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2012高一数学 2.2.1 对数与对数运算 第一课时课件 新人教A版必修1_图文

§2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算

第一课时 对 数

学习目标 1.理解对数的概念. 2.掌握对数的基本性质.

第一课时

课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练

课前自主学案

温故夯基

1.有理指数幂的运算性质有(1)aras=_a_r+__s ;(2)(ab)r

=_a_rb_r_;(3)(ar)s=_a_r_s _.(其中a,b>0,r,s∈Q)

2.若a>0且a≠1,则当x=_0_时,ax=1;当x=_1_

时,ax=a.

3.若2x=2,则x=_1_;若3x=9,则x=_2_;若2x



1 16

,则x=_-__4_.

知新益能

1.对数的概念 (1)定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那 么数x叫做以_a_为__底__N__的__对__数__,记作_x_=__lo_g_a_N_,其 中a叫做对数的底数,N叫做真数. (2)指数式与对数式的关系

式子
指数式 ab=N 对数式 logaN=b

名称
a _底__数__ _底__数__

b

N

_指__数__ __幂__

_对__数__ _真__数__

2.两种特殊的对数 (1)以10为底的对数叫做常__用__对__数__,简记为lg_N____. (2) 以 无 理 数 e = 2.71828… 为 底 数 的 对 数 叫 做 _自__然__对__数___,简记为_ln_N____. 3.对数的基本性质 设a>0,且a≠1,则 (1)零和负数_没__有___对数; (2)1的对数为零,即_lo_g_a_1_=__0 __; (3)底数的对数等于1,即_lo_g_a_a_=__1 __.

问题探究
1.(-3)2=9能写为log(-3)9=2吗? 提示:不可以.只有符合a>0,且a≠1且N>0时, 才有ax=N?x=logaN. 2.alogaN=N(a>0,a≠1,N>0)成立吗?为什么? 提示:成立.此式称为对数恒等式.设ab=N,则b =logaN,∴ab=alogaN=N.

课堂互动讲练
考点突破
指数式与对数式的互化
对数式是指数式的另一种表达,求幂指数 往往转化为对数;求对数值往往转化为指 数幂的形式.

例1 利用指数式、对数式的互化求下列各式中 的 x 值. (1)logx27=32;(2)log2x=-12;(3)logx25=2; (4)log5x2=2.
【思路点拨】 将对数式与指数式互化,即可 得解.

【解】

(1)由

logx27=32,得

3
x2=27,

2
∴x=273=32=9.

(2)由

log2x=-12,得

1
2-2=x,

∴x=

2 2.

(3)由logx25=2,得x2=25. ∵x>0,且x≠1,∴x=5. (4)由log5x2=2,得x2=52, ∴x=±5. ∵52=25>0,(-5)2=25>0, ∴x=5或x=-5. 【名师点拨】 在指数式ab=N中,若已知a,N, 求幂指数b,便是对数运算b=logaN.

对数的概念
对数要成立必须具备底数大于0且不等于1,且真 数大于0,这是对数存在的基础.
例2 求下列各式中x的范围. (1)log(2x-1)(x+2);(2)log (x2+1)(-3x+8). 【思路点拨】 注意到x既存在于底数中,又存 在于真数中,解答本题结合对数的概念,应考虑 其各自的要求解出x满足的条件.

【解】 (1)因为真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1,

??x+2>0 所以?2x-1>0
??2x-1≠1

,解得 x>12且 x≠1.

即 x 的取值范围是{x|x>12且 x≠1};

(2)因为底数 x2+1>1,所以 x≠0; 又因为-3x+8>0,所以 x<83, 综上可知 x<83,且 x≠0.
即 x 的取值范围是{x|x<83且 x≠0}.
【名师点拨】 求解此类式子中参数的范 围时,应根据对数中对底数和真数的要求 列出不等式组解出即可.

互动探究1 在本例(2)中,若底数与真数中的式 子互换,即log(-3x+8)(x2+1),则x的取值范围如 何? 解:因为底数-3x+8>0 且-3x+8≠1, 所以 x<83且 x≠73. 又因为 x2+1>0,所以 x∈R.
综上可知:x 的取值范围是{x|x<83且 x≠73}.

对数基本性质的应用

利用对数的基本性质对简单的对数式进行

化简或求值.

例3 求下列各式中 x 的值.

(1)log2(log5x)=0;

(2)log3(lgx)=1;

(3)log( 2-1)

1

=x;

3+2 2

(4)化简 71+log75

【思路点拨】 (1)(2)(3)主要利用loga1=0, logaa=1,(4)利用对数恒等式化简. 【解】 (1)∵log2(log5x)=0, ∴log5x=20=1,∴x=51=5. (2)∵log3(lgx)=1,∴lgx=31=3, ∴x=103=1000.

(3)∵log( 2-1) 1 =x, 3+2 2

∴( 2-1)x=

1 3+2

= 2

?

1= 2+1?2

1= 2+1

2-1,

∴x=1.

(4)原式=7×7log75=7×5=35.

【名师点拨】 有关“底数”和“1”的对数, 可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”,化 成常数,有利于化简和计算.

自我挑战2 若loga[logb(logcx)]=0,(a>0,b > 0 , c > 0 且 a≠1 , b≠1 , c≠1) , 则 x = ________. 解析:logb(logcx)=1,∴logc x=b,∴x=cb. 答案:cb

方法感悟 方法技巧 1.logaN=b 与 ab=N(a>0 且 a≠1,N>0)是等价的, 表示 a,b,N 三者之间的同一种关系,可以利用其 中两个量表示第三个量.(如例 1,例 3)
2.使形如 logf(x)g(x)的式子有意义的 x 的取值范围的

??g?x?>0, 确定,可利用对数的定义,满足?f?x?>0,
??f?x?≠1,

进而求

得 x 的取值范围.(如例 2)

失误防范 1.已知含x的对数等式,确定x的值时,易忽视使 其有意义的x的取值范围,也就是解对数方程不可 忽视对所求x值的检验.(如例2) 2.使用对数恒等式alogaN=N化简对数式时,不要 只从形式上相同就认为符合恒等式,还需使对数 有意义,如(-3) log(-3)2无意义.