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广东省广州六中2012-2013学年高二上学期期末考试数学(文)试卷


广州六中 2012-2013 学年高二上学期期末考试试题(数学文)
第一部分 选择题 (共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U ? R , M ? {x ?2 ? x ? 2}, N ? {x x ? 1} ,那么 M ? CU N ? ( A. x 1 ? x ? 2 )

?

?

B. x 1 ? x ? 2

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. x 1 ? x ? 2

?

?

2.满足“对定义域内任意实数 x , y ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ”的函数可以是( ) A.f ( x) ? x
2

B.f ? x ? ? eln x

C.f ( x) ? log2 x

D.f ( x) ? 2 )

x

3.某四棱锥的三视图如图所示, 该四棱锥的表面积是( A. 16 2 B. 16 ? 16 2 C. 32 2

D. 16 ? 32 2

4. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是( ) A. 63 B.31 C.27 D.15 5.使“ lg m ? 1 ”成立的一个充分不必要条件是 ( A. m ? (0,??) C. m ? ? 0,10 ? B. m ? ? ??,10 ? D. m ? ?1, 2? )

开始

S ?0
i ?1


6. 已知等差数列 ?an ?中 a2 ? 6, a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列

?bn ?的前 5 项和等于(
A. 186

) C. 45

S ? 50


7.平面向量 a 、 b 的夹角为 60? , a ? ? 2,0 ? , b ? 1 , 则

?

B. 90

?

?

?

D. 30
输出 i

? ? a ? 2b ? (
A. 2 3

S ? S 2 ?1


结束

i ? 2i ? 1

B. 3

C.

3 2

D. 2

x2 y 2 8 . 已 知 F (?1,0), F2 (1,0) 为 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 两 个 焦 点 , 若 椭 圆 上 一 点 P 满 足 1 a b ???? ???? ? PF1 ? PF2 ? 4 ,则椭圆的离心率 e ? ( )

A.

3 2

B. 3

C.

1 2

D. 2

-1-

9.已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3 cos( A. f ( x ) 的图象关于直线 x ? B. f ( x ) 的图象关于点 ( C. f ( x ) 在区间 [ ? D. f ( x ) 在区间 [

3? ? 2 x) ?1 ,下列命题中不正确的是( ... 2

)

?
6

对称

? ?

5? , 0) 成中心对称 12

, ] 上的最大值是 1 ,最小值是 0 12 3 1 2 叫做 ? x ? x 的上确 4

? ?

, ] 上单调递增 3 6

10. 若对于使 ? x ? x ? M 成立的所有常数 M 中, 我们把 M 的最小值
2

界,若 a, b ? R? , 且a ? b ? 1 ,则 ? A. ?

9 2

B. ?5

1 2 ? 的上确界是( 2a b 9 C. D. 5 2

)

第二部分
2

非选择题 (共 100 分)
.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. 命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是:

12. 已 知 圆 C 的 圆 心 为 (0,-1) , 直 线 3 x ? 4 y ? 11 ? 0 与 圆 C 相 交 于 A,B 两 点 , 且

AB ? 6 ,则圆 C 的方程为

.
频率 组距 0.38 0.32

13. 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒 之间,将测试结果分成五组:每一组 ?13,14) ;第二组 ?14,15) ,…, 第五组 ?17,18? .右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图 若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,则该班在这次百 米测试中成绩良好的人数是 .

0.16

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



14. 已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不

19题 图

等实数 x1 、 x2 ,不等式 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集 为 .
[来源:Z|xx|k.Com

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知 cos A ? (1)求 sin
2

3 , 5

A ? cos( ? C 的值; B ) 2

(2)若 ?ABC 的面积为 4 , AB ? 2 ,求 BC 的长。

16. (本小题满分 12 分) 某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件,在单位时间 内每个技工加工零件若干,其中合格零件的个数如下表: 1号 2号 3号 4号 5号 4 5 7 9 10 甲组 5 6 7 8 9 乙组 (1)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差,并由此比较两组 技工的技术水平; (2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工,对其加工的零件进行检测,若两 人完成合格零件个数之和超过 12 件,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.

17. (本小题满分 14 分)在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAC 和

P

?PBC 都是边长为 2 的等边三角形, AB ? 2 , O、D 分别
是 AB、PB 的中点. (1)求证: OD / / 平面 PAC ; (2)求证:平面 PAB ⊥平面 ABC ; (3)求三棱锥 A ? PBC 的体积.

D A O B C

18.(本小题满分 14 分)己知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , A1、A2 是椭圆 2 a b 2

的左右顶点, B1、B2 是椭圆的上下顶点,四边形 A1 B1 A2 B2 的面积为 16 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)圆 M 过 A1、B1 两点.当圆心 M 与原点 O 的距离最小时,求圆 M 的方程.

-3-

19. (本小题满分 14 分)已知曲线 C : xy ? 4 x ? 4 ? 0 ,数列 ?an ? 的首项 a1 ? 4 ,且 当 n ? 2 时,点 (a n ?1 , a n ) 恒在曲线 C 上,数列{ bn }满足 bn ? (1)试判断数列 ?bn ? 是否是等差数列?并说明理由; (2)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式;
2 (3)设数列 ?cn ? 满足 anbn cn ? 1 ,试比较数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn 与 2 的大小.

1 2 ? an

20 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 f ( x ) ? lg

2x 且 f (1) ? 0 , 当 x ? 0 时 , 恒 有 ax ? b

1 f ( x) ? f ( ) ? lg x x
(1)求 f (x) 的解析式; (2)若 f ( x) ? lg ? x ? m? 的解集为空集,求 m 的范围。

广州六中 2012-2013 学年高二上学期期末考试试题(数学文)答 案
一、选择题: D C B A D B A C B A 二、填空题: 11. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ;
2

12. x ? ( y ? 1) ? 18 ;
2 2

13. 27 ; 14. ? ??,0?
]

三、解答题: 15.(本小题满分 12 分)

-4-

A 1 ? cos A 1 ? cos A ? cos( B ? C ) ? ? cos(? ? A) ? ? cos A 2 2 2 3 1? 5?3? 4 ????6 分 ? 2 5 5 1 (2)在 ?ABC 中,由 S?ABC ? 4 ,得 bc sin A? 4, 2 3 4 ∵ cos A ? 且 0 ? A ? ? ? sin A ? ? bc ? 10 , ????8 分 5 5
解: (1)? sin
2

∵ c ? AB ? 2,?b ? 5 ,根据余弦定理得

3 BC 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 52 ? 22 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? 17 5

? BC ? 17

????12 分

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)依题意, x甲 ?

1 (4 ? 5 ? 7 ? 9 ? 10) ? 7 5

1 ???????????? 2 分 x乙 ? (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9) ? 7 5 1 26 2 ??? 3 分 s甲 ? [(4 ? 7) 2 ? (5 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ? (10 ? 7) 2 ] ? ? 5.2 5 5

1 2 s乙 ? [(5 ? 7) 2 ? (6 ? 7) 2 ? (7 ? 7) 2 ? (8 ? 7) 2 ? (9 ? 7) 2 ] ? 2 5

????? 4 分

2 2 因为 x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 所以,两组技工的总体水平相同,甲组技工的技术水平差异比乙组大 ????? 6 分 (2)记该车间“质量合格”为事件 A,则从甲、乙两组中各抽取 1 名技工完成合格零件个数的 基本事件为: (4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9)(5,5)(5,6)(5,7)(5,8) , , , , , , , , , (5,9)(7,5)(7,6)(7,7)(7,8)(7,9)(9,5)(9,6)(9,7)(9,8) , , , , , , , , , , (9,9)(10,5)(10,6)(10,7)(10,8)(10,9)共 25 种 ???? 8 分 , , , , ,

事件 A 包含的基本事件为: (4,9)(5,8)(5,9)(7,6)(7,7)(7,8)(7,9) , , , , , , , (9,5)(9,6)(9,7)(9,8)(9,9)(10,5)(10,6)(10,7)(10,8) , , , , , , , , , (10,9)共 17 种 ???????????? 10 分 所以 P ( A) ?

17 25
17 25

???????????? 11 分 ???????????? 12 分

答:该车间“质量合格”的概率为 17.(本小题满分 14 分)

解: (1)? O, D 分别为 AB, PB 的中点,? OD / / PA 又 PA ? 平 面 PAC , OD ? 平 面 PAC

???????2 分

? OD / / 平 面

PAC

???????4 分

(2)连结 OC , OP ? AC ? CB ?

2 , AB ? 2 ,??ACB ? 90?

-5-

又 O 为 AB 的中点,?OC ? AB, OC ? 1 , 同理, ? PO ? AB, PO ? 1
2 2

???6 分
2 ?

又 PC ? 2 ,? PC ? OC ? PO ? 2 ,??POC ? 90 ? PO ? OC , 又 PO ? AB, AB ? OC ? O ,? PO ? 平面 ABC . ∵ PO ? 平面 PAB

? 平面 PAB ⊥平面 ABC

????9 分

(3) 由(2)可知 PO 垂直平面 ABC ? PO 为三棱锥 P ? ABC 的高,且 PO ? 1 。 三棱锥 A ? PBC 的体积为:VA? PBC ? VP ? ABC ? 分 18.(本小题满分 14 分) 解: (1)依题意有: e ?

1 1 ?1 1 ? S?ABC ? PO ? ? ? ? 2 ?1? ?1 ? 3 3 ?2 3 ?

??14

c 2 ? ? a ? 2b ① a 2 四边形 A1 B1 A2 B2 是以椭圆 C 的四顶点为顶点的菱形 1 可得: ? 2a ? 2b ? 16 2 即 ab ? 8 2 ② 2
由①、②解得: a ? 4, b ? 2 2

????2 分

????4 分 ????6 分

x2 y 2 ? ?1 所以椭圆 C 的方程为: 16 8

(2)依题意得 A (?4,0), B1 (0,2 2) 1 可得 A1B1 的垂直平分线 L 的方程为: 2x ? y ? 2 ? 0 ③ ????8 分 圆心 M 在 L 上,当圆心 M 与原点 O 的距离最小时, OM ? L 可得 OM 的方程为 y ? 联立③、④得 x ? ?

2 x 2



????10 分

2 2 2 2 ,y?? ,即 M (? , ? ????12 分 ) 3 3 3 3 2 2 34 2 2 2 由此可得 r ? MA1 ? (? ? 4) ? (? , ? 0)2 ? 3 3 3 2 2 2 2 34 所以圆 M 的方程为: ( x ? ) ? ( y ? ????14 分 ) ? 3 3 3
19. (本小题满分 14 分) 解;(1)∵当 n ? 2 时,点 (a n ?1 , a n ) 恒在曲线 C 上

? an?1an ? 4an?1 ? 4 ? 0 ? an?1an ? 4an?1 ? 4
由 bn ?

???????1 分

1 得 2 ? an

-6-

当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ?

an ? an ?1 1 1 ? ? 4?2an ?1 ?2an ?anan ?1 2 ? an 2 ? an ?1 a ? an ?1 1 a n ? a n ?1 ? n ? ? ??5 分 4?2an ?1 ?2an ?4an ?1 ?4 ?2an ? 2an ?1 2
1 的等差数列. 2
??????6 分

?
∴数列{ bn }是公差为 ? (2)? a1 ? 4,? b1 ?

1 1 ?? 2 ? a1 2
?????? 8 分

1 1 1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ? (? ) ? ? n 2 2 2
由 bn ?

1 1 2 ? 2? 得 an ? 2 ? 2 ? an bn n

??????10 分

2 (3)? an bn cn ? 1

? Cn ?

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) 2 anbn n(n ? 1) n n ?1

??????12 分

1 1 1 1 1 1 )?2 ? S n ? C1 ? C2 ? ? ? Cn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 ) ] ? 2(1 ? n ?1 2 2 3 n n ?1
???????14 分 20.(本小题满分 14 分) 解:当 x ? 0 时, f ( x) ? f ( ) ? lg x 恒成立,得 lg

1 x

2x ? lg ? lg x , 1 ax ? b a? ?b x

2?

1 x

2x 2x ? lg ,????1 分 ax ? b a ? bx ∴ax+b=a+bx 对任意 x ? 0 恒成立,????2 分
∴ lg ∴a=b ????3 分 又 f(1)=0 即 lg ∴ f ( x ) ? lg

2 ? 0 ,∴a=b=1,????4 分 a?b

2x ????5 分 x ?1 2x ? lg( m ? x) ????6 分 (2)方程 lg x ?1

? 2x ? x ?1 ? 0 或 x?0 ? x ? ?1 ? 由? 得? 2 ????8 分 2x x ? (m ? 1) x ? m ? 0 (1) ? ? x?m ? ? x ?1 ?
原方程的解为空集有两种情况 (1°)方程(1)无实根, ? ? 0 即 (m ?1) ? 4m ? 0 解得 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 ··10 分 ·
2

-7-

(2°)方程(1)有实根,但两实根都在区间[-1,0]内, 令 g ( x) ? x 2 ? (m ?1) x ? m

? g (?1) ? 0 ? g ( 0) ? 0 ?m ? 0 ? ? ? ?m ? 3 ? 2 2或m ? 3 ? 2 2 ?? ? 0 则? 得? 1? m ? 3 ?? 1 ? 1 ? m ? 0 ? ? 2 ?

无解????13 分

综上:当 m ? (3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ) 时,方程无解。????14 分

-8-


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