V 的子空间 当且仅当对任意的α,β∈ W 及数 k, l ∈ R, 都有 kα+lβ∈W. 例4 V 本身和 {0} 都是 V 的子空间,称它们为 V

的平凡子空间. 它们分别构成 V 的最大和最小
的子空间. V的其他的子空间称为非平凡子空间.

第三章 向量空间

上一页

例5

W1 ? {(a1, a2 ,?, an?1,0) | ai ? R , i ? 1,2,?, n ? 1}
及 W2 ? {(a, a, a,?, a) | a ? R }都是 R n 的子空间. n个分量

例6
设 ? ? V, 则 L (?) = {k? | k ? R }为 V 的子空间,称 它为由 ? 生成的子空间,? 称为这子空间的生成元. 更一般地,设 ?1, ?2, …, ?s ? V.
s

L(?1,? 2 ,?? s ) ? {? | ? ? ? ki?i , ki ? R , i ? 1,2,?, s}
i ?1

是 V 的由 ?1, ?2, …, ?s 生成的子空间.

第三章 向量空间

上一页

例7 设 A 为 m 行 n 列实矩阵,设 A 的列向量为 ?1,

?2, …, ?n, 则 L( ?1, ?2, …, ?n) 是 Rm 的子空间,
称为 A的列空间,记为 N(A), 设 A 的行向量为 ?1, ?2, …, ?n, 则 L(?1, ?2, …,

?n) 也是Rn 的子空间,称为 A 的行空间.

例8 线性方程组 Ax = 0 的解集合 S 构成一个向量空间, 其中 A 为已知 m X n 矩阵,x 为 n 维未知列向量.

第三章 向量空间

上一页

例9

设 W1,W2 是向量空间 V 的两个子空间,则 V
的子集 以及

{? | ? ?W1 且? ?W2} {? | ? ? ?1 ? ?2,其中?1 ?W1,?2 ?W2}

都是 V 的子空间. 前者称为 W1 和 W2 的交,记为

W1 ? W2 ; 后者称为 W1 和 W2 的和,记为W1 ? W2 .

第三章 向量空间

§2. 向量的线性相关性 一、向量组的线性相关与线性无关的概念

三维空间中两向量“共线”,三个向量“共面”的概念 加以推广.得到
定义1

对于 n 维向量组 ?1, ?2, …, ?s ,如果存在不全为零 的实数 k1, k2, …, ks 使得 k1 ?1 + k2 ?2+ …+ks ?s = 0,

则称 n 维向量组 ?1, ?2, …, ?s 线性相关,
否则,称?1, ?2, …, ?s 线性无关. 所谓 ?1, ?2, …, ?s 线性无关,即如果

k1 ?1 + k2 ?2+ …+ks ?s = 0, 则必有 k1= k2= …= ks= 0. 第三章 向量空间

例1

设 R? 中的向量 ?1 = (1, -1, 1), ?2 = (2, 0, 2), ?3= (2, -1, 0) , 因为 2?1 + ?2 ? 2?3 = 0.
则向量组 ?1,?2, ?3 线性相关.

练习 向量组 ?1 = (1, 2, 0, 1), ?2 = (1, 1, ?1, 3), ?3= (1, 3, 1, ? 1)是否线性相关? 2?1? ?2 ? ?3 = 0.

第三章 向量空间

上一页

例2

证明 n 维向量组 e1= (1, 0, …, 0), e2= (0, 1, …, 0), …,
en= ( 0, 0, …, 1)线性无关.

证 令

k1e1+ k2e2+…+ knen= 0,

即 (k1, k2, …, kn) = (0, 0, …, 0), 所以 k1= k2= …= kn=0, 即 e 1, e 2, …, e n 线性无关.

第三章 向量空间

上一页

定义2

设 k1, k2, …, ks ?R, ?1, ?2, …, ?s 是 n 维 向量,若

? = k1? 1+ k2?2 + … + ks?s
则称 ? 为向量 ?1, ?2, …, ?s 的一个线性组合, 或称 ? 可由向量组 ?1, ?2, …, ?s 线性表出. 例3 设 R? 中的向量 ?1 = (1, 2, 1), ?2 = (0, 1, 2), ?3= (4, 0, 1) , β= (14, 3, 3). 因为 2?1 - ?2 + 3?3 = β . 所以 β 可以由 ?1,?2, ?3 线性表示.

第三章 向量空间

上一页

例4

设 ε1= (1, 0, 0), ε2= (0, 1, 0), ε3= ( 0, 0, 1),则对任意
的 α= ( a1, a2, a3 ) ∈ R? ,有 α= a1ε1+ a2ε2+ a3ε3 . 所以 R? 中的任一向量都可以由ε 1, ε 2, ε3

线性表示.
定理1

当 s ≥2 时,向量组 ?1, ?2, …, ?s 线性相

关的充分必要条件是其中至少有一向量能由其 余向量线性表出.

第三章 向量空间

上一页

证 必要性 设 ?1, ?2, …, ?s 线性相关,则有不全为零的实数 k1, k2, …, ks ,使 k1? 1+ k2?2+ … + ks? s= 0.

? k1 ? ks ?1 α αs ?1. 不妨设 ks? 0, 于是 αs ? 1 ??? ks ks
即 ?s 可由 ?1, ?2, …, ?s?1 线性表出. 充分性 若某个向量例如 ?1 可被其余向量线性表出,即有

? 1 = k2 ? 2+ k3 ?3 + … + ks ? s ,
于是 1?? 1+ (? k2) ? 2 + … + (? ks ) ? s = 0,
其系数 不全为零,故 ?1, ?2, …, ?s 线性相关.

第三章 向量空间

上一页

例5 含有零向量的 n 维向量组必定线性相关,因为若

向量组 ?1, ?2, …, ?s 中有一为零向量,不妨设

?1= 0,则
0??2+0??3+ …+ 0??s = 0 =α1, 由定理1 可知,该向量组线性相关.

第三章 向量空间

上一页

定理2

如果向量组 ?1, ?2, …, ?s 中有一部分向量线性相 关,则这 s 个向量也线性相关;如果向量组 ? 1 , ?2, …, ?s 线性无关,则其任何部分向量组也线性 无关. 证 不妨设前 r (r<s) 个向量 ?1, ?2, …, ?r 线性相关, 即存在不全为零的数k1, k2, …, kr 使得 k1?部分相关则整体相关; 1+k2?2+ … +kr? r= 0 再取 kr+1= kr+2=…= ks= 0, 则有

整体无关则部分无关.

k1? 1+ k2?2+ … + kr? r+ kr+1?r+1+…+ ks?s = 0, 而 k1, k2, …, ks 不全为零,所以 ?1, ?2, …, ?s 线性相关. 另一方面,若向量组 ?1, ?2, …, ?s 线性无关,由于原命 题与逆否命题等价,故其任何部分向量组必线性无关. 第三章 向量空间

上一页

定理3

如果向量组 ?1, ?2, …, ?s 线性无关,而向量组 ?1, ?2, …, ?s ,β 线性相关,那么 β 一定可以由向 量组 ?1, ?2, …, ?s 线性表示,且表示法唯一. 证 由于向量 ?1, ?2, …, ?s , β 线性相关,即存在不

全为零的数k1, k2, …, ks , k 使得

k1?1 ? k2?2 ? ?? ks?s ? k? ? 0.
如果 k = 0, 那么上式变为

k1?1 ? k2?2 ? ?? ks?s ? 0, 而且 k1, k2, …, ks 不全为零,这与 ?1, ?2, …, ?s 线性无
关矛盾,故 k ≠0. 从而,

第三章 向量空间

k1 k2 ks ? ? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? s , k k k

即 ? 可以由?1,?2 ,?,?s线性表示 . 若存在两组数t1, t2 ,?, ts , l1, l2 ,?, ls , 使得

? ? t1?1 ? t2?2 ? ?? ts?s ? l1?1 ? l2?2 ? ?? ls?s .


(t1 ? l1)?1 ? (t2 ? l2 )?2 ? ?? (ts ? ls )?s ? 0. 由于?1,?2 ,?,?s线性无关,则ti ? li (i ? 1,2,?, s).
那么 β 一定可以由向量组 ?1, ?2, …, ?s唯一地 线性表示.

§2. 向量的线性相关性 二、向量组的线性相关性与矩阵的秩
定理4

设 ?1= (a11, a12, …, a1n), ?2= (a21, a22, …, a2n), …,

?m= (am1, am2, …, amn ) 所构成的矩阵为
? α1 ? ? a11 ?α ? ? a21 2? ? ? A? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?αm ? ?am1

a12 a22 ? am 2

? a1n ? ? a2 n ? ? ? ?? ? ? amn ?

且 A 的秩为 r , 则 A 中存在 r 个行向量(列向量) 线性无关, 且 A 的任一行(列)都可以由这 r 个行向 量(列向量)线性表示.

第三章 向量空间

由定理4知,向量组的秩等于它构成的矩阵的秩,故 由定理4可得:
推论1

设 ?1, ?2, …, ?m 为 m 个 n 维向量,A 是以它们 为行向量构成的 m?n 矩阵,则 ?1, ?2, …, ?m 线性 相关的充要条件是 r(A) < m.

证 设 r( A ) = r . 由定理4 ,A 有 r 个行向量线性无关. 若 r = m, 则 A 的 m 个行向量线性无关,即 ?1,

?2, …, ?m 线性无关;
若 r < m, 则 A 的其余的行向量可由这 r 个行向量 线性表示,所以 ?1, ?2, …, ?m 线性相关;

推论2

n 个的n 维向量组线性相关的充要条件是其构成的 方阵 A 是降秩的,即 | A | = 0; n 个的n 维向量组线性无关的充要条件是其构成的 方阵 A 是满秩的,即 | A | ≠ 0;

推论3

当 m > n 时,m 个 n 维向量一定线性相关.

总结:(向量组线性相关性的矩阵判别法)

由定理4及其推论可知判断一个向量组的线性相关性的 问题可转化为求矩阵的秩的问题.
若矩阵的秩等于向量的个数,则向量组线性无关; 若矩阵的秩小于向量的个数,则向量组线性相关. 一般分三种情况: 1) 向量的个数大于向量的维数,则必线性相关; 2) 向量的个数等于向量的维数,则可利用向量组 构成的矩阵 A 的行列式:若 |A|?0, 则线性无关, 若 | A |=0, 则线性相关;

3) 向量的个数小于向量的维数,则可利用向量组构 成的矩阵 A 的秩:若 r(A)等于向量的个数, 则线 性无关,若 r(A)小于向量个数, 则线性相关; 第三章 向量空间

例6

判断向量组

?1= (1, -2, 0, 2), ?2= (-2, 4, 6, -6), ?3= (2, ?1, 2, 3), ?4=(3, 3, 3, 4)
是否线性相关. 解

?1 ? 1 ?2 0 2 ? ? ? ? ?0 ? ? 2 4 6 ? 6? ? ?? ? A?? ? 0 2 ?1 2 3 ? ? ? ?0 ? 3 ? 3 3 4 ? ? ? ?1 ?1 ? 2 0 2 ? ? ? ? 0 ? 0 3 2 ? 1 ? ? ??? ? ?? ? 0 ? 0 9 3 ? 2? ? ? ? ?0 ? 0 0 6 ? 2? ? ? ?

?2 0 2 ? ? 0 6 ? 2? 3 2 ?1 ? ? 9 3 ? 2? ? ?2 0 2 ? ? 3 2 ?1 ? 0 ?3 1 ? ? 0 6 ? 2? ?
第三章 向量空间

2? ?1 ? 2 0 ? ? 2 ? 1? ?0 3 ? ?? ? 0 0 ?3 1 ? ? ? ?0 0 ? 0 0 ? ?
因为 r (A) = 3 < 4, 从而该向量组线性相关.
练习

判断下列向量组的线性相关性. 1) ?1= (1, 2, 0), ?2= (3, ?1, 2), ?3= (4, ?5, 9), ?4= (4, ?5, 9) 2) ?1= (?1, 5, ?9), ? 2= (3, 0, 1), ? 3= (5, ?5, 1);

3) ?1= (1, 2, ?1, 0),

? 2= (1, 1, ?1, ?1), ? 3= (3, 4, ?3, 2)

解 1) 由于4 >3, 所以 ?1, ?2, ?3, ?4 线性相关;

?1 5 ? 9 0 1 = 140 ? 0, 2) 由于 | A |? 3 5 ?5 1 所以 ?1, ? 2, ? 3 线性无关; 3) ?
?1 2 ? 1 0 ? ?1 2 ? 1 0 ? ? ? ?0 ? 1 0 ? 1 ? ? A?? 1 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?3 4 ? 3 ? 2? ? ?0 ? 2 0 ? 2 ?
?1 2 ? 1 0 ? ?0 ? 1 0 ? 1?, ? ? 0 0? ? ?0 0 ?

所以 r(A) = 2 < 3, 从而可知 ? 1, ? 2, ? 3 线性相关.

第三章 向量空间

§2. 向量的线性相关性 三、向量组的极大无关组与秩
定义 3

如果向量组 I (可以含有无穷多个向量) 中的 部分组 ?1,? 2 ,?,? r 满足条件:

1)

?1,? 2 ,?,? r 线性无关,

2) 向量组 I 中任一向量都可以由 ?1, ?2, …, ?r 线性表示, 则称 ?1, ?2, …, ?r 是向量组 I 的一个极大无关组. 显然,一个向量组线性无关当且仅当它的极大无关 组就是它自身.

第三章 向量空间

例7

向量组 ?1= (1, 0, 0), ?2= (1, 1, 0), ?3= (2, 1, 0) 中,
显然 ?1, ?2 线性无关,且 ?3 = ?1+ ?2 , 即 ?3 能由

?1, ?2 线性表出,所以 ?1, ?2 就是向量组 ?1, ?2, ?3
的一个极大无关组. 同样可验证 ?1, ?3 及 ?2, ?3 均是向量组的极大无

关组.

第三章 向量空间

由上例可看出一个向量组的极大无关组可能不止一个, 但可以证明:
定理 5

由有限个行向量组成的向量组的任一极大无 关组所含向量的个数均相等,且等于该向量组 所构成的矩阵的秩.

定义 4

向量组的极大无关组中所含向量的个数称为 向量组的秩.

定理 6

矩阵 A 的秩就等于它的行向量组的秩,也等

于它的列向量组的秩.

定理6说明,求向量组的秩等价于求矩阵的秩. 例8

求向量组 ?1 ? (1,4,1,0),? 2 ? (2,1,?1,?3),

?3 ? (1,0,?3,1),?4 ? (0,2,?6,3),
的一个极大无关组,并求其秩.

1 0 ? ?1 ?1 2 ? ? ? 0 2 ? ? ?0 ?4 1 ?? A?? ?0 1 ?1 ? 3 ? 6 ? ? ? ? ?0 ? 0 ? 3 ?1 3 ? ? ? ? 1 0 ? ?1 2 ?1 ? ? ? ? ?? ? 0 ? 3 ? 1 3 ? ? ?? ? 0 ? 0 ? 3 ? 4 ? 6? ?0 ? ? ? ?0 ? 7 ? 4 2 ? ?0 ? ? ?


2 1 0 ? ? ?7 ?4 2 ? ? 3 ? 4 ? 6? ? ? 3 ?1 3 ? ? 2 1 0 ? ? ? 3 ?1 3 ? 0 ? 3 ? 9? ? 0 ? 5 3 ? 5? ?

1 0 ? ?1 2 ? ? ? ?? ? 0 ? 3 ? 1 3 ? ? B ? 0 0 ? 3 ? 9? ? ? ?0 0 ? 0 0 ? ?

则 r ( A ) = r ( B ) = 3. 可以 看出,矩阵 B 的左上角的三 阶子式不为零,从而,

?1,? 2 ,? 3为向量组的一个
极大无关组.

上一页

练习

求向量组 ?1 = (1, ?2, ?1, ?2, 2), ?2 = (4, 1, 2, 1, 3),

?3 = (1, 1, 1, 1, 1/3), ?4 = (2, 5, 4, ?1, -1)
的秩, 并找出它的一个极大无关组.
定理 7

如果线性无关向量组 ?1 , ? 2 ,

, ? s可以由向量组

?1 , ? 2 , , ? t 线性表示,则 s ? t .

第三章 向量空间

上一页

推论4

设一向量组的秩为 r, 则向量组中任意 r 个线性无关的向量可构成一极大无关组. 由推论4易得
推论5

设向量组的秩为 r, 则该向量组中任意多 于r 个向量构成的部分组一定线性相关.

推论6

向量组的任一线性无关部分组都可以扩充 为向量组的一个最大无关组.

第三章 向量空间

§3

向量空间的基及向量的坐标

一、 向量空间的基与维数
定义1

设V 是一向量空间, ?1, ?2, …, ?r ?V 且满足 (1) ?1, ?2, …, ?r 线性无关; (2) ? ? ?V, ? 可由 ?1, ?2, …, ?r 线性表出.

则称向量组 ?1, ?2, …, ?r 为向量空间 V 的一组基底 (基),而 r 称为向量空间 V 的维数,记为 dim V = r. 由上定义可知,向量空间的基就是它的一个极大无 关组.由于向量组的极大无关组是不唯一的,所以向量 空间的基也是不唯一的. 规定:零空间的维数为0, 它没有基.

第三章 向量空间

上一页

例1

设 Rn 为全体 n 维向量构成的向量空间,证明 n 维向 量组 e1= ( 1, 0, 0, …, 0 ), e2= ( 0, 1, 0, …, 0 ), …, en= ( 0, 0, 0, …, 1 ) 是 Rn 的基, 且 dim Rn =n.

证 由矩阵判别法知 e1, e2, …, en 线性无关. 设 x2, …, xr )为任一 n 维向量, 显然有 ? = x1 e1+ x2 e2+… + xnen .

? = (x1,

所以 ? 可由 e1, e2, …, en 线性表出,即 e1, e2, …, en 是 Rn 的基,从而dim Rn = n. 例2 设 V 为一向量空间,且 dimV = r, 而 ?1, ?2, …, ?r 为 V 中 r 个线性无关的向量,证明 ?1, ?2, …, ?r 必为向量空间 V 的一组基.


第三章 向量空间



显然?1, ?2, …, ?r 线性无关,任取 ? ?V, 由于dimV=r, 则 ?1, ?2, …, ?r, ? 线性相关,于是存在不全为零的实 数 k1, k2, …, kr, k, 使 k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r+ k ? = 0 .
若 k = 0, 则 k1, k2, …, kr 不全为零,且 k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r = 0. 而 ?1, ?2, …, ?r 线性无 关,与题设矛盾. 故 k ? 0. 从而由 k1 ?1+ k2 ?2+ …+ kr ?r+ k ? = 0. 得 即 ? 可由?1, ?2, …, ?r 线性表示 ,由定义1知 ?1, ?2, …, ?r 为 V 的一组基.
定理 1

k1 k2 kr β ? ? α1 ? α 2 ? ? ? α r k k k

若向量空间 V 为 r 维的,则V 中任意 r 个线性无关的向量是 V 的一组基.

第三章 向量空间

上一页

例 3 证明向量组

?1 = (1, 2, 1), ?2 = (3, 0, ?1), ?3 = (2, ?3, 5)
为空间R3 的一组基. 证 由于 dim R3 = 3, 故只要证明 ?1, ?2 , ?3 线性无关即可.

1

2

1

4

2

? 3 0 ?1 ? 0 0 2 ?3 5 17 ? 3 5 ? ?1, ?2 , ?3 线性无关,从而 ?1, ?2 , ?3 可构成空间 R3 的
一组基. 注意: 任意 n 个线性无关的 n 维向量都是 R n 的 一组基.

4 2 ?1 ? ? 0, 17 - 3

1

第三章 向量空间

§3 向量空间的基及向量的坐标 二、向量在给定基下的坐标
定义2 设 ? , ? , …, ? 是向量空间 V 的一个基, ? 1 2 m

可由 ?1, ?2, …, ?m 线性表出: ( x1, x2, …, xm?R )

? ?V, ?

? = x1 ?1 + x2 ?2 +… + xm ?m ,

(5.1)

则组合系数 (x1, x2, …, xm ) 称为向量 ? 在基 ?1, ?2, …, ?m 下的坐标. 注:? 在基 ?1, ?2, …, ?m 下的坐标是唯一的. 事实上, 若还有另一坐标 (y1, y2, …, ym ), 即 ? = y1 ?1 + y2 ?2 +… + ym ?m , (5.2) 由(5.1)式减去(5.2)式, 得 (x1? y1) ?1 + (x2? y2) ?2 +… + (xm? ym) ?m = 0, 由于?1, ? 2, …, ? m 线性无关, 故 x1? y1 = x2? y2 =…= xm? ym= 0, 即 xi = yi ( i = 1, 2, …, m). 第三章 向量空间

上一页

例4

已知 e1= ( 1, 0, 0, …, 0 ), e2= ( 0, 1, 0, …, 0 ), …, en= ( 0, 0, 0, …, 1 ) 是 Rn 的基. 而对 Rn 中任一向 量?,有

? = ( x1, x2, …, xn ) = x1 e1+ x2 e2+… + xnen ,
所以 ? 在基 e1, e2, …, en 下的坐标就是其自身.

故 e1, e2, …, en 称为空间 Rn 的标准基.

第三章 向量空间

上一页

例 5 设 ? = ( 1, 1, 1 )T, ? = ( 1, 1, -1 )T, ? = ( 1, -1, -1 )T, 1 2 3 证明 ?1, ?2 , ?3 是 R3 的一个基, 并求 ? = ( 1, 2, 1)T 在这个基下的坐标.



以 ?1, ?2 , ?3 为列向量构成矩阵 A, 因为

1

1

1

A ? 1 1 ? 1 ? ?4 ? 0, 1 ?1 ?1 所以 ?1, ?2 , ?3 线性无关, 从而是 R3 的一个基. 令 ? = x1 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3 , 即

? x1 ? x2 ? x3 ? 1, ? ? x1 ? x2 ? x3 ? 2, ? ? x ? x ? x ? 1. ? 1 2 3

x1 = 1, x2 = 1/2, x3 = ?1/2.

所以 ? 在基 ?1, ?2 , ?3 下的坐标为 (1, 1/2, ?1/2 ). 第三章 向量空间

练习

设 ?1 = ( 1, 1, 2 ), ?2 = ( 1,3, 0 ) , ?3 = ( 1, 0, 1 ), 证 明 ?1, ?2 , ?3 是 R3 的一个基, 并求 ? = ( 0, ?1, 3) 在 这个基下的坐标. 1 1 2 解 Dim R3 =3, 而 1 3 0 ? ?4 ? 0,

1

0

1

所以 ?1, ?2 , ?3 线性无关, 从而是 R3 的一个基. 令 ? = x1 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3, 即 ( 0, ?1, 3) = x1 (1, 1, 2) + x2 (1, 3, 0) + x3 (1, 0, 1), x1 + x2 + x3 = 0, 则 x1 = 2, x1 + 3x2 = ?1, ? x2 = ?1, ? x3 = ?1. 3x + 2x + x = 3,
1 2 3

所以 ? 在基 ?1, ?2 , ?3 下的坐标为 (2, ?1, ?1 ).

§3

向量空间的基及向量的坐标

三、基变换与坐标变换公式 设向量空间 V 的维数为 n, 则 V 中任意 n 个线性无 关的向量都是 V 的基, 对于不同的基,同一个向量的坐 标一般是不同的.下面我们来看看同一个向量在两个不 同基下的坐标之间有什么关系. 设 ?1, ?2 , …, ?r 及 ?1, ? 2 , …, ?r 是向量空间V 的两 个基. 那么由基的定义, 向量 ?i (i = 1, 2, …, r ) 可由 ?1, ?2 , …, ?r 唯一线性表出. 设

β1 ? a11 α 1 ? a21? 2 ? ? ? ar1? r ,

β2 ? a12α1 ? a22α2 ? ? ? ar 2αr ,
βr ? a1r α1 ? a2r α2 ? ? ? arr αr .
第三章 向量空间 ??

? a11 即 ?a 21 ? (β1 ,β2 ,?,βr ) ? ( α1 ,α2 ,?,αr ) ?? ? ? ar1


a12 ? a1r ? a22 ? a2 r ? ?. (1) ? ? ?? ? ar 2 ? arr ?

?a11` a12 ?a a22 21 ? A? ?? ? ? ? ar1 ar 2

? a1r ? ? ? a2 r ? , ? ?? ? ? arr ?

矩阵 A 称为由基 ?1, ?2 , …, ?r 到基 ?1, ? 2 , …, ?r 的 过渡矩阵, 它是可逆的. (证明请自己完成)

第三章 向量空间

上一页

将 (1) 式简记为: (?1, ? 2 , …, ? n) = (?1, ?2 , …, ?n ) A

(2)

新基

旧基

过渡矩阵

公式(2)称为基变换公式.

注: 矩阵A的第i列正好是?i在基?1,?2 ,?,?r下的坐标 .

第三章 向量空间

上一页

例6 求 R3 中由标准基 e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3=

(0, 0, 1),到基 ?1= (1, 1, 2), ?2= (1, 3, 0), ?3= (1, 0,
1) 的过渡矩阵. 解

?1 1 1? ?( α1 ,α2 ,α3 ) ? ( e1 , e2 , e3 ) ?1 3 0? ? ? ? ? 2 0 1? ?

?1 1 1 ? ? ? ? 所求过渡矩阵为 A ? ?1 3 0? ? ?2 0 1? ?

第三章 向量空间

上一页

关于过渡矩阵,下面两个结论是经常用到的:
命题 1

设由基 ?1, ?2 , …, ?r 到基 ?1, ? 2 , …, ? r 的过渡矩 阵为 A, 则由基 ?1, ? 2 , …, ? r 到基 ?1, ?2 , …, ?r 的过渡矩阵为A?1. 基 ?1, ?2 , …, ?r A A?1 基 ?1, ? 2 , …, ? r

命题 2

设由基 ?1, ?2 , …, ?r 到基 ?1, ? 2 , …, ?r 的过渡矩 阵为C1, 则由基 ? 1, ? 2 , …, ?r 到基 ?1, ?2 , …, ?r 的 过渡矩阵为C2, 则由基 ?1, ?2 , …, ?r 到 ?1, ?2 , …, ?r 的过渡矩阵为C1 C2 . C1 基 ?1, ?2 , …, ?n 基?1, ? 2 , …, ? n C2

基 ?1, ?2 , …, ?n

第三章 向量空间

上一页

练习 求R3中由基?1= (?3, 1, ?2),

?2= (1, ?1, ?1 ) , ?3= (2, 3, ?1 )到基 ?1= (2, 1, 1), ? 2= (1, 2, 3) , ? 3= (2, 0, 1 )
的过渡矩阵.

解 由标准基 e1, e2, e3 到基 ?1, ?2 , ?3 及基 ? 1, ?2, ?3 的 过渡矩阵分别为

2? ? 2 1 2? ?? 3 1 ? 和 C ? ?1 2 0 ? C1 ? ? 1 ? 1 3 2 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ?1 3 1 ? ? ?? 2 - ? 即 (?1, ?2, ?3)=(e1, e2, e3)C1, (?1, ?2, ?3)=(e1, e2, e3)C2
故 (e1, e2, e3)=(?1, ?2, ?3)C1?1

从而 (?1, ?2, ?3)=(e1, e2, e3)C2 =(?1, ?2, ?3)C1?1C2 第三章 向量空间

上一页

故由知基 ?1, ?2 , ?3 到基 ? 1, ?2, ?3 的过渡矩阵 C 为

2? ?? 3 1 ? 1 ? 1 3 C ? C1?1C2 ? ? ? ? ? ?? 2 ? 1 ? 1? ?

?1

? 2 1 2? ?1 2 0 ? ? ? ? ?1 3 0 ? ?

? ? 6 ? 19 ? 1? ?2 ? 3 ? 5 ? ?2 1 2? ? ?1 2 0 ? ? ?? 13 ? 42 ? 1? ?? 5 ? 7 ? 11 ? ? ? ?? ? ? ? ??2 ?7 0 ? ? ?1 ? 1 ? 2 ? ?? ?1 3 1 ? ?

第三章 向量空间

上一页

设向量 ? 在基 ?1, ?2 , …, ?r 与基 ?1, ? 2 , …, ? r 下的 坐标分别为 (x1, x2 , …, xr ) 与 (y1, y2 , …, yr ) 即

? ? x1?1 ? x2?2 ? ? ? xr?r ? y1?1 ? y2 ? 2 ? ? ? yr ? r (3)
将上式用矩阵表示为

? y1 ? ? x1 ? ?y ? ?x ? ? ? (?1 , ? 2, ?, ? r ) ? 2 ? ? ( ?1 , ? 2, ?, ? r ) ? 2 ? , ??? ??? ? ? ? ? ? xr ? ? yr ? 将基变换公式代入得 ? y1 ? ? x1 ? ?y ? ?x ? α1 ,α2, ?,αr ) A ? 2 ? . ? ? (?1 , ? 2, ?,? r ) ? 2 ? ? ( ??? ??? ? ? ? ? x ? r? ? yr ? 第三章 向量空间

上一页

由向量坐标的唯一性, 可得 新坐标 旧坐标

? x1 ? ? y1 ? ?x ? ?y ? ? 2? ? A ? 2? ??? ??? ? ? ? ? ? xr ? ? yr ?



? y1 ? ? x1 ? ?y ? ?x ? ? 2 ? ? A?1 ? 2 ? . ??? ??? ? ? ? ? ? yr ? ? xr ?

(4)

上 式说明了? 在两个不同基下的坐标之间的关系, 称为坐标变换公式.

第三章 向量空间

上一页

上面的讨论可总结为:
设由向量空间 V 的基 ?1, ?2 , …, ?r 到基 ?1, ? 2 , …, ? r 的过渡矩阵 A, 而向量 ? 在基 ?1, ?2 , …, ?r 与基 ?1, ? 2 , …, ? r 下的坐标为 (x1, x2 , …, xr ) 与 (y1, y2 , …, yr ) , 则 (β1, β2 , …, βr ) = (α1, α 2 , …, α r ) A , 且

? y1 ? ? x1 ? ?y ? ?x ? ? 2 ? ? A?1 ? 2 ? . ??? ??? ? ? ? ? ? yn ? ? xn ?
第三章 向量空间

上一页

例7 设 R3 中两组基分别为 ?1= (1, 2, 1)T, ?2= ( 2, 3, 3)T,

?3 = (3, 7, 1)T, β1 = ( 3, 1, 4)T ,β2=( 5, 2, 1)T,β3= ( 1, 1, 6)T. 求由基 ?1, ?2, ?3 到基 β1,β2,β3 的过渡矩阵 A, 并求向量 ? = 2β1 –β2 +β3 在基 ?1 , ?2 , ?3 下的坐标.

解 则

(?1, ? 2 , ?3 ) ? (?1,?2 ,?3 ) A
? 3 5 1 ? ?1 2 3 ? ?1 2 1 ? ? ?2 3 7 ? A, ? ? ? ? ? ?4 1 ? 6? ? ? ?1 3 1 ? ?

? ?1= (1, 2, 1)T, ?2= ( 2, 3, 3)T, ?3 = (3, 7, 1)T, β1 = ( 3, 1,

4)T ,β2=( 5, 2, 1)T,β3= ( 1, 1, -6)T. 第三章 向量空间

上一页

?1 2 3? ?3 5 1 ? ?? 27 ? 71 ? 41? ? ?1 2 1 ? ? ? 9 ?. A?? 2 3 7 20 9 ? ? ? ? ? ? ? 12 8 ? ?1 3 1 ? ? ? ? 4 1 ? 6? ? ? ? 4 ?
由坐标变换公式可得向量 α = 2β1-β2+β3 在基 α1,α2 ,α 3 下的坐标为

?1

? x1 ? ?x ? ? ? 2? ? ? x3 ? ?

? 2 ? ?? 27 ? 71 ? 41? ? 2 ? ?58? ? ?? 1? ? ? 7 ?. ??? 9 20 9 A? ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? 4 12 8 ? 1? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?

第三章 向量空间

上一页

练习

设 R3 中一组基为 ?1= (?3, 1, ?2), ?2= ( 1, ? 1, ?1),

?3 = (2, 3, ?1), 求向量

? = (1, 0, 0) 在基 ?1 , ?2 ,

?3 下的坐标.
解 设 ? = ( 1, 0, 0) 在基 ?1, ?2 , ?3下的坐标为(y1, y2 , y3), 在基 e1, e2, e3 下的坐标为 (x1, x2, x3) = (1, 0, 0) ,

则由于

2? ?? 3 1 ( ? 1 , ? 2 , ? 3 ) = ( e1 , e2 , e3 ) ? 1 ? 1 3 ? ? ? ? ?? 2 ? 1 ? 1? ? ? 由基 e1, e2, e3 (旧基)到基 ?1, ?2 , ?3 (新基)的过渡
矩阵为

第三章 向量空间

上一页

2? ?? 3 1 ? ? A ? ? 1 ?1 3 ? ? ?? 2 ? 1 ? 1? ?
从而

? y1 ? ?1 ? ? 2 ? y ? ? A?1 ?0? ? ? 2? ? ? ? ?5 ? ? ?1 ? y3 ? ? ?0 ? ? ?

?3 ?7 ?1

? 5 ? ?1 ? ?2? ?0? ? ? 5?. ? 11? ?? ? ? ? ?2? ? ?? ?0 ? ? ?1 ? ?

第三章 向量空间

§4. 欧氏空间 1. 空间向量及两向量的夹角 (回顾) 实际问题中, 既有大小又有方向的物理量称为向量.

向量 ? = (x, y, z) 的长度 向量的方向角

|| ? || ? x 2 ? y 2 ? z 2

ρ ? arccos

, ? ? arccos . , φ ? arccos || ? || || ? || || ? ||
记为(a, b)
?

x

y

z

将空间两向量 ?, ? 的起点移至一点o, 两有向线段的夹角?

(0≤?≤? ),称为向量 ? 与? 的夹角,
? ? ? 当 2 时,称 ? 与

? 垂直(正交),记作 ? ? ?.

当 ? = 0 或 ? 时,称 ? 与 ? 平行(共线),记作 ? // ?.
第五章 欧氏空间

上一页

2.

空间向量的数量积(内积).
f
s

例如, 常力 f 作用于物体, 使之产生位移 s,

这个力所作的功为
定义1

W?

f

s cos( f , s)
?

?

?

记 ? 与? 的夹角为 (? , ? ) , 称数 ? ? cos( ? , ? )为向量?与?的 数量积( 内积 ),即 ?R3,

设?, ?

??? ? ?

? cos(? , ? )

?

(1)

第五章 欧氏空间

上一页

3.

内积的坐标表示. 在直角坐标系下, 设空间向量 ? = (x1, y1, z1), ? = (x2, y2,

z2), 由于?? ?, ?? ?及 ??? ? ?构成三角形的三条边, 则由余弦定理知:
???
2

?

???

? ?

2

? ?
?

2

?2?
2

? cos(? , ? )
? ?
2

?

?



1 2 2 2 2 2 2 ? [ x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2 ] 2

1 ? ? cos(? , ? ) ? ( ? 2

? ? ?? )

2

? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2

所以

? ? ? ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2

(2) 第五章 欧氏空间

上一页

4.

用内积表示向量的长度及向量的夹角 ? ??? 2 2 2 cos( ? , ? ) ? 因为 ??? = x1 +y1 +z1 , , 所以 |? |?| ? |

? 的长度 ? ? ? ? ? ,
??? ? 与? 的夹角 (? , ? ) ? arccos ? ? , (?, ? ? 0 ) .
?

? ? ? ? ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z 2 ? 0.

第五章 欧氏空间

§4

欧氏空间

一、 向量的内积
定义1 设α = ( x , x , …, x ), 1 2 n

β= ( y1, y2, …, yn) 为两个

n 维向量,实数 x1 y1 ? x2 y2 ? ? ? xn yn 称为向 量 α 与 ? 的内积,记为 (?, ?), 即

(? , ? ) ? x1 y1 ? x2 y2 ? ?? xn yn .
定义了内积的向量空间称为欧氏空间.

内积性质:
(1)对称性: (? , ? ) ? (? ,? ); (2)双线性性: (k1?1 ? k2?2 , ? ) ? k1 (?1, ? ) ? k2 (?2 , ? ),

(? , k1?1 ? k2 ? 2 ) ? k1 (? , ?1 ) ? k2 (? , ? 2 );

(3)非负性: (? ,? ) ? 0, 等号成立当且仅当 ? ? 0. 第三章 向量空间

§4. 欧氏空间 二、向量的长度与向量间的夹角 三维欧氏空间 R3 具有直观性 ,习惯上称之为几何空 间. R3 中向量长度及两向量的夹角等概念通过内积可 平行推广到 Rn, 使 n 维欧氏空间具有可度量性.
定义2

设? = (x1, x2, …, xn) 为欧氏空间 V 中的向量, 定义 向量 ? 的长度

? ?

?? ,? ? ?

2 2 x12 ? x2 ? ? ? xn .

(4)

|| ? || ? 1 时, 称? 为单位向量. 特别地, 零向量的长度为0; 2 (? , ? ) 1 ? ? ? 2 当 ? ? 0, ?( , ) ? ? ? =1 , 2 2 |? | ||? || || ? || ? ?

故称

? ?

为 ?

的单位化向量. 第五章 欧氏空间

向量的长度的性质: ( 1)正齐次性 :

k? ? k ? , k ? R;

( 2 )三角不等式 : ? ? ? ? ? ? ? .
定义

设 ? , ? ? Rn, ? = (x1, x2, …, xn ), ? = (y1, y2, …, yn ) ,

|| ? ? ? || ? (? ? ? ,? ? ? ) ? (? ( xi ? yi ) 2 )
i ?1

n

1 2

称为空间两点(或两向量间)的距离,并称之为欧氏距离.

上一页

定理 1

向量内积满足

| (? , ? ) | ? || ? || || ? ||, ?? , ? ?V , (5)
且等号成立当且仅当 ? 与 ? 线性相关.


(5) 式称为柯西施瓦兹(Cauchy-Schwarz) 不等式. 当? , ? ? 0 ,由柯西施瓦兹不等式可得:

| (? , ? ) | 0? ? 1, || ? || || ? ||

(? , ? ) ?1 ? ? 1. || ? | | ? ||

第五章 欧氏空间

证 1) 当? = 0 ( 或? = 0) 时, (? , ? ) ? ? ? ? 0 (5) 式成立.
2) 当 ? ? 0, 且 ? ? 0 时, 对于任意实数 t , 有

(? ? t? , ? ? t? ) ? (? , ? ) ? 2(? , ? )t ? ( ? , ? )t 2 ? 0.
记 ? ? (2(? , ? ))2 ? 4( ? , ? )(? , ? ) ? 4(? , ? )2 ? 4( ? , ? )(? , ? ) , 2 2 2 从而有 ? ? 4 (? , ? ) ? 4 ? ? ? 0,


所以

(? , ? ) ? ?

?.

? 与 ? 线性相关
? ? + t? = 0 ? (? + t? , ? + t? ) = 0 ? ?=0

? (? , ? ) ? ?
综合 (1),

?
第五章 欧氏空间

(2) 定理证毕 .

上一页

定义3 向量α,? 之间的夹角定义为

? ? ? ? ? , ? ?? , 称 ? 与? 正交,记 ? ? ? .

? ? , ? ?? arccos
2

(? , ? )

(6)

? ? , ? ? ? 0 或π ,称 ? 与? 共线,记 ? // ? .
由定义知: 0 ?? ? , ? ??π

几何学中的三角不等式, 余弦定理, 勾股定理可推广 至 n 维欧氏空间 Rn .
定理

设a, b是欧氏空间Rn 中的两个向量,则 (1) ? ? ? ? ? ? ?
(三角不等式)
2

(7)
(8)

(2) ? ? ?


2

??

2

??

?2 ?

? cos ? ? , ? ?
(余弦定理)

第五章 欧氏空间

证 (1) ? ? ?

2

? (? ? ? , ? ? ? )
? (? , ? ) ? 2(? , ? ) ? ( ? , ? )
? | ? |2 ?2 | ? | | ? | ? | ? | 2.



??? ? ? ? ? .
(2) ? ? ?
2

? (? ? ? , ? ? ? )

? (? , ? ) ? ( ? , ? ) ? 2(? , ? )
?| ? |2 ? | ? |2 ?2 | ? | | ? | (? , ? ) | ? || ? |

?| ? |2 ? | ? 2 | ?2 | ? || ? | cos ? ? , ? ? ,
故 (8) 式成立.

第五章 欧氏空间

上一页

定理

( 勾股定理 ) 设 ?1, ?2 , …, ?k 是 n 维欧氏空间

Rn 中的向量, 且 i ?j 时, (?i , ?j ) = 0 , 则

| ?1 ? ?2 ? ?? ?k |2 ? | ?1 |2 ? | ?2 |2 ??? | ?k |2 .


| ?1 ? ?2 ? ? ? ?k | 2
? (?1 ? ?2 ? ? ? ?k , ?1 ? ?2 ? ? ? ?k )
? k ? ? k ? ? k ? ? ? ? ? i , ?1 ? ? ? ? ? i , ? 2 ? ? ? ? ? ? ? i , ? k ? ? i ?1 ? ? i ?1 ? ? i ?1 ?

? (?1, ?1 ) ? (?2 , ?2 ) ? ? ? (?k , ?k )
? | ?1 |2 ? | ?2 |2 ? ? ? | ?k | 2 .
第五章 欧氏空间

§4

欧氏空间

三、标准正交基 1. 正交向量组:
定义

如果欧氏空间中的不含零向量的向量组

? 1,

?2 , …, ?m 中任意两个向量都是相互正交的, 即 (?i, ?j ) = 0, i ? j, i, j = 1, 2, …, m,
则称 ?1, ?2 , …, ?m 为正交向量组(简称正交组.)

定理

正交向量组一定是线性无关的.

第五章 欧氏空间

上一页

证 设?1, ?2 , …, ?m是一个正交的向量组, 又设

k1?1 + k2?2 +…+ km?m = 0

m ? ? ? ??i , ? k j? j ? ? ? (?i , k1?1 ) ? (?i , k2?2 ) ? ?? (?i , km?m ) j ?1 ? ?

? ? k j (?i ,? j ) ? ki (?i ,?i ) ? 0, i ? 1, 2, ?, m .
j ?1

m

由于 (?i ,?i ) ? 0, 故 故 ki = 0, i ? 1, 2, ? , m .

?1, ?2 , …, ?m 线性无关.
第五章 欧氏空间

上一页

2. 标准正交基
定义4 设?1, ?2 , …, ?n?Rn, 如果

0, i ? j, 则称?1, ?2 , …, ?n 是 Rn 的一组标准正交基.
显然 e1 ? (1, 0, ?, 0) e2 ? (0, 1, 0, ?, 0 ), ?, en ? (0, ?, 0, 1 )

(?i , ? j ) ?

1, i ? j,

i ? 1, 2, ? , n .

是 Rn 的标准正交基. 在 R3 中, i ? (1, 0, 0), j ? (0, 1, 0), k ? (0, 0, 1)
分别为三个坐标轴正向的单位矢量. 欧氏空间中的标准正交基不是唯一的. 例如
1 1 1 1 ,0, ), ? 3 ? ( ,0,? ) 2 2 2 2

?1 ? (0,1,0), ? 2 ? (
也是 R3 的标准正交基.

第五章 欧氏空间

上一页

定理

设 ?1, ?2 , …, ?n 是 Rn 的一组标准正交基, 则 Rn 中向量 ? 在 ?1, ?2 , …, ?n 下的坐标向量 的第 j 个分量为

x j ? (? , ? j ) ,

j ? 1, 2, ?, n .



设 ? ? x1?1 ? ? ? xn?n

则 ( ? , ? j ) ? ( x1?1 ? ? ? xn?n , ? j )

?

? x (? , ?
i ?1 i i

n

j

)

? xj
第五章 欧氏空间

与 R n 的标准正交基密切相关的概念是正交矩阵:
定义5

设 A 是 n 阶实矩阵,如果 ATA = E,则称 A 为一个正交矩阵.

定理 2

A 是正交矩阵当且仅当 A 的行向量(列向量) 是 R n 的一组标准正交基.

证 设 A ? (?1,?2 ,?,?n ), 按分块矩阵的乘法有

AT A ? (?1,?2 ,?,?n )T (?1,?2 ,?,?n )
? ?1T ? ? T? ?? 2 ? ? ? ?(?1 , ? 2 ,?, ? n ) ? ? ? ?? T ? ? n?

? ?1T ?1 ?1T ? 2 ? ?1T ? n ? ? T ? T T ? ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? n ? ?? . ? ? ? ? ? ? ?? T? ? T? ? ? T? ? n 2 n n? ? n 1
因此,ATA = E 当且仅当

?1, i ? j, ? ? j ? (?i ,? j ) ? ? ?0, i ? j,
T i

即 A 的列向量 ?1,? 2 ,?,? n 是 R n 的一个标准正交基. 类似 可证明 A 是正交矩阵当且仅当 A 的行向量是 R n 的一组标 准正交基.
注意:由ATA = E 可知 AT = A -1, 因此也有 AAT = E.

3. 施密特(Schmidt)正交化方法求标准正交基
下面讨论由 R n 的一组基构造 R n 的标准正交基的方

法, 为直观起见, 先从 R 3 开始讨论.
为了便于讨论,首先介绍一个向量在另一向量上的投 影及投影向量.

? 在 ? 上的投影为:
(? , ? ) (? , ? ) | ? | cos(? , ? ) ? | ? | ? . | ? || ? | | ? |
?

? 在 ? 上的投影向量为:
(? , (? , ? ) ? (? , ? ) ? ? ? ? (? , | ? | | ? | | ? || ? |

?) ? . ?)

?, ? ?R3 ?
o

?

第五章 欧氏空间

上一页

设?1, ?2 , ?3 是 R3 的一组基, 令?1 = ?1, 将?2 在 ?1 上的投影
?2

向量记为 ?2?, 则?2?= k12 ?1, 其中

(? 2 , ?1 ) k12 ? . o ( ?1 , ?1 ) 再取 ? 2 ? ?2 ? ?2 ' ? ?2 ? k12 ?1 ,


?2?

?1 ? ?1

?2

? 2 ? ? 1.

o

将 ?? 在 ?1, ?2 上的投影向量分别记为 ?31, ?32 ,
1 2 ? ? ? ? ? 则 3 3 3 ? k13 ?1 ? k23 ? 2 , (? 3 , ?1 ) , k23 ? (? 3 , ? 2 ) . 其中 k13 ? ( ?1 , ?1 ) (?2, ?2 ) 取 ? 3 ? ?3 ? ? 3 ? ?3 ? k13?1 ? k23? 2 ,

?2?

? 2 ? ? 2 ? ? 2? ?1=?1

?3 在 ?1, ?2 所在平面上的投影向量为 ?3 .
?3
?2

? 32

? 31
?1

?3
第五章 欧氏空间

则 ? 3 ? ?1,

?3 ? ?2 .

上一页

因此 ?1, ? 2 , ? 3 是两两正交的非零向量组. 再将 ?1, ? 2 , ? 3 单位化, 即取 ?i ?

?i , (i ? 1, 2, 3) , ?i

则 ?1 , ?2 , ?3 就是R3 的一组标准正交基.

?3
?2

?3

? 32

?

1 3

?3

?1
第五章 欧氏空间

上一页

一般地, 设 ?1,? 2 ,?,? m 是 Rn 中的一个线性无关组, 取

? 1 ? ?1 ;
(? 2 , ? 1 ) ? 2 ? ?2 ? ?1 ; (? 1, ? 1 ) (?3 , ? 1 ) (?3 , ? 2 ) ? 3 ? ?3 ? ?1 ? ? 2; (? 1, ? 1 ) (? 2 , ? 2 )

??
? m ? ?m ?

(? m , ? 1 ) (? , ? ) (? , ? ) ? 1 ? m 2 ? 2 ? ? ? m m?1 ? m?1 . (? 1, ? 1 ) (? 2 , ? 2 ) (? m?1, ? m?1 )

容易验证 ? 1 , ? 2 ,?, ? m 两两正交, 上述由 ?1, ? , ?m

得到 ? 1 , ? 2 ,?, ? m

的过程称之为向量组的正交化

第五章 欧氏空间

上一页

将这个正交化的向量组再单位化,

即取

?i ?i ? || ? i ||

i ? 1, 2, ?, m

就得到正交的单位向量组 ?1, ? 2 , ?, ? m , 称之为标准正交组. 上述从线性无关组求得标准正交组的方法称为施密特 (Schmit) 正交化方法. 从以上正交化方法知,
定理 3

设 ?1,? 2 ,?,? m 是欧氏空间 V 的一组基,则存在

V 的一组标准正交基 ?1, ? 2 ,?, ? m,且 ? k 可由

?1,? 2 ,?,? m 线性表示 (k ? 1,2,?, m) .
第五章 欧氏空间

上一页

例1

设 V=L(α1,α2,α3),其中 ?1 = (1, 1, 0, 0), ?2 = (1, 0, 1, 0), ?3 = ( ?1, 0, 0, 1). 试用施密特正交化方法求 V 的一组标准正交基.

解 令

? ?1 ? ? 1 1 0 0 ? ? ? ? ? A ? ? ? 2 ? ? ? 1 0 1 0 ?. ?? ? ? ?1 0 0 1 ? ? 3? ? ? 显然,r ( A) ? 3, 从而?1,?2 ,?3构成V的一组基. 先把?1,?2 ,?3正交化,得 ? 1 ? ?1 ? (1, 1, 0, 0), (? 2 , ? 1 ) 1 1 ? 2 ? ?2 ? ? 1 ? ( , ? , 1, 0), 2 2 (? 1 , ? 1 ) (? 3 , ? 1 ) (?3 , ? 2 ) ? 3 ? ?3 ? ?1 ? ? 2 ? (? 1 , 1 , 1 , 1) (? 1, ? 1 ) (? 2 , ? 2 ) 3 3 3 则所求的一组标准正交基为: 第五章 欧氏空间

1 1 ?1 ? ( , ,0,0), 2 2
1 1 2 ? 2 ? ( ,? , ,0), 6 6 6

? 3 ? (?

1

2 3 2 3 2 3 2 3

,

1

,

1

,

3

).

上一页

练习

设 R3 的一组基为 ?1 = (1, 2, ?1), ?2 = (?1, 3, 1),

?3 = (4, ?1, 0), 试用施密特正交化方法构造 R3 的
一组标准正交基. 解 取 ? 1 = ?1 ,
(? 2 , ?1 ) 4 ? 2 ? ?2 ? ?1 ? (?1, 3, 1) ? (1, 2, ? 1) ? 5 ( ?1, 1, 1), ( ?1 , ?1 ) 6 3 (?3 , ?1 ) (?3 , ? 2 ) ? 3 ? ?3 ? ?1 ? ?2 ( ?1, ?1 ) (? 2 , ? 2 ) 1 5 ? (4, ? 1, 0) ? (1, 2, ? 1) ? (?1, 1, 1) ? 2(1, 0, 1), 3 3 ?2 1 1 ?1 ? ? ? (?1, 1, 1), ? (1, 2, ? 1), 2 取 ?1 ? | ?2 | 3 6 | ?1 | 1 ?3 ? (1, 0, 1), ?3 ? | ?3 | 2 则? ,?2 ,?3 便为所求的一组标准正交基. 第五章 欧氏空间

§5 线性变换 一、线性变换的定义
定义1

设 ? 是向量空间 V 到 向量空间 W 的一个映射, 如果 ? 满足: 1) ?( ? + ? ) = ? ( ? ) + ? ( ? ), 2) ? ( k ?) = k? ( ? ). 其中 ?, ? 为V 中任意向量,k 为任意实数 则称 ? 是 V 到 W 的一个线性映射. ? (?) 称为 ? 在 ? 下的象,也可记为 ?? .

?有上面的性质也说成 ? 保持向量的线性运算. 简言之, 线性映射就是保持线性关系的映射. 向量空间 V 到其自身的线性映射称为 V 中的线性变换. 第三章 向量空间

注:

(1) 向量空间中变换的写法

? : ( x, y) ? ( x + y, x ? y ), ? ( x, y) = (x + y, x ? y),
(2)

(x, y) ? R2 ( x, y) ? R2

? (? + ?) = ? (?) + ? (? ), ? (k?) = k ? ( ? ).

可简写成 ? (k1 α? k 2β) ? k1? ( α) ? k 2? (β).

(3) 通常用花体字母 T , S , … 来表示 V 中的线性变 换. 向量 α 在线性变换 T 下的像,记为 T (α) 或Tα .

第三章 向量空间

上一页

例1 设 A 为 n 阶实矩阵,对任意的 n 维行 向量 α ,令 T (α)=αA , α∈V. 事实上, 设 ? , ? ∈ V ,因为

T (? + ? ) = (? + ? )A
=?A+?A = T (? ) + T ( ? ).

T ( k? ) = ( k? )A = k (αA) = k T ( α )
故 T 是 R n 中线性变换.

第六章 线性变换

上一页

例2

设 V 是一向量空间,λ∈R . 对任意的 α∈V ,令 T (α) = λα,则 T 是 V 中的一个线性变换.
事实上, 设 ? , ? ∈ V ,k ∈R ,因为

T (? + ? ) = λ(? + ? )

= λ? + λ?

= T (? ) + T ( ? ). T ( k? ) = λ( k? ) = k (λα) = k T (α) 所以 T 是 V 中的线性变换. 称这种变换为数乘变换. 特别地,当λ= 1 时,T (α) = α,T 称为恒等变换,记为

E ;当λ= 0 时,T (α) = 0, T 称为零变换,记为O,


E (?) = ?, O(?) = 0.
第六章 线性变换

上一页

例3

R3 中 ? ( x, y, z) = (x, y, 0) 是线性变换.
证 事实上, 设 ? = ( x1, y1, z1) , ? =( x2, y2, z2)

? (? + ? ) = ? ( x1+ x2 , y1 + y2, z1+ z2 )
= ( x1+ x2 , y1 + y2, 0 ) = ( x1, y1, 0) + ( x2, y2, 0) = ? (? ) + ? ( ? ). ? (k? ) = ? (k x1, k y1, kz1 ) x = ( k x1 , k y1 , 0 ) = k ( x1 , y1 , 0 ) = k ? ( ? ). R3 中向 xOy 面的投影变换. 第六章 线性变换 z 0 ( x, y, z) y (x, y, 0)

故 ? ( x, y, z) = (x, y, 0) 是 R3 中线性变换,称之为

上一页

例4 在 R2 中,设 0 ≤ ? < 2? , 令 ? :(x, y)? (x cos? ? ysin?, xsin? + ycos? ) 则 ? 是 R2 的一个线性变换. 称线性变换 ? 是绕原点按逆时针方向旋转 ? 角的旋转变换. 证 事实上,由 ? ( (x, y)+(x1 , y1))=? (x+x1, y+y1)

? [(x ? x1 ) cos? ? ( y ? y1 ) sin ? , ( x ? x1 ) sin ? ? ( y ? y1 ) cos? )] ? ( x cos? ? y sin ? , x sin ? ? y cos? ) ? ( x1 cos? ? y1 sin ? , x1 sin ? ? y1 cos? ) y ? ? ( x, y) ? ? ( x1, y1 ). ( x, y) ? (k ( x, y)) ? ? (kx, ky) ? ? (kx cos? ? ky sin ? , kx sin ? ? ky cos? ) x 0 ? k ( x cos? ? y sin ? , x sin ? ? y cos? ) ? k? ( x, y). 故 ? 是线性变换. 第六章 线性变换

§5 线性变换 二、线性变换的性质和运算
定理 1

设 T 是 V 中的线性变换,则 (1)T 把零向量变到零向量,把 α 的负向量变到 α的 像的负向量,即 T ( 0 ) = 0, T ( ? ? ) = ?T (? ). (2)T 保持向量的线性组合关系不变,即 α2 ? ? ? kα T (kα 1 1 ? k2 s s ) = k1T (α1)+ k2T (α2)+…+ksT (αs) (3)T 把线性相关的向量组变为线性相关的向量组,即 若?1, ?2, …, ?s 线性相关,则 T (?1 ), T ( ?2), …, T ( ?s)

也线性相关.
第六章 线性变换

定义2

设 L (V) 是向量空间V中的全体线性变换的集合, 定义 L(V) 中的加法、数乘与乘法如下:

(1)加法: (T +S )α = T ( ? ) +S (? ) ; (2)数乘: (kT )α = k T (? ) ; (3)乘法: (T S )α = T (S (? )) , 其中,α∈V,k∈R , T ,S ∈L(V). 易验证,T +S ,T S 以及 k T 都是 V 中的线性变换.

第六章 线性变换

§5

线性变换

三、线性变换的矩阵 设 V 是一个 m 维向量空间, ?1, ?2, …, ?m 是 V 的一组基.

T 是V 的一个线性变换. ?? ?V , 设? ? k1?1 ? k2?2 ? ?? km?m , 则 T(k1α1+ k2α2+…+ k mαm)= k1T (α1)+ k2T (α2)+…+k m T (αm)
因此,若已知基向量 α1,α2 , …,αm 在线性变换 T 下的像, 就可知道 V 中任意向量在线性变换 T 下的像了. 设

T (?1) = a11?1+ a21?2 + … am1?m, T (?2) = a12?1+ a22?2 + … am2?m ,
……………

(1)

T (?m) = a1m?1+ a2m?2 + … amm?m ,
可用矩阵形式表示为: 第六章 线性变换

? a11 a12 ? a21 a22 ? (T (?1), T (?2), …, T (?m)) = (? 1, ? 2, …, ? m ) ?? ? ? ?a ? m1 am 2
(T (?1), T (?2), …, T (?m) ) = (?1, ?2, …, ?m)A. 称矩阵 A 为线性变换 T 在基?1, ?2, …, ?n 下的矩阵. 记 则有

? a1m ? ? ? a2 m ? ? ?? ? ? amm ? ?
A

T (?1, ?2, …, ?m ) = (T (?1), T (?2), …, T (?m) ) T (?1, ?2, …, ?m ) = (?1, ?2, …, ?m )A

上一页

因此,取定 V 的一组基后,对于 V 的线性变换 T 有唯一确定的 n 阶方阵 A 与它对应.
在给定基下

T
一一对应

A

注意: (1) V 中的全体线性变换组成的集合 L(V) 与全体实 m 阶方阵所成集合R m X n 之间存在一一对应关系. (2) 线性变换的和、数乘和乘法对应于相应的矩 阵之间的和、数乘和乘法.

(3) 线性变换可逆(即存在V的一个变换S,使得 TS=E)当 且仅当 T 对应的矩阵 A 可逆,且 T 的逆变换对应的矩阵 就是 A-1. 第六章 线性变换

上一页

例5

Rn 中恒等变换 E(?) = ? 在每一组基下的矩阵为

n 阶单位阵.
Rn 中零变换O(?) = 0 在任意基下的矩阵为零矩阵. 例6

Rn 中线性变换 T (?) = k?, k ?R. T 在每一组基 下的矩阵为数量矩阵 k En .

第六章 线性变换

上一页

例7

? (a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 , b1x1 ? b2 x2 ? b3 x3 , c1x1 ? c2 x2 ? c3 x3 )
在标准基下的矩阵.
解 T (e1) = T (1, 0, 0 ) = (a1 , b1, c1) = a1e1+b1e2+c1e3 T (e2) = T (0, 1, 0 ) = (a2 , b2, c2) = a2e1+b2e2+c2e3 T (e3) = T (0, 0, 1 ) = (a3 , b3, c3) = a3e1+b3e2+c3e3

求 R3 中的线性变换 T (x1, x2, x3 )

所以 T 在标准基下的坐标矩阵为

? a1 a2 ? A ? ? b1 b2 ?c c ? 1 2

a3 ? ? b3 ?. c3 ? ?
第六章 线性变换

上一页

练习

求 R2 中旋转变换 ? (x, y) = (x cos? ?y sin?, x sin? + y cos? )

在标准基 e1= (1, 0), e2= (0, 1)下的矩阵. 解 ? (e1) = (cos?, sin? ) = cos? ? e1+ sin? ? e2,,

? (e2) = (?sin?, cos? ) = ? sin? ? e1+cos? ? e2,,,

θ ? sin θ? ? cos ? (? (e 1 ),? (e 2 )) ? (e 1 , e 2 )? . ? sin ? θ? ? θ cos 若设(x, y)的象 ? (x, y)在e1, e2下的坐标为(x', y') 则 x' = xcos? ? ysin? y' = xsin? + ycos?
? x' ? ? cos? ? ? y' ? ??? ? sin ? ? ? ?
象的坐标

? sin ? ?? x ? ? ? ? . ? ? ? cos? ?? y ?
原象的坐标 第六章 线性变换

§5 线性变换 四、象与原象的坐标变换公式 设 ??V, ? 在基?1, ?2, …, ?n下的坐标为(x1, x2, …, xn ), 设 ? (? )在基 ?1, ?2, …, ?n下的坐标为 (y1, y2, …, yn ), 则 由

? ? x1?1 ? x2?2 ? ?? xn?n
? y1 ? ? ? y 2 ? (3) ? ?( ξ) ? y1 α α α . 1 ? y2 2 ? ? ? yn n? (?1 ,? 2 ,?,?? ) ? ? ? ? ? ?y ? ? n?



? (? ) ? x1? (?1) ? x2? (?2 ) ? ?? xn? (?n ).
第六章 线性变换

? x1 ? x1 ? ? ? ? ? ? x2 ? ? x2 ? ? ? (? ( α α2 ),?,? ( αn ))? ? ? (?1,?2 ,?,?n ) A ? ?. (4) 1 ),? ( ? ? ? ? ? ? ?x ? ?x ? ? n? ? n?
将(3)与(4)比较得

? y1 ? ? ? ? y2 ? ? ? ??A ? ? ?y ? ? n?
?(?)
的 坐 标

? x1 ? ? ? ? x2 ? ? ? ?. ? ? ?x ? ? n?

? ?
的的 矩坐 阵标

第六章 线性变换

上一页

定理2

设?1, ?2, …, ?n 是向量空间 V 的一组基,线性 变换 ? 在基 ?1, ?2, …, ?n 下的矩阵为 A . 如果 ? 与 ? (? ) 在该基下的坐标分别为 (x1, x2, …, xn) 和 (y1, y2, …, yn),则

? y1 ? ? ? ? y2 ? ? ? ?? ? ? ?y ? ? n?

? x1 ? ? ? ? x2 ? A? ?. ? ? ? ?x ? ? n?

第六章 线性变换

上一页

例8 设 ? 是 R4 的一个线性变换,对 ? (x1, x2, x3, x4) ? R4, ?(x1, x2, x3, x4) = (2x1+x2, 3x1?x3, x3, x1+x4 ), 求 ? 在标准基 ?1, ?2, ?3, ?4下的矩阵.

解 ? (?1) = ? (1, 0, 0, 0) = (2, 3, 0, 1) =2?1+ 3?2+?4, ? (?2) = ? (0, 1, 0, 0)= (1, 0, 0, 0) =?1,, ? (?3) = ? (0, 0, 1, 0) = (0, ?1, 1, 0) =??2 + ?3, ? (?4) = ? (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 1) =?4.
因为

?2 ? 3 ? (? ε ( 1 ),? ε ( 2 ),? ε ( 3 ),? ε ( 4 ))? (? 1, ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ?0 ? ?1 ?

1 0 0 ?1 0 1 0 0

0? ? 0? . ? 0 ? 1? ?

第六章 线性变换

上一页

所以 ? 在?1, ?2, ?3, ?4下的矩阵为

?2 ? ?3 A?? 0 ? ?1 ?

1 0 0 0

0 0? ? ?1 0? . ? 1 0 ? 0 1? ?

第六章 线性变换

§5

线性变换

五、同一线性变换在不同基下的矩阵 线性变换与矩阵的对应关系是在取定了空间的一组 基的情况下建立的.如果取不同的基,同一线性变换对 应的矩阵一般是不相同的.
定理 3

设 ?1, ?2, ?, ?m 和 ?1, ?2, ?, ?m 是向量空间 V 的两组基. 线性变换 ? 在这两组 基下的矩阵 分别为 A 与 B, 从基 ?1, ?2, ?, ?m 到基 ?1, ?2, ?, ?m 的过渡矩阵是 C, 则 B = C ?1AC.

第六章 线性变换



已知

?σ(?1 ),σ(?2 ), ?σ(?1 ),σ(?2 ),
( ?1 , ? 2 ,
于是

σ(?n )? ? (?1 ,?2 , ?n ) A,

σ(?n )? ? (?1 , ?2 ,

? n )B,

? n ) ? (?1 ,?2 ,

, ? n )C .
?n )

?σ(?1 ),σ(?2 ),

σ(? n )? ?σ(?1 , ? 2 ,

?σ? ?(?1 ,?2 ,
? (?1 ,?2 ,
? ( ?1 , ? 2 ,

,?n )C ? σ(?1 ,?2 , ??? ?

,?n )? ?C

?? σ(?1 ), σ(?2 ), σ(?n )? C
?n ) AC
, ? n )C ?1 AC .

即 B=C?1AC.

第六章 线性变换

上一页

定义3

设A, B为两个 n 阶矩阵, 如果存在可逆矩 阵T, 使得B =T?1AT, 则称 A 与 B 相似, 记作 A ? B.

相似矩阵具有下面三个性质: 1. 反射性: A?A;

2. 对称性: 如果 A ?B, 则 B ?A;
3. 传递性: 如果 A?B,

B ?C, 则 A?C.

由定理 2 知线性变换在不同基下的矩阵是相似的 ; 反之, 若两矩阵相似, 那么它们可以看作同一线性变

换在不同基下的矩阵.

第六章 线性变换

上一页

定理 4

设 B = P ? 1 AP , 如果线性变换 ? 在基 ? 1 , ? 2 , ?,?n下的矩阵为 A,且 (?1, ?2, ?, ?n) = (?1, ?2, ?, ?n )P.

则 ? 在基 ?1, ?2, ?, ?n 下的矩阵为B.
基 ? 1 , ? 2 , ? , ? n下

? ?

A

基(?1, ?, ? n) = (?1, ?, ?n)P 下

B

B = P?1AP. 第六章 线性变换

上一页

例9 设 R2 的线性变换? 为 ? : (x1, x2)? (2x1+ 4x2, ?x1), 求? 在基 ? 1= (1, ?1), ?
2

= (?1, 2) 下的矩阵.

解答

第六章 线性变换

§5

线性变换

六、线性变换的特征值与特征向量 给定n维向量空间 V 的一个线性变换 ? ,是 否存在V的一组基,使? 在此基下的矩阵为对角形 矩阵?

定义4

设? 是向量空间 V 的一个线性变换, 如果存在 实数 ? 和 V 中一非零向量 ? , 使得

σ(? ) ? ??
那么 ? 称为 ? 的一个特征值, ? 称为? 的属于 特征值 ? 的一个特征向量.

第六章 线性变换

上一页

定理 5

设V 为n 维向量空间,? 为V 的一个线性变换, 那么存在V的一组基,使得? 在这组基下的矩阵为 对角矩阵的充要条件是? 有 n 个线性无关的特征 向量. 证
定义5

设 A 是一个 n 阶实矩阵, 如果存在实数? 和非 零的 n 维列向量 ? , 使得

A? ? ??
那么 ? 称为A 的一个特征值, ? 称为 A 的属于 特征值 ? 的一个特征向量. 第六章 线性变换

上一页

定理 6

n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量.

第六章 线性变换