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19届高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.5两角和与差及二倍角的三角函数第2课时学案理

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第 2 课时 简单的三角恒等变形

题型一 三角函数式的化简

1.(2017·湖南长沙一模)化简:2sin?π -α ?+sin 2α =

.

cos2α2

答案 4sin α

解析

2sin?π -α ?+sin cos2α2



=2sin

α +2sin 12?1+cos

α α

cos ?

α

=2si12n?1α+?1c+oscoαs? α ?=4sin α .

2cos4x-2cos2x+12

2.化简:



.

2tan???π4 -x???sin2???π4 +x???

答案 12cos 2x

12?4cos4x-4cos2x+1? 解析 原式=
2×scions??????ππ44 --xx??????·cos2???π4 -x???



?2cos2x-1?2

4sin???π4 -x???cos???π4 -x???

cos22x =
2sin???π2 -2x???

cos22x 1 =2cos 2x=2cos

2x.

1

3.(2018·聊城模拟)已知 cos???θ +π4 ???= 1100,θ ∈???0,π2 ???,则 sin???2θ -π3 ???=

.

答案

4-3 3 10

解析 由题意可得,cos2???θ +π4 ???=1+cos???22θ +π2 ???=110,cos???2θ +π2 ???=-sin 2θ =-45,
即 sin 2θ =45.

因为

cos???θ

+π4

???=

10 10 >0,θ

∈???0,π2

???,

所以 0<θ <π4 ,2θ ∈???0,π2 ???,
3 根据同角三角函数基本关系式,可得 cos 2θ =5,

由两角差的正弦公式,可得

sin???2θ

-π3 ???=sin



cos

π 3

-cos



sin

π 3

4 1 3 3 4-3 3 =5×2-5× 2 = 10 .

4.已知 α 为第二象限角,且 tan α +tanπ12=2tan α tan1π2-2,则 sin???α +56π ???=

.

3 10 答案 - 10

解析 由已知可得 tan???α +1π2???=-2,
∵α 为第二象限角,

∴sin???α

+π12???=2 5 5,cos???α

+π12???=-

5 5,

则 sin???α +5π6 ???=-sin???α -π6 ???

=-sin??????α +1π2???-π4 ???

=cos???α +π12???sinπ4 -sin???α +π12???cosπ4

3 10 =- 10 .

思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特

2

征. (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式 子和三角函数公式之间的共同点.

题型二 三角函数的求值

命题点 1 给角求值与给值求值

典 例 (1)(2018· 太 原 质 检 )[2sin 50° + sin 10°(1 + 3 ·tan 10°)]· 2sin280°



.

答案 6

解析

原式=???2sin

50°+sin

cos 10°·

10°+ 3sin cos 10°

10°???·

2sin

? 80°=??2sin
?

50°+2sin

12cos 10°·

10°+ 23sin cos 10°

10°???· ?

2cos 10°=2 2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]

=2 2sin(50°+10°)=2 2× 23= 6.

(2)已知

cos???π4 +α

???=35,1172π



<74π

sin ,则

2α +2sin2α 1-tan α

的值为



答案 -7258

解析

sin 2α +2sin2α 1-tan α

=2sin

α cos α sin
1-cos

+2sin2α α α

=2sin

α

cos cos

α α

?cos α +sin -sin α

α

?

=sin



1+tan 1-tan

α α

=sin



·tan???π4 +α

???.

由117π2 <α <7π4 得53π <α +π4 <2π ,

又 cos???π4 +α ???=35, 所以 sin???π4 +α ???=-45,tan???π4 +α ???=-43.

cos

α

=cos??????π4 +α

???-π4

???=-

2 10 ,sin

α

72 =- 10 ,

3

sin 2α =275.

所以sin1-2α

+2sin2α tan α

=275×???-43???=-2785.

(3)(2017·合肥联考)已知 α ,β 为锐角,cos α =17,sin(α +β )=5143,则 cos β



.

答案

1 2

解析 ∵α 为锐角,∴sin α =

1-???71???2=4

7

3 .

∵α ,β ∈???0,π2 ???,∴0<α +β <π .
又∵sin(α +β )<sin α ,∴α +β >π2 ,

∴cos(α +β )=-1114.

cos β =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cos α +sin(α +β )sin α

=-1141×17+5143×4 7 3=9489=12.

命题点 2 给值求角

典例 (1)设 α ,β 为钝角,且 sin α = 55,cos β =-3 1010,则 α +β 的值为(

)

A.3π4

B.54π

C.7π4

D.54π 或74π

答案 C

解析 ∵α ,β 为钝角,sin α = 55,cos β =-3 1010,

∴cos α =-2 5 5,sin β = 1100,

∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β = 22>0.

又 α +β ∈(π ,2π ),∴α +β ∈???32π ,2π ???,

4

∴α +β =7π4 .

(2)已知 α ,β ∈(0,π ),且 tan(α -β )=12,tan β =-17,则 2α -β 的值为



答案 -34π

解析 ∵tan α =tan[(α -β )+β ]

=1t-ant?aαn?-α β-?β+?ttaann

β β

12-17 1 =1+12×17=3>0,

∴0<α <π2 .

1

又∵tan



=12-tatnanα2α

2×3 3
=1-???13???2=4>0,

∴0<2α <π2 ,

∴tan(2α

-β

)=1t+anta2nα

-tan 2α tan

β β

31 4+7 = 3 1=1. 1-4×7

1 ∵tan β =-7<0,

∴π2 <β <π ,-π <2α -β <0, ∴2α -β =-34π . 引申探究

本例(1)中,若 α ,β 为锐角,sin α = 55,cos β =3 1010,则 α +β =

.

答案

π 4

解析 ∵α ,β 为锐角,∴cos α =2 5 5,sin β = 1100,

5

∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β

=2 5 5×3 1010- 55× 1100= 22.

又 0<α +β <π ,∴α +β =π4 .

思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”,通过角之间的联系寻找转化方法. (2)给值求角问题:先求角的某一三角函数值,再求角的范围确定角.

跟 踪 训 练 (1) 已 知 α ∈ ???0,π2 ??? , 且 2sin2α - sin α ·cos α - 3cos2α = 0 , 则

sin

sin???α +π4 ???
2α +cos 2α

+1=

.

答案

26 8

解析 ∵α ∈???0,π2 ???,且 2sin2α -sin α ·cos α -3cos2α =0,

则(2sin α -3cos α )·(sin α +cos α )=0,

又∵α ∈???0,π2 ???,sin α +cos α >0,
∴2sin α =3cos α ,又 sin2α +cos2α =1,

∴cos

α=

2 ,sin 13

α=

3, 13

∴sin

sin???α +π4 ???
2α +cos 2α

+1

2

2 ?sin α +cos α ?

2

26

=?sin

α +cos

α ?2+?cos2α -sin2α ?=4cos

= α

8

.

(2)(2017·昆明模拟)计算:cos 130°-sin 1170°=

.

答案 -4

解析

原式=

3sin 170°-cos 10° cos 10°sin 170° =

3sin cos

1100°°s-inco1s0°10°=2sin1?10°-30°?=-4.

2sin 20°

(3)定义运算???ac

bd???=ad-bc.若 cos

α

=17,???csoisn

α α



.

sin cos

β β

???=3143,0<β



<π2

,则 β

6

答案

π 3

解析

由题意有 sin α

cos β

-cos

α

sin

β

=sin(α

-β

33 )= 14 ,又 0<β



<π2 ,∴0<α

-β <π2 ,

故 cos(α -β )=

1-sin2?α

-β

13 ?=14,

1

43

而 cos α =7,∴sin α = 7 ,

于是 sin β =sin[α -(α -β )] =sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β )

=4 7 3×1134-17×3143= 23.

又 0<β <π2 ,故 β =π3 .

题型三 三角恒等变形的应用

典例 (2017·浙江)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-2 3sin xcos x(x∈R). (1)求 f???23π ???的值; (2)求 f(x)的最小正周期及递增区间.

解 (1)由 sin23π = 23,cos23π =-12,得

f???23π ???=??? 23???2-???-12???2-2 3× 23×???-12???=2. (2)由 cos 2x=cos2x-sin2x 与 sin 2x=2sin xcos x,得

f(x)=-cos 2x- 3sin 2x=-2sin???2x+π6 ???.

所以 f(x)的最小正周期是 π .

由正弦函数的性质,得

π 2

+2kπ

≤2x+π6

≤3π2

+2kπ

,k∈Z,

解得π6 +kπ ≤x≤23π +kπ ,k∈Z. 所以 f(x)的递增区间为 ???π6 +kπ ,2π3 +kπ ???(k∈Z).

7

思维升华 三角恒等变形的应用策略

(1)进行三角恒等变形要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式

的逆用和变形使用.

(2)把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ ),可进一步研究函数的周期性、

单调性、最值与对称性.

跟踪训练 (1)函数 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x 的最大值为



(2)函数 f(x)=sin???2x-π4 ???-2 2sin2x 的最小正周期是



答案 (1)1 (2)π

解析 (1)因为 f(x)=sin(x+φ )-2sin φ cos x

=sin xcos φ -cos xsin φ =sin(x-φ ),

又-1≤sin(x-φ )≤1,

所以 f(x)的最大值为 1.

(2)f(x)= 22sin 2x- 22cos 2x- 2(1-cos 2x)

= 22sin 2x+ 22cos 2x- 2

=sin???2x+π4 ???- 2, 所以 T=22π =π .

化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用

典例 (12 分)(2016·天津)已知函数 f(x)=4tan x·sin???π2 -x???·cos???x-π3 ???- 3. (1)求 f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论 f(x)在区间???-π4 ,π4 ???上的单调性. 思想方法指导 (1)讨论形如 y=asin ω x+bcos ω x 型函数的性质,一律化成 y= a2+b2 sin(ω x+φ )型的函数. (2)研究 y=Asin(ω x+φ )型函数的最值、单调性,可将 ω x+φ 视为一个整体,换元后结 合 y=sin x 的图像解决.
规范解答

解 (1)f(x)的定义域为?????x???x≠π2 +kπ ,k∈Z

???.
??

8

f(x)=4tan xcos xcos???x-π3 ???- 3 =4sin xcos???x-π3 ???- 3 =4sin x???12cos x+ 23sin x???- 3 =2sin xcos x+2 3sin2x- 3 =sin 2x+ 3(1-cos 2x)- 3 =sin 2x- 3cos 2x=2sin???2x-π3 ???.[5 分] 所以 f(x)的最小正周期 T=22π =π .[6 分] (2)因为 x∈???-π4 ,π4 ???,所以 2x-π3 ∈???-5π6 ,π6 ???,[8 分] 由 y=sin x 的图像可知,当 2x-π3 ∈???-5π6 ,-π2 ???, 即 x∈???-π4 ,-π12???时,f(x)是减少的; 当 2x-π3 ∈???-π2 ,π6 ???,即 x∈???-π12,π4 ???时,f(x)是增加的.[10 分] 所以当 x∈???-π4 ,π4 ???时,f(x)在区间???-π12,π4 ???上是增加的,在区间???-π4 ,-1π2???上是减少
的. [12 分]

1.(2018·厦门质检)若 sin???π3 -α ???=14,则 cos???π3 +2α ??? 等于(

)

7

117

A.-8 B.-4 C.4 D.8

答案 A

解析 cos???π3 +2α ???=cos???π -???23π -2α ??????

=-cos???23π -2α ???=-???1-2sin2???π3 -α ??????

9

=-???1-2×???14???2???=-78.

2.cos

85°+sin 25°cos cos 25°

30°等于(

)

3

21

A.- 2 B. 2 C.2 D.1

答案 C

sin 5°+ 23sin 25°

解析 原式=

cos 25°

sin?30°-25°?+ 23sin 25° 12cos 25° 1



cos 25°

= cos 25° =2.

3.函数 f(x)=3sinx2cosx2+4cos2x2(x∈R)的最大值等于(

)

A.5 B.92 C.52 D.2 答案 B 解析 由题意知 f(x)=32sin x+4×1+c2os x

=32sin x+2cos x+2≤

94+4+2=92,

故选 B.

4.设 α ∈???0,π2 ???,β ∈???0,π2 ???,且 tan α =1+cossinβ β ,则(

)

A.3α -β =π2

B.2α -β =π2

C.3α +β =π2

D.2α +β =π2

答案 B

解析

由 tan

α

=1+cossinβ β

,得scions

α α

=1+cossinβ β



即 sin α cos β =cos α +cos α sin β ,

∴sin(α -β )=cos α =sin???π2 -α ???.

∵α ∈???0,π2 ???,β ∈???0,π2 ???,

∴α -β ∈???-π2 ,π2 ???,π2 -α ∈???0,π2 ???,

10

由 sin(α -β )=sin???π2 -α ???,得 α -β =π2 -α ,
∴2α -β =π2 .

5.4cos 50°-tan 40°等于( )

A. 2

B.

2+ 2

3

C. 3

D.2 2-1

答案 C

解析

原式=4sin

40°-scions

40° 40°

4cos 40°sin 40°-sin 40°



cos 40°

2sin 80°-sin 40°



cos 40°

=2sin?120°c-os404°0°?-sin 40°

3cos 40°+sin 40°-sin 40°



cos 40°

= c3ocsos404°0°= 3. 6.(2017·豫北名校联考)若函数 f(x)=5cos x+12sin x 在 x=θ 时取得最小值,则 cos θ 等于( ) A.153 B.-153 C.1123 D.-1123

答案 B 解析 f(x)=5cos x+12sin x
=13???153cos x+1123sin x???=13sin(x+α ),
其中 sin α =153,cos α =1123,

由题意知 θ +α =2kπ -π2 (k∈Z),

得 θ =2kπ -π2 -α (k∈Z ),

所以 cos θ =cos???2kπ -π2 -α ???=cos???π2 +α ???
=-sin α =-153.

11

7.(2018 届东莞外国语学校月考)若 cos???π4 -α ???=35,则 sin 2α =

.

答案 -275

解析

由 cos???π4 -α

???=35,可得

2 2 cos

α



2 2 sin

α

3 =5,

1

9

两边平方得2(1+2sin α cos α )=25,

7 ∴sin 2α =-25.

8.已知方程 x2+3ax+3a+1=0(a>1)的两根分别为 tan α ,tan β ,且 α ,β ∈???-π2 ,π2 ???,

则 α +β =

.

答案 -34π

解析

依题意有???tan ??tan

α α

+tan ·tan

β β

=-3a, =3a+1,

∴tan(α

+β

)=1-tatnanα

+tan β α ·tan

β

-3a =1-?3a+1?=1.

又???tan α +tan β <0, ??tan α ·tan β >0,
∴tan α <0 且 tan β <0, ∴-π2 <α <0 且-π2 <β <0,

即-π <α +β <0,结合 tan(α +β )=1, 得 α +β =-34π .

9.已知 cos4α -sin4α =23,且 α ∈???0,π2 ???,则 cos???2α +π3 ???=

.

答案

2- 15 6

解析 ∵cos4α -sin4α =(sin2α +cos2α )(cos2α -sin2α )

=cos 2α =23,又 α ∈???0,π2 ???,∴2α ∈(0,π ),

∴sin 2α = 1-cos22α = 35,

∴cos???2α +π3 ???=12cos 2α - 23sin 2α

12

1 2 3 5 2- 15 =2×3- 2 × 3 = 6 .

10.函数 f(x)= 3sin 23x-2sin213x???π2 ≤x≤34π ???的最小值是



答案 3-1

解析 f(x)= 3sin 23x-???1-cos 23x???

=2sin???23x+π6 ???-1,

又π2 ≤x≤34π ,∴π2 ≤23x+π6 ≤23π ,

∴f(x)min=2sin

2 3π

-1=

3-1.

11.(2018·邯郸模拟)已知

tan

α

1 =-3,cos

β



5 5 ,α

∈???π2 ,π ???,β

∈???0,π2 ???,求

tan(α +β )的值,并求出 α +β 的值.



由 cos

β



5 5 ,β

∈???0,π2 ???,

得 sin β =2 5 5,tan β =2.

∴tan(α

+β

)=1t-antaαn

+tan α tan

β β

-13+2 = 1+32 =1.

∵α ∈???π2 ,π ???,β ∈???0,π2 ???,
∴π2 <α +β <32π ,∴α +β =54π . 12.已知函数 f(x)=cos2x+sin xcos x,x∈R.

(1)求 f???π6 ???的值;

(2)若 sin

α

3 =5,且 α

∈???π2 ,π

???,求 f???α2 +2π4???.

解 (1)f???π6 ???=cos2π6 +sinπ6 cosπ6

=??? 23???2+12× 23=3+4 3. (2)因为 f(x)=cos2x+sin xcos x=1+c2os 2x+12sin 2x

13

11 =2+2(sin

2x+cos

2x)=12+

22sin???2x+π4 ???,

所以 f???α2 +π24???=12+ 22sin???α +π12+π4 ???

=12+

22sin???α

+π3 ???=12+

22???12sin

α



3 2 cos

α

???.

又因为 sin

α

3 =5,且 α

∈???π2 ,π

???,

4 所以 cos α =-5,

所以 f???α2 +π24???=12+ 22???12×35- 23×45???

=10+3

2-4 20

6.

13 . (2017· 南昌 一中 月考 ) 已知

α

∈???π4 ,34π ??? ,β

∈???0,π4 ??? ,且

cos???π4 -α

???



3 5



sin???54π +β ???=-1132,则 cos(α +β )=

.

33 答案 -65

解析 ∵α ∈???π4 ,34π ???,π4 -α ∈???-π2 ,0???,

cos???π4 -α ???=35,∴sin???π4 -α ???=-45, ∵sin???54π +β ???=-1123,

∴sin???π4 +β ???=1123,

又∵β ∈???0,π4 ???,π4 +β ∈???π4 ,π2 ???,

∴cos???π4 +β ???=153,

∴cos(α +β )=cos??????π4 +β ???-???π4 -α ??????
=35×153-45×1132=-3635.

14.在斜△ABC 中,sin A=- 2cos Bcos C,且 tan B·tan C=1- 2,则角 A 的值为



14

答案

π 4

解析 由已知 sin(B+C)=- 2cos Bcos C,

∴sin Bcos C+cos Bsin C=- 2cos Bcos C,

∴tan B+tan C=- 2,

又 tan B·tan C=1- 2,

∴tan(B+C)=1t-antaBn+Bttaann

C C=-1,

∴tan A=1,又 0<A<π ,∴A=π4 .

15

15.(2017·武汉模拟)在△ABC 中,A,B,C 是△ABC 的内角,设函数 f(A)=2sinB+2 Csin???π -A2???

+sin2???π +A2???-cos2A2,则 f(A)的最大值为



答案 2 解析 f(A)=2cosA2sinA2+sin2A2-cos2A2

=sin A-cos A= 2sin???A-π4 ???, 因为 0<A<π ,所以-π4 <A-π4 <34π .

所以当 A-π4 =π2 ,即 A=34π 时,f(A)有最大值 2. 16.(2018·泉州模拟)已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(-3, 3). (1)求 sin 2α -tan α 的值; (2)若函数 f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α ,求函数 g(x)= 3f???π2 -2x???-2f2(x) 在区间???0,23π ???上的值域. 解 (1)∵角 α 的终边经过点 P(-3, 3),

∴sin α =12,cos α =- 23,tan α =- 33.

∴sin 2α -tan α =2sin α cos α -tan α =- 23+ 33=- 63. (2)∵f(x)=cos(x-α )cos α -sin(x-α )sin α =cos x,x∈R,
∴g(x)= 3cos???π2 -2x???-2cos2x = 3sin 2x-1-cos 2x=2sin???2x-π6 ???-1, ∵0≤x≤23π ,∴-π6 ≤2x-π6 ≤76π .

∴-12≤sin???2x-π6 ???≤1, ∴-2≤2sin???2x-π6 ???-1≤1,

16

故函数 g(x)= 3f???π2 -2x???-2f2(x)在区间???0,2π3 ???上的值域是[-2,1].
17


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