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太白中学高2013级3月月考试卷(文科)-高三(下)-(含答案)-(1)卷


太白中学高 2013 级高三(上)3 月月考

A.



学(文史类)
共 50 分)

5 3 cm 2
2

B.

3 3 cm 2

C. 3 cm3

D.2 cm3

7.对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x 2 ? 2 x 的上确界, 若 a、b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ? A.
?

本试卷分为试题卷和答题卷两部分,其中试题卷由第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)组 成,共4页;答题卷共4页。满分150分,考试结束后将答题卡和答题卷一并交回。天网

第Ⅰ卷(选择题
选项中,只有一项是符合题目的要求的。
1 1 1.“ a ? b ? 0 ”是“ ? ”的( a b
A.充分而不必要 )条件

1 2 ? 的上确界为( 2a b
C.



一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个

9 2

B. ?

9 2

1 4

D.-4

8.已知平面向量 a, b 满足: | a |? 1,| b |? 2, a与b 的夹角为 C.充要条件 D.既不充分也不必要

? ,若△ABC 中 AB ? 2a ? 2b , 3
D. 2 5 ? 3

B.必要 而不充分 )

AC ? 2a ? 6b ,D 为边 BC 的中点,则 | AD | =
A.12 B. 2 3 C. 5 ? 3 9.已知函数 f (x ) ?| sin x | 的图象与直线 y ? kx (k ? 0) 有且仅有三个公共点,这三个公共点横

1 1 ? 2.复数 的虚部为 ( i ? 2 1 ? 2i 1 A. ? 5 1 B. ? i 5

1 C. 5

1 D. i 5

坐标的最大值为 a ,则 a 等于( A. ? cosa

) C. ? tan a D. tan a

B. ? sin a

3.已知 ? 、 ? 是不同的平面,m、n 是不同的直线,给出下列命题:①若 m ? ? , m ? ? ,则

变式:已知函数 f(x)=|sinx|的图象与直线 y=kx (k>0)有且仅有五个公共点,公共点的横坐标的最大值为 α,
证明:

? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? ;③如果 m ? ? , n ? ? , m 、 n 是异面
直线,那么 n 与 ? 相交;④若 ? 命题的个数是( A. 4 4.若 tan ? + ) B.3 C.2 ) D.1

cos 4 a ? sin 4 a 1? a ? sin 2a ? cos 2a ? 1 2a

? ? m, n / / m, 且n ? ? , n ? ? ,则 n // ? 且 n // ? 。其中正确

变式 2:函数 f(x)=|sinx|的图象与直线 y=kx(k>0)仅有三个公共点,且其横坐标分别为 α,β,γ(α<β<γ),
给出下列结论: ①k=-cosγ;②γ∈(0,π);③γ=tanγ;④sin2γ=

1 =4,则 sin2 ? =( tan ?
B.

2r ,其中正确的是①③④(填上所有正确的序号) 1? r2

解:函数 f(x)=|sinx|的图象与直线 y=kx(k>0)仅有三个公共点,其图象如下:

A.

1 5

1 4

C.

1 3

D.

1 2

5.将函数 y ? sin 2x 的图象向左平移 是( ).

? 个单位 , 再向上平移 1 个单位 ,所得图象的函数解析式 4
B. y ? 2cos x
2

A. y ? cos 2 x C. y ? 1 ? sin( 2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

由图知,a=0,

?
2

? ? ?? ?? ?

6.已知某个几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸 (单位: cm) ,可得这个几何体的体积是( )

? sin r sin r ? ? cos r ,所以 ,同时,由 y′=-cosx,∴k=-cosγ,故①正确;? r r 2 tan r 2r ? 故③正确;∴由万能公式可得 sin2γ= 故④正确.故答案为:①③④. 2 1 ? tan r 1 ? r 2
与 y=-sinx 相切,? k

3? 2

,可排除②;当 ?

?x?

3? 2

, f(x)=|sinx|=-sinx,∵直线 y=kx(k>0) γ=tanγ,

?

10.过抛物线 y

2

? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,抛物线准线与 x 轴交于
0

12.已知 f ( x) ?

C 点,若 ?CBF ? 90 ,则 | AF | ? | BF | 的值为(

)

ex ?1 1 , 若f (m) ? , 则f (?m) ? x e ?1 2
。30

。?

1 2
开始 S=0,T=0,n=0 是

p A. B. p 2 设 AB 方程为:y=k(x-p/2)(假设 k 存在)

3 C. p 2

13.执行右边的程序框图,输出的 T= D. 2 p

联立得 k^2(x^2-px+p^2/4)=2px (k^2)x^2-(k^2+2)px+(kp)^2/4=0 设两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), ∠CBF=90° 即(x1-p/2)(x1+p/2)+y1^2=0 x1^2+y1^2=p^2/4 x1^2+2px1-p^2/4=0 (x1+p)^2=(5/4)p^2 x1=(-2+√5)p/2 或(-2-√5)p/2(舍) ∴A((-2+√5)p/2,√(-2+√5)p) |AC|=√{[(1+√5)/2]^2+(-2+√5)}p=√[(-1+√5)/2]p |AF|=√{[(-3+√5)/2]^2+(-2+√5)}p=√[(3-√5)/2]p==(-1+√5)p/2 ∵ΔCAF∽ΔBAC,故|AB|/|AC|=|AC|/|AF| ∴|AB|=|AC|^2/|AF|=p ∴|BF|=|AB|-|AF|=(3-√5)p/2 |AF|-|BF|=4p/2 AF-BF=2P
变式:过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作直线 l,交抛物线于 A、B 两点,交其准线于 C 点,若 CB ? 3BF ,
则直线 l 的斜率为 ______。 ?2

T>S 否 S=S+5 n=n+2

S

输出 T 结束

T=T+n

? y?x ? 14.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? 3 y 的最大 ? x ? ?2 ?
值为___________。8

? y?x ? 设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? 3 y 的最大值为 ? x ? ?2 ?
A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】满足约束条件的点 ( x, y ) 的可行域如下: 由图可知,当 x ? 3 y 时,目标函数 z ? x ? 3 y 在点 (?2, ?2) 处取到最大值 4。当 x ? 3 y 时,目标函 数 z ? ? x ? 3 y 在点 (?2, 2) 处取到最大值 8.综上可得, z ? ? x ? 3 y 的最大值为 8,故选 B

2
p , 0) 2
,准线方程: x

p ,由过焦点 F 作直线 l,交抛物线于 A、B 两点, 2 p p 交其准线于 C 点,知 C 点横坐标为 x0 ? ? .设直线 l 方程 y ? k ( x ? ) ,由 CB ? 3BF ,知 B 为 CF 的 2 2 p 2p 四等分点.设 B(a,b),则 B ( , ? ) ,代入直线方程,能求出直线 l 的斜率. 4 2
抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F( (

??

3 ? 4 ? 8 | x ? |,1 ? x ? 2 ? ? 2 15.已知定义在 [1,8] 上的函数 f ( x) ? ? ,则下列结论:① f (3) ? 2 ;②函数 1 x ? f ( ), 2 ? x ? 8 ? ? 2 2

f ( x) 的值域为 [0, 4] ;③对任意的 x ? [1,8] ,不等式 xf ( x) ? 6 恒成立;④将函数的极值由大到小
排列得到数列 {an }, n ? N * ,则 {an } 为等比数列。其中正确的是_________。①②③

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题: 本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。
11. 如图(11)所示的茎叶图记录了某位同学四次数学测验的成绩,则该同学 这四次测验成绩的方差为 43 。

三、解答题: 本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
16. 已知函数 f ( x) ? 2 3 sin(? ? x) ? 2sin(

3? ? x) 。 2

(1)若 x ?[0, ? ], 求 f ( x ) 的值域;

解: (I)当 n ? 1 时,? b1 ? T1 ? 1 ? b1 ?b1 ?

(2)若 x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点,求

2cos 2

x0 ? sin x0 ? 1 2 的值。

2 sin( x0 ? ) 4

?

解: f ( x) ? 2 3 sin(? ? x) ? 2sin( 令t ? x ?

?
6

3? ? ? x) ? 2 3 sin x ? 2 cos x ? 4sin( x ? ) ……3 分 2 6

当 n ? 2 时,?Tn ? 1 ? bn ?Tn?1 ? 1 ? bn?1 1 两式相减得: bn ? bn?1 ? bn ,即: bn ? bn?1 …………… ……………………………6 分 2 1 1 故{ bn }为首项和公比均为 的等比数列,? bn ? ( ) n ……………………………8 分 2 2 (II)设 ?an ? 中第 m 项 am 满足题意,即 所以 m ? 2
n ?1

1 ………………………………………2 分 2

,则 y ? 4sin t

6 6 由三角函数的图像知 f ( x) ?[?2, 4] …………………………………………………6 分 (2)方法一: x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点 ? f ( x0 ) ? 4sin( x0 ? ) ? 2 3 sin x0 ? 2 cos x0 ? 0 6 3 …………………………………………………………………………8 分 ? tan x0 ? 3 3 x 2 cos 2 0 ? sin x0 ? 1 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 3 ? 2 ? 3 ………………12 分 0 0 0 2 ? ? ? ? ? sin x0 ? cos x0 1 ? tan x0 3 2 sin( x0 ? ) 1? 4 3 方法二: x0 为函数 y ? f ( x) 的一个零点

x ?[0, ? ]

? t ? [?

? 5?
,

]

?12 m ? N * , n ? N * , 取n ? 5,则m ? 4 a4 ? 7 (其它形如 m ? 2n?1 ?12 m ? N * , n ? N * 的数均可)……………………12 分

?

?

?

1 1 ? ( )n ,即 2m ? 1 ? 25 ? 2n am ? 25 2

?

18. (本小题满分 12 分)设事件 A 表示“关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根” . (1)若 a 、 b ?{1, 2 , 3} ,求事件 A 发生的概率 P ( A) ;
2 2

?

(2)若 a 、 b ?[1, 3] ,求事件 A 发生的概率 P ( A) .
2 2 解: (1)由关于 x 的方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实数根,得 ? ? 0 .

∴ 4a ? 4b ? 0 ,故 a ? b ,当 a ? 0 , b ? 0 时,得 a ? b .?? 2 分 b 若 a 、b ?{1, 2 , 3} ,则总的基本事件数(即有序实数对 ( a , b ) 的 个数) 3 为 3? 3 ? 9 . 事件 A 包含的基本事件为:(1,1) ,( 2 , 1) ,( 2 , 2) ,
2 2 2 2

E

D

? f ( x0 ) ? 4sin( x0 ? ) ? 0 ? x0 ? ?k ?, k ?Z 6 6 3 …………………………………………………………………………8 分 ? tan x0 ? 3 3 x 2 cos 2 0 ? sin x0 ? 1 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 3 ? 2 ? 3 ………………13 分 0 0 0 2 ? ? ? ? ? sin x ? cos x 1 ? tan x 3 0 0 0 2 sin( x0 ? ) 1? 4 3 17. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,
且满足 Tn ? 1 ? bn 。 (1)求 {bn } 的通项公式;

?

?

1 (2)在 ?an ? 中是否存在使得 是 {bn } 中的项,若存在,请写出满足题意的一项(不要求写 an ? 25
出所有的项) ;若不存在,请说明理由.

(3 ,1) , (3 , 2) , (3 , 3) ,共有 6 个. 1 6 2 ∴事件 A 发生的概率 P ( A) ? ? ; ???? 6 分 9 3 O (2)若 a 、 b ?[1, 3] ,则总的基本事件所构成的区域 ? ? {( a , b ) |1 ? a ? 3 ,1 ? b ? 3} ,是平面直角坐标系 aOb 中的一个 正方形(如右图的四边形 BCDE ) ,其面积 2 ???? 9 分 S? ? (3 ?1) ? 4 . 事件 A 构成的区域是 A ? {( a , b ) |1 ? a ? 3 ,1 ? b ? 3 , a ? b } ,是 平面直角坐标系 aOb 中的一个等腰直角三角形(如右图的阴影部分) , 1 2 其面积 S A ? ? ( 3 ? 1) ? 2 . 2 S 2 1 故事件 A 发生的概率 P( A) ? A ? ? . ?? 12 分 S? 4 2 19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, EA ? 平面 ABC ,E DB ? 平面 ABC , AC ? BC ,且 AC ? BC ? BD ? 2 AE , M 是 AB 的中点. (1)求证: CM ? EM ; A (2)求直线 DE 与平面 CEM 所成角的正切值.
解:(1)证明:因为 AC=BC,M 是 AB 的中点, 所以 CM⊥AB. ???????????????2 分 又 EA ⊥平面 ABC,

B 1 3

C a

b E

3

D

1 O 1

B 3

C a

D

C
M B

(第 20 题)

所以 CM⊥EA ?????????????????????4 分 因为 AB EA=A 所以 CM⊥平面 EAB. 所以 CM⊥EM. ???????????????????6 分 (2)连结 MD, 设 EA=a,BD=BC=AC=2 a, 在直角梯形 ABDE 中, AB=2 2 a,M 是 AB 的中点, 所以 DE=3a,EM= 3a ,DM= 6a , 得△DEM 是直角三角形,其中 DM⊥EM,????8 分 又因为 DM⊥CM, 因为 EM CM=M, 所以 DM⊥平面 CEM 所以∠DEM 是直线 DE 和平面 CEM 所成的角.??10 分
[来源:学科网 ZXXK]

? ? (4 6m)2 ? 4 ?13(2m2 ? 4) ? 8(12m2 ? 13m2 ? 26) ? 0 ,
∴ m ? 26 .
2

x1 ? x2 ?
D

2m 2 ? 4 4 6m , x1 x2 ? . 13 13

…………

10 分

E

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,

3m2 ? 28 则 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 7 x1 x2 ? 6m( x1 ? x2 ) ? m ? . ………………… 13
2

12 分

A M B
(第 20 题)

C

∴ OA ? OB 的取值范围 [ ?

28 50 , ). 13 13

………………………

13 分

DM 6a 在 Rt△DEM 中,tan∠DEM= ? ? 2, EM 3a 故直线 DE 与平面 CEM 所成角的正切值为 2 .????12 分
说明:用向量法解可酌情给分。 20. (本小题满分 13 分)如图,椭圆

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ? (1)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; (2)当 a ? 0 时,讨论 f ? x ? 的单调性;

1 ? 2ax(a ? 0) . x

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , 0) , a 2 b2

(3)若对任意的 a ? ? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3?, 恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立, 求实数 m 的取值范围. 解: (1)当 a ? 0 时, f ? x ? ? 2 ln x ? 由 f ?? x? ?

F2 (c , 0) .已知点 M ( 3,

2 ) 在椭圆上,且点 M 到两焦点距离之和 2

为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设与 MO ( O 为坐标原点)垂 直的直线 交椭圆于 A, B ( A, B 不重合) ,求 OA ? OB 的取值范围. 解: (1)∵2a=4, ∴a=2. 又 M ( 3,
2

…………

2分 4分

3 1 2 ) 在椭圆上,∴ ? 2 ? 1 4 2b 2

…………

解得: b ? 2 , ∴所求椭圆方程

x2 y 2 ? ? 1. 4 2

………………………

6分

2x ?1 1 ? 0 ,解得 x ? . ……………………… 3 分 2 x 2 ? 1? ?1 ? ∴ f ? x ? 在 ? 0, ? 上是减函数,在 ? , ?? ? 上是增函数. ………………… 4 分 ? 2? ?2 ? ?1? ∴ f ? x ? 的极小值为 f ? ? ? 2 ? 2ln 2 ,无极大值. ……………………… 5 分 ?2? 2ax 2 ? ? 2 ? a ? x ? 1 ? ax ? 1?? 2 x ? 1? 2?a 1 (2) f ? ? x ? ? ? 2 ? 2a ? ? ( x ? 0) . … 7 分 x x x2 x2 ? 1? ? 1 ? ?1 1? ①当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? ? , ?? ? 上是减函数,在 ? , ? ? 上是增函数;……8 分 ? 2? ? a ? ?2 a? ②当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? 0, ??? 上是减函数;…………………… 9 分

1 2 1 2x ?1 , f ?? x? ? ? 2 ? ( x ? 0). ……… x x x x2

2分

(2) k MO ?

6 ,∴ k AB ? ? 6 . 6

设直线 AB 的方程: y ? ? 6 x ? m ,

1? ?1 ? ? ? 1 1? , ?? ? 和 ? 0, ? ? 上是减函数,在 ? ? , ? 上是增函数 a? ?2 ? ? ? a 2? (3)当 ?3 ? a ? ?2 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是减函数,
③当 a ? ?2 时, f ? x ? 在 ? ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ?1? ? f ? 3? ? 8分

10 分

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 联立方程组 ? 4 消去 y 得: 13x ? 4 6mx ? 2m ? 4 ? 0 .………… 2 ? y ? ? 6x ? m ?

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 . ……………………… 11 分 3 由 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 对任意的 a ? ? ?3, ?2? , x1, x2 ??1,3? 恒成立,

∴ ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? max 即 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? 即 m ? ?4 ?

………………………

12 分

2 ? 4a ? ? a ? 2 ? ln 3 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, 3

2 对任意 ?3 ? a ? ?2 恒成立, ……………………… 13 分 3a 13 2 38 13 ? ?4 ? ? ? ,∴ m ? ? . ………………… 由于当 ?3 ? a ? ?2 时, ? 3 3a 9 3

14 分


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