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执信中学2011-2012学年高一上学期期末考试(数学)


执 信 中 学 2011-2012 学 年 高 一 上 学 期 期 末 考 试 试题(数学)
第一部分选择题(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域是( ) A. (??, ?1) B. (-?, -1] C. (?1, ?) ? D. [?1, ??)

2. 点 A(1,2,3)关于 xOy 平面对称的点 B 坐标是( ) A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (1,2,-3) D. (-1,-2,3) 3. 设 f ? x ? ? 3 ? 3 x ? 8 , 用 二 分 法 求 方 程 3 ? 3 x ? 8 ? 0在x ? ?1,2 ? 内 近 似 解 的 过 程 中 得
x x

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0, 则方程的根落在区间( )
A. (1,1.25) B. (1.25,1.5) C. (1.5, 2) D.不能确定

4.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形 ②平行四边形的直观图是平行四边形 ③正方形的直观图是正方形 ④菱形的直观图是菱形 以上结论,正确的是( ) A.①② B. ① C.③④ D. ①②③④ 5.设函数 f ( x) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A. f ( x) + | g ( x) | 偶函数 C.| f ( x) | + g ( x) 是偶函数 B. f ( x) - | g ( x) | 是奇函数 D. | f ( x) |- g ( x) 是奇函数

6.棱长为 2 的正方体的外接球的表面积为( ) A. 4? B. 12? C. 24? D. 48? 7.在下列命题中, 错误的是( ) A.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合 B.如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行 C.如果两条直线都与第三条直线垂直,那么这两条直线垂直 D.如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行 8. 直线 l 经过抛物线 y ? x ? 3 x +1 与 y 轴的交点,且与直线 x ? 2 y ? 0 平行,则直线 l 的
2

方程是( ) A. 2 x-y ? 2 ? 0 B. 2 x-y ? 2 ? 0 C. x +2 y ? 2 ? 0 D. x +2 y ? 2 ? 0

1

9.在 30?的二面角 ? ? l ? ? 中,P∈?,PQ⊥?, 垂足为 Q,PQ=2,则点 Q 到平面 ? 的 距离 QH 为( ) A. 3 B. 2 3

C.1

D.

2 3 3

10. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y ( m 2 )与时间 t (月)的关系: y ? a t ,有以下 叙述: ① 这个指数函数的底数是 2; ② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 恰好经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积都相等;其中正确的是 ( ) A.①② C . ②③④ D . ①②③④ 第二部分非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.函数 y ? x 3 ( x ? [8, ??)) 的值域是____________. 12 . 直 线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 圆 x ? y ? r 相 交 于 A 、 B 两 点 , 且
2 2 2

y/m2 8

4 2 1 0 12 3

B . ①②③

t/月

1

1

8 5 ,则半径 r ? ______ ?AB ?? 5
13.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图 如右图所示,则其侧面积等于____________. ...

2

14 . 两 圆 C 1: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 , C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 10 y ? 13 ? 0 的 公 切 线 有 ____________条. 15.已知两条直线 l1 : ax ? 8 y ? b ? 0 和 l2 : 2 x ? ay ? 1 ? 0 ( b ? 0 ) 若 l1 ? l2 且直线 l1 在 y 轴上的截距为 1,则 a ? ________, b =________. 16.已知动圆 C: x 2 ? y 2 ? 2tx ? (6t ? 2) y ? t 4 ? 8t 2 ? 6t ? 0 (t ? R ) ,则圆心 C 的轨迹方程是 ____________.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1中,AD ? AA1 ? 1 , AB ? 2 , 点

D1

C1 B1

A1
E在棱AB上 .
(1)若点 E 是棱 AB 的中点,求 A1 D与CE 所成的角; (2)当点 E 在棱 AB 上移动时, 求三棱锥 E -A1 D1 D 的体积的最大值.

D A E B

C

18. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l 经过点 D(?2,0) ,且斜率为 k . (1)求以线段 CD 为直径的圆 E 的方程; (2)若直线 l 与圆 C 相离,求 k 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)

? 1 x ? 0, ?1 ? , 已知 a ? R, 函数 f ? x ? ? ? x ?? a ? 1? x ? 1, x ? 0. ?
(1) 求 f ?1? 的值; (2) 证明: 函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增; (3) 求函数 f ? x ? 的零点.

20. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P -ABCD 的底面是矩形, 侧面 PAD 是正三角形, 且侧面 PAD⊥底面 ABCD, 为 E 侧棱 PD 的中点. (1)求证:PB//平面 EAC; (2)求证:AE⊥平面 PCD; (3)若直线 AC 与平面 PCD 所成的角为 45 ? ,求

AD . CD

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 M : x ? ( y ? 2) ? 1 , Q 是 x 轴上的动点, QA 、
2 2

3

QB 分别切圆 M 于 A, B 两点
(1)若点 Q 的坐标为(1,0) ,求切线 QA 、 QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 的面积的最小值; (3)若 |AB| ?
4 2 ,求直线 MQ 的方程. 3

22. (本小题满分 10 分)设函数 f ( x) ? ax 2 ? 8 x ? 3 ,对于给定的负数 a,有一个最大的正数 M (a ) ,使得 x ? [0, M (a ) ]时,不等式| f ( x) | ? 5 恒成立. (1)求 M (a ) 关于 a 的表达式; (2)求 M (a ) 的最大值及相应的 a 的值.

4

试题答案

三棱锥 E -A1 D1 D 的体积的最大值为

1 .-----10 分 3

18、 (1)将圆 C 的方程 x 2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 , 则此圆的圆心为 C(0 , 4) ,半径为 2. ----2 分 所以 CD 的中点 E (?1, 2) , | CD |? 22 ? 42 ? 2 5 ,------4 分

? r ? 5 ,所以圆 E 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ;------6 分 (2) 直线 l 的方程为: y ? 0 ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 0 ----8 分 | 0 ? 4 ? 2k | ? 2 . ------10 分 若直线 l 与圆 C 相离,则有圆心 C 到直线 l 的距离 k2 ?1 3 解得 k ? . ------12 分 4
19、(1)解: 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ?

1 1 , ∴ f ?1? ? 1 ? ? 0 .……2 分 x 1

(2)证明:在 ? 0, ?? ? 上任取两个实数 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,……3 分 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 1 ?

? ?

1? ? 1? 1 1 x ?x ? 1 2. ? ? ?1 ? ? ? ? x1 ? ? x2 ? x2 x1 x1 x2

……5 分

∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴

∴ x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 .

x1 ? x2 ? 0 , 即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 . ∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? . x1 x2
……7 分

∴函数 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增.

5

(3) (ⅰ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 1 ? ∴ x ? 1 是函数 f ? x ? 的一个零点.

1 ? 0 , 解得 x ? 1 ? 0 . x
……8 分

(ⅱ)当 x ? 0 时, 令 f ? x ? ? 0 , 即 ? a ? 1? x ? 1 ? 0 .(※) ① 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ∴x ?

1 ? 0, 1? a

1 是函数 f ? x ? 的一个零点; 1? a ② 当 a ? 1 时, 方程(※)无解; 1 ③ 当 a ? 1 时, 由(※)得 x ? ? 0 ,(不合题意,舍去). 1? a 1 综上, 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 和 ; 1? a 当 a ? 1 时, 函数 f ? x ? 的零点是 1 . ------12 分
20、解: (1)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB …………2 分

……11 分

E 0 ? 平面EAC , PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC.………4 分
(2)法一:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? CD ? AE ………6 分 AE ? 面PAD ? 面ABCD ? 面PAD ? ? 正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD ,……………8 分 又 PD ? CD ? D ,所以,AE⊥平面 PCD.…………………………10 分
法二:

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD=AD ? ? ? 面PDC ? 面PAD ………6 分 CD ? 面PDC ? 面ABCD ? 面PAD ? ? 正三角形 PAD 中,E 为 PD 的中点,所以, AE ? PD ,……………8 分
又 面PDC ? 面PAD ? PD ,所以,AE⊥平面 PCD.…………………………10 分 (3)由(2)AE⊥平面 PCD,直线 AC 与平面 PCD 所成的角为∠ACE…………11 分

? Rt ? ACE中,?ACE ? 45?, AC ? 2 AE ,又 正?PAD中,AE ?

3 AD , 2

? AC ?

6 6 AD ,又矩形 ABCD中,AC ? AD 2 ? CD 2 ? AD , 2 2

6

解得 CD ?

2 AD AD, ? ? 2 2 CD

…………14 分

21、 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x ? my ? 1 ,------1 分 则圆心 M 到切线的距离为 1,?

| 2m ? 1 |
2

4 ? 1 ? m ? ? 或 0,------3 分 3 m ?1

? 切线 QA 、 QB 的方程分别为 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 和 x ? 1 ------5 分
(2)? MA ? AQ ,
? S MAQB ? |MA|?|QA| ? |QA| ? |MQ|2 ?|MA|2 ? |MQ|2 ? 1 ? |MO|2 ? 1 ? 3 ------8 分

(3)设 AB 与 MQ 交于点 P ,则 MP ? AB, MB ? BQ
2 2 2 1 ) ? ,在 Rt?MBQ 中, |MB|2 ? |MP|?|MQ| ,解得 |MQ|=3 3 3

|MP| ? 1 ? (

设 Q (x,0) ,则 x 2 ? 2 2 ? 9, x ? ? 5 ,? Q (? 5 ,0)

? 直线 MQ 的方程为 2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0 或 2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0 ------12 分
22、 (1)由 a<0, f ( x) ? a( x ? ) 2 ? 3 ? 当 ?3 ?
4 a 16 16 , x ? R时,f ( x) max ? ?3 ? ---- 1 分 a a

16 >5, ?2 ? a ? 0 时, 即 要使| f ( x) | ? 5, x ? [0,M (a ) ]上恒成立, 在 要使得 M (a ) a

最大, M (a ) 只能是 ax 2 ? 8 x ? 3 ? 5 的较小的根,即 M (a ) = 当 ?3 ? 最
16 a

2 2a ? 4 ? 4 ; a

? 5,即 a ? ?2 时,要使| f ( x) | ? 5,在 x ? [0, M (a ) ]上恒成立,要使得 M (a )
大 ,

M (a )



7

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