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河南省南阳市第一中学2017届高三数学上学期第二次月考试题理


南阳一中 2016 年秋高三第二次月考 数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 M ? {x | x 2 ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? A. [0,1] 2.复数 z ? B. (0,1] C. [0,1) D. (??,1]

i 的共轭复数在复平面上对应的点在 1? i
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.下面命题中假命题是 A.? x∈R,3 >0 B.? α ,β ∈R,使 sin(α +β )=sinα +sinβ C.? m∈R,使
x

f ( x) ? mxm ?2? 是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增
2 2

2

D.命题“? x∈R,x +1>3x”的否定是“? x∈R,x +1>3x” 4.已知向量 a ? (k ,3) , b ? (1, 4) , c ? (2,1) ,且 (2a ? 3b) ? c ,则实数 k ? () A. ?

?

?

?

?

?

?

9 2

B.0

C.3

D.

15 2

5. 若 {an } 是等差数列, 首项 a1 成立的最大正整数 n 是 A.2011

? 0, a2011 ? a2012 ? 0 ,a2011 ? a2012 ? 0 , 则使前 n 项和 Sn ? 0

B.2012

C.4022

D.4023

6.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上的任意一点,则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是 A.

1

B.

2

C. 2

D. 2 2

7 . 设 数 列 ?an ? 是 首 项 为 1 , 公 比 为 q (q ? ?1) 的 等 比 数 列 , 若 ?

?

1 ? ? 是等差数列,则 ? an ? an ?1 ?

(

1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ?? ? ??( ? )? a2 a3 a3 a4 a2015 a2016
B.4026 C.4028 D.4030

A.4024

??? ? ??? ? ???? 8. 已知 ?ABC 中,AB ? AC ? 4, BC ? 4 3 , 点 P 为 BC 边所在直线上的一个动点, 则 AP ? ( AB ? AC )

满足

1

A.最大值为 16

B.最小值为 4

C.为定值 8

D.与 P 的位置有关

9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足

f ? 4?= 1 , f ? ? x ? 为 f ( x) 的导函数,已知函数 y=f ? ? x ? 的图象如
b?2 的取值范围是 a?2

图所示.若两正数 a, b 满足 f (2a+b) ? 1 ,则 A. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

B. ? ??, ? ? (3,+?)

? ?

1? 2?

C. (??, ?3) 10.已知函数 f ( x) ?

D. ? ,3 ?

?1 ?2

? ?

4 3 与 g ( x) ? x ? t ,若 f ( x ) 与 g ( x) 的交点在直线 y ? x 的两侧, x

则实数 t 的取值范围是 A. (?6, 0] 11. 设函数 B. (?6, 6) C. (4, ??) D. (?4, 4)

f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? 单调递减,若数列 ?an ? 是等差数列,

且 a3 ? 0 ,则 A.恒为负数

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? f ? a4 ? ? f ? a5 ? 的值
B.恒为正数 C.恒为 0 D.可正可负

12.函数 f ? x ? ? ln A. 1 ? ln 2

x 1 ? , g ? x ? ? e x ? 2 ,若 g ? m? ? f ? n ? ,则 n ? m 的最小值为 2 2
B. ln 2 C. 2 e ? 3
2 D. e ? 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.

cos100 ? 2sin 200 = sin100

14.若 f ( x) 的定义域为 R , f ?( x) ? 2 恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为________.
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B C 中, P 是 BC 边中点,角 A ,B ,C 的对边分别是 a ,b ,c ,若 cAC ? 15. 在 ?A aP A bP ?B ? 0 ,

则 ?ABC 的形状是____________. 16 .已 知函 数 f ( x ) ?

1 3 1 1 1 x ? x 2 ? ax , 若 g ( x) ? x , 对任 意 x1 ? [ , 2] , 存在 x2 ? [ , 2] , 使 3 e 2 2

f '( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。 ) 17. (本小题 10 分)设命题 p :实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q : 实数 x 满足

2

x ?3 ?0. x?2
(1)若 a ? 1, 且 p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 ?p 是 ? q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)

? x ? ? )(A ? 0, ? ? 0, ? ? 如图是函数 f ( x) ? A sin(
(1)求出 A, ? , ? 的值; (2)当 x ? (0, ) 时,求不等式 f ( x ?

?
2

) 图

像的一部分。

π 2

π x π ) ? f 2( ? ) ? 2 6 2 6

的解集。

19. (本小题满分 12 分)
2 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,且 a ? 2 , 2 cos

B?C 4 ? sin A ? . 2 5

(1)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围; (2)当 ?ABC 的周长取最大值时,求 b 的值.

3

20. (本小题满分 12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等 差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)bn= an log 1 an ,Sn=b1+b2+?+bn,对任意正整数 n,Sn+(n+m)an+1<0 恒成立,求 m 范
2

围。

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ln x(a ? R) .
2

(1)若曲线 f ( x ) 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? ? x ? 5 垂直,求实数 a 的值; (2)若 ?x0 ?[1, e] ,使得

f ( x0 ) ? 1 ? a ? 0 成立,求实数 a 的取值范围. x0

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ?

ln x ? 1 . x

(1)若对任意的 x ? 1 ,恒有 ln ? x ? 1? ? k ? 1 ? kx 成立,求 k 的取值范围; (2)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n2 ? n ? 1 ? + ??? + ? ? n ? N? , n ? 2 ? . 4 ? n ? 1? 22 32 n2

4

南阳一中 2016 年秋期高三第二次月考 理数参考答案

ADDCC BCCDB BB 13. 3 14. (?1, ? ?) 16. (??, e ? 8]

e

15.等边三角形

2 2 17.(1)由 x ? 4ax ? 3a ? 0 得 ( x ? 3a)( x ? a) ? 0 ,

又 a ? 0 ,所以 a ? x ? 3a , 当 a ? 1 时,1< x ? 3 ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1< x ? 3 .

q 为真时

x ?3 ?x ? 2 ? 0 ? 0 等价于 ? ,得 2 ? x ? 3 , x?2 ?( x ? 2)( x ? 3) ? 0

即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . 若 p ? q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 . (2) ?p 是 ?q 的充分不必要条件,即 ?p ? ?q ,且 ?q 设 A= {x | a ? x ? 3a} , B= {x | 2 ? x ? 3} , 则 B ? A;

? ? ?p ,

等价于 q ? p ,且 p

? ? q,

?

则 0< a ? 2 ,且 3a ? 3 所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .

18.(1) A ? 2, ? ? 2, ? ?

?
3

2 (2)由 2sin 2 x ? 4sin x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 0 ? sin(2 x ? ) ? 0

?

4

5

由 x ? (0, ) 得 2 x ?

π 2

?

? 5π ? ? 3? ? ( , ) ,? ? 2 x ? ? ? ? x ? (0, ) . 4 4 4 4 4 8

19.(1) 2 cos

2

B?C 4 4 1 ? sin A ? ? 1 ? cos( B ? C ) ? sin A ? ? sin A ? cos A ? ? , 2 5 5 5

3 ? sin A ? ? 1 ? 5 tan ? ? . 又 0 ? A ? ? ,且 sin 2 A ? cos2 A ? 1 ,有 ? 3 ?cos A ? 4 ? 5 ?
若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,则有 a ? b sin A 或 a ? b , 则 b 的取值范围为 (0,2] ? ?

?10 ? ?. ?3?

(2)设 ?ABC 的周长为 l ,由正弦定理得

l ? a?b?c ? a?

a 10 (sin B ? sin C ) ? 2 ? [sin B ? sin( A ? B)] sin A 3

? 2?

10 [sin B ? sin A cos B ? cos A sin B)] ? 2 ? 2(3 sin B ? cos B) ? 2 ? 2 10 sin( B ? ? ) ,其中 ? 3

? 10 sin ? ? ? ? 10 , l ? 2 ? 2 10 ,当 cos B ? 10 , sin B ? 3 10 时取到. 为锐角,且 ? max 10 10 ?cos? ? 3 10 ? 10 ?
时b ?

a sin B ? 10 . sin A

20.(1)设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,依题意,有 2 ? a3 ? 2? ? a2 ? a4 ,代入

1 ? ? a1q 2 ? 8 ?q ? 2 ? q ? , 解得 ? 或? 又数列 ?an ? 单 a2 ? a3 ? a4 ? 28 可得 a1 ? 8,? a2 ? a4 ? 20 ? ? 2 , 3 ? a1 ? 2 ? a ? 32 ?a1q ? a1q ? 20 ? 1
调递增? q ? 2, a1 ? 2 ,数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n (2)∵bn=2 · log 1 2n =-n·2 ,
n n

2

∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 ,① -2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +?+(n-1)×2 +n×2
2 3 4 n n+1

2

3

n

.②

6

①-②,得 Sn=2+2 +2 +?+2 -n·2 ∵Sn+(n+m)an+1<0,∴2 ∴m·2 ∵
n+1 n+1

2

3

n

n+1



2 ?1 ? 2n ? 1? 2
n+1

-n·2
n+1

n+1

=2

n+1

-n·2

n+1

-2.

-n·2

n+1

-2+n·2

+m·2

<0 对任意正整数 n 恒成立.

<2-2

n+1

对任意正整数 n 恒成立,即 m<

1 -1 恒成立. 2n

1 -1>-1,∴m≤-1,即 m 的取值范围是(-∞,-1]. 2n

21.(1)依题意, f '( x) ? 2 x ? a ln x ? a ,故 f '(1) ? 2 ? a ? 1 ,解得 a ? 1 . (2)依题意, ?x0 ?[1, e] ,使得 x0 ? a ln x0 ? 即函数 h( x) ? x ? a ln x ?

1? a ? 0 成立, x0

1? a 在 [1, e] 上的最小值 [h( x)]min ? 0 . x

a 1 ? a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] h '( x) ? 1 ? ? 2 ? ? , x x x2 x2
当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 h '(x ) ? 0,∵ x ? 0 ,∴ x ? 1 ? a ,令 h '(x ) ? 0,∵ x ? 0 ,∴

0 ? x ? 1? a ,
∴ h( x) 的单调增区间为 [1 ? a, ??) ,单调减区间为 (0,1 ? a] . 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, h '( x) ? 0 恒成立,∴ h( x) 的单调增区间为 (0, ??) . ①当 a ? 1 ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递减, ∴ [h( x)]min ? h(e) ? e ?

e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 1? a ? a ? 0 ,∴ a ? ? e ? 1 ,∴ a ? ,∵ ; e e ?1 e ?1 e ?1

②当 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 0 时,h( x) 在 [1, e] 上单调递增,∴ [h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 ,∴ a ? ?2 ; ③当 1 ? a ? 1 ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时,∴ [h( x)]min ? h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 0 , ∵ 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,∴ 0 ? a ln(1 ? a) ? a ,∴ h(1 ? a) ? 2 ,不存在 x0 ,使 h( x0 ) ? 0 综上可得所求 a 的范围为 (??, ?2] ? [ 。

e2 ? 1 , ??) . e ?1

7

22.(1) f ' ? x ? ?

? ln x ,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? 1 ,列表如下: x2

x
f ' ? x?

? 0,1?
+ 单调递增

1 0 极大值 1

?1, ???
单调递减

f ? x?

因此增区间 ? 0,1? ,减区间 ?1, ?? ? ,极大值 f ?1? ? 1 ,无极小值.

8


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