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人教版高中数学《排列组合和概率》全部教案


两个基本原理
一、教学目标 1、知识传授目标:正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2、能力培养目标:能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3、思想教育目标:发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力 二、教材分析 1.重点:加法原理,乘法原理。 三、活动设计 1.活动:思考,讨论,对比,练习. 2.教具:多媒体课件. 四、教学过程正 1.新课导入 随着社会发展,先进技术,使得各种问题解决方法多样化,高标准严要求,使得商品生产工 序复杂化,解决一件事常常有多种方法完成,或几个过程才能完成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题,而排列、组合的基础就是基本原理,用好基本原 理是排列组合的关键. 2.新课 我们先看下面两个问题. (l)从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有 4 班,汽车有 2 班,轮船有 3 班,问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 板书:图 因为一天中乘火车有 4 种走法,乘汽车有 2 种走法,乘轮船有 3 种走法,每一种走法都可以 从甲地到达乙地,因此,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4 十 2 十 3=9 种不同的走 法. 一般地,有如下原理: 加法原理:做一件事,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第 二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共 有 N=m1 十 m2 十?十 mn 种不同的方法. (2) 我们再看下面的问题: 由 A 村去 B 村的道路有 3 条,由 B 村去 C 村的道路有 2 条.从 A 村经 B 村去 C 村,共有多 少种不同的走法? 板书:图 这里,从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法,按这 3 种走法中的每一种走法到达 B 村后,再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法.因此,从 A 村经 B 村去 C 村共有 3X2=6 种不同的走法. 一般地,有如下原理: 乘法原理:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步 有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1 m2?mn 种 不同的方法. 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书,下层放有 5 本不同的语文书. 1)从中任取一本,有多少种不同的取法? 解决方法:利用简单的举例得到一般的结论. 2.难点:加法原理,乘法原理的区分。解决方法:运用对比的方法比较它们的异同.

2)从中任取数学书与语文书各一本,有多少的取法? 解: (1)从书架上任取一本书,有两类办法:第一类办法是从上层取数学书,可以从 6 本书中任 取一本, 有 6 种方法; 第二类办法是从下层取语文书, 可以从 5 本书中任取一本, 有 5 种方法. 根 据加法原理,得到不同的取法的种数是 6 十 5=11. 答:从书架 L 任取一本书,有 11 种不同的取法. (2)从书架上任取数学书与语文书各一本,可以分成两个步骤完成:第一步取一本数学书, 有 6 种方法;第二步取一本语文书,有 5 种方法.根据乘法原理,得到不同的取法的种数是 N =6X5=30. 答:从书架上取数学书与语文书各一本,有 30 种不同的方法. 练习: 一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币 2)从中任取明清古币各一枚,有多少种不同取法?

1)从中任取一枚,有多少种不同取法?

例 2(1)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字允许重复三位数? (2)由数字 l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位数? (3)由数字 0,l,2,3,4,5 可以组成多少个数字不允许重复三位数? 解:要组成一个三位数可以分成三个步骤完成:第一步确定百位上的数字,从 5 个数字中任 选一个数字,共有 5 种选法;第二步确定十位上的数字,由于数字允许重复, 这仍有 5 种选法,第三步确定个位上的数字,同理,它也有 5 种选法.根据乘法原理,得到可以 组成的三位数的个数是 N=5X5X5=125. 答:可以组成 125 个三位数. 练习: 1、从甲地到乙地有 2 条陆路可走,从乙地到丙地有 3 条陆路可走,又从甲地不经过乙地到丙地 有 2 条水路可走. (1)从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法? (2)从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 2.一名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1、2、?、19、20 的红卡片, 从中任抽一张,把上面的数作为被加数;在另一个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1、2、?、9、 1O 的黄卡片,从中任抽一张,把上面的数作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子? 3.题 2 的变形 4.由 0-9 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 小结:要解决某个此类问题,首先要判断是分类,还是分步?分类时用加法,分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步,以后会进一步学习 练习 1. (口答)一件工作可以用两种方法完成.有 5 人会用第一种方法完成,另有 4 人会用第二种 方法完成.选出一个人来完成这件工作,共有多少种选法? 2.在读书活动中,一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书里任选一本,共有多 少种不同的选法? 3.乘积(a1+a2+a3) (b1+b2+b3+b4) (c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项? 4.从甲地到乙地有 2 条路可通,从乙地到丙地有 3 条路可通;从甲地到丁地有 4 条路可通,从 丁地到丙地有 2 条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法? 5.一个口袋内装有 5 个小球,另一个口袋内装有 4 个小球,所有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?

(2)从两个口袋内各取一个小球,有多少种不同的取法? 作业: (略)

排列 【复习基本原理】
1.加法原理 做一件事,完成它可以有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二 办法中有 m2 种不同的方法??,第 n 办法中有 mn 种不同的方法,那么完成 这件事共有 N=m1+m2+m3+?mn 种不同的方法. 2.乘法原理 做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一 步有 m1 种不同的方法,做第 二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,.那么完成这 件事共有 N=m1?m2?m3???mn 种不同的方法. 3.两个原理的区别: 【练习 1】 1.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线,需要准备多少种不同的机票?

2.由数字 1、2、3 可以组成多少个无重复数字的二位数?请一一列出.

【基本概念】 1. 什么叫排列?从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同) 按照一定的顺序 排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ..... .... 2. 什么叫不同的排列?元素和顺序至少有一个不同. 3. 什么叫相同的排列?元素和顺序都相同的排列. 4. 什么叫一个排列? 【例题与练习】 1. 由数字 1、2、3、4 可以组成多少个无重复数字的三位数?

2.已知 a、b、c、d 四个元素,①写出每次取出 3 个元素的所有排列;②写出每次取出 4 个 元素的所有排列.

【排列数】 1. 定义:从 n 个不同元素中,任取 m( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中
m 取出 m 元素的排列数,用符号 p n 表示.

用符号表示上述各题中的排列数.
m 2. 排列数公式: p n =n(n-1)(n-2)?(n-m+1) 1 pn ? 4 pn ? 2 计算: p5 = 2 ; pn ? 3 ; pn ?




4 ; p5 = 2 ; p15 =



【课后检测】 1. 写出: ① 从五个元素 a、b、c、d、e 中任意取出两个、三个元素的所有排列; ② 由 1、2、3、4 组成的无重复数字的所有 3 位数. ③ 由 0、1、2、3 组成的无重复数字的所有 3 位数.

2. 计算: ① p
3 100

② p

3 6

③ p ? 2p
4 8

2 8

8 p12 ④ 7 p12

排 列
课题:排列的简单应用(1) 目的:进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式,会用排列数公式计算和 解决简单的实际问题. 过程: 一、复习: (引导学生对上节课所学知识进行复习整理) 1.排列的定义,理解排列定义需要注意的几点问题; 2.排列数的定义,排列数的计算公式
m m ? An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) 或 An

n! (其中 m≤n m,n?Z) (n ? m)!

3.全排列、阶乘的意义;规定 0!=1

4. “分类” 、 “分步”思想在排列问题中的应用. 二、新授: 例 1:⑴ 7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
7 解:问题可以看作:7 个元素的全排列—— A7 =5040

⑵ 7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040 ⑶ 7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
6 解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A6 =720

⑷ 7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种?
2 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A2 种;第二步 余下的 5 名

5 同学进行全排列有 A5 种

5 则共有 A2 A5 =240 种排列方法

2

⑸ 7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法一(直接法) :第一步 从(除去甲、乙)其余的 5 位同学中选 2 位同学站在
2 排头和排尾有 A5 种方法; 第二步 从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列 (全排 5 2 5 列)有 A5 种方法 所以一共有 A5 =2400 种排列方法. A5 6 6 解法二: (排除法)若甲站在排头有 A6 种方法;若乙站在排尾有 A6 种方法;若 5 甲站在排头且乙站在排尾则有 A5 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在 7 6 5 排尾的排法共有 A7 - 2 A6 + A5 =2400 种.

小结一:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法” ,对某些特 殊元素可以优先考虑. 例 2 : 7 位同学站成一排. ⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一
6 起进行全排列有 A6 种方法; 再将甲、 乙两个同学 “松绑” 进行排列有 A2 种方法. 所 6 以这样的排法一共有 A6 A2 =1440 种.
2 2

⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
5 3 解:方法同上,一共有 A5 =720 种. A3

⑶甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为 丙不能站在排头和排尾, 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排
2 尾,有 A5 种方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法;最后将甲、乙两个
4

2 4 2 2 同学“松绑”进行排列有 A2 种方法.所以这样的排法一共有 A5 =960 种 A4 A2

方法.
解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,
5 若丙站在排头或排 尾有 2 A5 种方法 ,所以丙不能站在排头和排尾的排法 有 6 5 2 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 ? 960种方法.

解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为
1 丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种方法,

5 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑” ,所 5 以这样的排法一共有 A4 A5 A2 =960 种方法.
1 2

小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法” (先捆后松) . 例 3: 7 位同学站成一排. ⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
7 6 2 解法一: (排除法) A7 ? A6 ? A2 ? 3600 5 解法二: (插空法)先将其余五个同学排好有 A5 种方法,此时他们留下六个位置 2 (就称为“空”吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A6 种方法, 5 2 所以一共有 A5 A6 ? 3600种方法.

⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? 解:先将其余四个同学排好有 A4 种方法,此时他们留下五个“空” ,再将甲、乙和
3 3 丙三个同学分别插入这五个“空”有 A5 种方法,所以一共有 A4 A5 =1440 种.
4 4

小结三:对于不相邻问题,常用“插空法” (特殊元素后考虑) . 三、小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻) ; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻) ; 2.基本的解题方法: ⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为 优先处理特殊元素(位置)法(优限法) ; ⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排

列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法” ; ⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法” ; ⑷ 在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的 解题途径,这是学好排列问题的根基. 四、作业: 《课课练》之“排列 课时 1—3”





课题:排列的简单应用(2) 目的:使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题,进一步培养分析问题、解 决问题的能力,同时让学生学会一题多解. 过程: 一、复习: 1.排列、排列数的定义,排列数的两个计算公式; 2.常见的排队的三种题型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置——优限法; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻)——捆绑法; ⑶某些元素要求分离(即不能相邻)——插空法. 3.分类、分布思想的应用. 二、新授: 示例一: 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节 目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
1 5 解法一: (从特殊位置考虑) A9 A9 ? 136080 5 解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A9 6 若不选: A9

5 6 则共有 5 ? A9 + A9 =136080 6 5 解法三: (间接法) A10 ? A9 ? 136080

示例二: ⑴ 八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排, 则共有多少种不同的排法?
5 略解:甲、乙排在前排 A4 ;丙排在后排 A4 ;其余进行全排列 A5 . 5 所以一共有 A4 A4 A5 =5760 种方法.
2 1 2 1

⑵ 不同的五种商品在货架上排成一排,其中 a, b 两种商品必须排在一起,而 c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种? 略解: ( “捆绑法”和“插空法”的综合应用)a, b 捆在一起与 e 进行排列有 A2 ;
2

2 2 此时留下三个空, 将 c, d 两种商品排进去一共有 A3 ; 最后将 a, b “松绑” 有 A2 . 所 2 2 以一共有 A2 =24 种方法. A32 A2

☆⑶ 6 张同排连号的电影票,分给 3 名教师与 3 名学生,若要求师生相间而坐,则

不同的坐法有多少种?
3 3 3 3 略解: (分类)若第一个为老师则有 A3 ;若第一个为学生则有 A3 A3 A3 3 3 所以一共有 2 A3 =72 种方法. A3

示例三: ⑴ 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字的正整数?
1 2 3 4 5 略解: A5 ? A5 ? A5 ? A5 ? A5 ? 325

⑵ 由数字 1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字,并且比 13 000 大的正整 数?
1 3 解法一:分成两类,一类是首位为 1 时,十位必须大于等于 3 有 A3 A3 种方法;另 1 3 一类是首位不为 1,有 A4 A4 种方法.所以一共有 A3 A3 ? A4 A4 ? 114个数比 13 000
1 4 1 4

大.
3 解法二: (排除法)比 13 000 小的正整数有 A3 个,所以比 13 000 大的正整数有 5 3 =114 个. A5 ? A3

示例四: 用 1,3,6,7,8,9 组成无重复数字的四位数,由小到大排列. ⑴ 第 114 个数是多少? ⑵ 3 796 是第几个数?
3 解:⑴ 因为千位数是 1 的四位数一共有 A5 ? 60 个,所以第 114 个数的千位数应

该是 “3” , 十位数字是 “1” 即 “31” 开头的四位数有 A4 ? 12 个; 同理, 以 “36” 、
2

“37” 、 “38” 开头的数也分别有 12 个, 所以第 114 个数的前两位数必然是 “39” , 而“3 968”排在第 6 个位置上,所以“3 968” 是第 114 个数. ⑵ 由上可知“37”开头的数的前面有 60+12+12=84 个,而 3 796 在“37” 开头的四位数中排在第 11 个(倒数第二个) ,故 3 796 是第 95 个数. 示例五: 用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,其中 ⑴ 能被 25 整除的数有多少个? ⑵ 十位数字比个位数字大的有多少个? 解: ⑴ 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25,50 两种,末尾为 50 的四位数
1 1 1 1 有 A4 个,末尾为 25 的有 A3 A3 个,所以一共有 A4 + A3 A3 =21 个.
2 2

注: 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25,50,75,00 四种情况. ⑵ 用 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的四位数,一共有 A5 A5 ? 300个.因
1 3

为在这 300 个数中,十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的 ” ,所以十位数 .... 字比个位数字大的有

1 1 3 A5 A5 ? 150 个. 2

三、小结:能够根据题意选择适当的排列方法,同时注意考虑问题的全面性,此外能够 借助一题多解检验答案的正确性. 四、作业: “3+X”之 排列 练习



合 ⑴

课题:组合、组合数的概念 目的:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式. 过程: 一、复习、引入: 1.复习排列的有关内容: 定 排 列 义 特 点 相同排列 公 式

以上由学生口答. 2.提出问题: 示例 1: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动,其中 1 名同学 参加上午的活动,1 名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法? 示例 2: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,有多少种不同的选法? 引导观察:示例 1 中不但要求选出 2 名同学,而且还要按照一定的顺序“排列” ,而 示例 2 只要求选出 2 名同学,是与顺序无关的. 引出课题:组合 问题. .. 二、新授: 1.组合的概念:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 注:1.不同元素 2. “只取不排”——无序性 3.相同组合:元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题: ⑴ 从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览; (组合) ⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记. (排列) 2.组合数的概念:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做
m 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数.用符号 C n 表示.

例如:示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为:甲乙,甲丙,乙丙.即
2 有 C3 ? 3 种组合.

又如:从 A、B、C、D 四个景点选出 2 个进行游览的组合:AB,AC,AD,BC, BD,CD 一共 6 种组合,即: C 4 ? 6
2

在讲解时一定要让学生去分析:要解决的问题是排列问题还是组合问 题,关键是看是否与顺序有关.

m 那么又如何计算 C n 呢?

3.组合数公式的推导
3 ⑴提问:从 4 个不同元素 a,b,c,d 中取出 3 个元素的组合数 C 4 是多少呢? 3 启发:由于排列是先组合再排列 , 而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A4 可 .........

3 3 以求得,故我们可以考察一下 C 4 和 A4 的关系,如下:

组 合 abc abd acd bcd

? ? ? ?

排列 cab, acb, bca, cba abd, bad, dab, adb, bda, dba acd, cad, dac, adc, cda, dca bcd, cbd, dbc, bdc, cdb, dcb
abc, bac,

由此可知:每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因此,求从 4 个不同元素中取
3 出 3 个元素的排列数 A4 , 可以分如下两步: ① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素

3 的组合, 共有 C 4 个; ② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列, 各有 A3 种方法. 由
3 A4 . 3 A3

3

3 3 3 3 分步计数原理得: A4 = C4 ,所以: C 4 ? A3 ?

m ⑵ 推广: 一般地, 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 An , 可以分如下两步: m ① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 C n ;② 求每一个组合中 m m m m m 个元素全排列数 Am ,根据分布计数原理得: An = Cn ? Am

⑶ 组合数的公式:
m Cn ? m An n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1) ? m m! Am



Cm n?

n! m!(n ? m)!

(n, m ? N ? , 且m ? n)

⑷ 巩固练习:
4 1.计算:⑴ C 7

⑵ C10

7

2.求证: C n ?
m

m ? 1 m ?1 ?C n n?m
x?1 2 x?3

3.设 x ? N ? , 求 C2 x?3 ? Cx?1 的值.

2x ? 3 ? x ? 1 解:由题意可得: ? ? ?x ? 1 ? 2 x ? 3

即:2≤x≤4

∵ x ? N? ,

∴x=2 或 3 或 4

当 x=2 时原式值为 7;当 x=3 时原式值为 7;当 x=2 时原式值为 11. ∴所求值为 4 或 7 或 11. 4.例题讲评 例 1. 6 本不同的书分给甲、乙、丙 3 同学,每人各得 2 本,有多少种不同的分 法?
2 2 2 略解: C6 ? C4 ? C2 ? 90

例 2. 4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践活动小组, 问组成方法 共有多少种?
3 解法一: (直接法)小组构成有三种情形:3 男,2 男 1 女,1 男 2 女,分别有 C 4 , 3 2 1 1 2 2 1 1 2 , C4 ,所以一共有 C 4 + C 4 + C4 =100 种方法. C4 ? C6 ? C6 ? C6 ? C6

3 3 解法二: (间接法) C10 ? C6 ? 100

5.学生练习: (课本 99 练习) 三、小结: 定 排 组 列 合 义 特 点 相同组合 公 式

此外,解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合 问题,必要时要利用分类和分步计数原理. 四、作业:课堂作业:教学与测试 75 课 课外作业:课课练 课时 7 和 8



合 ⑵

课题:组合的简单应用及组合数的两个性质 目的:深刻理解排列与组合的区别和联系,熟练掌握组合数的计算公式;掌握组合数的两个 性质,并且能够运用它解决一些简单的应用问题. 过程: 一、复习回顾: 1.复习排列和组合的有关内容: 定 排 组 列 合 义 特 点 相同×× 公 式

强调:排列——次序性;组合——无序性. 2.练习一: 练习 1:求证: C n ?
m

n m ?1 m m?1 C n ?1 . (本式也可变形为: mCn ? nCn ?1 ) m
4 5

3 7 3 2 3 练习 2:计算:① C10 和 C10 ; ② C7 与 C6 ;③ C11 ? C11 ? C6

答案:① 120,120 ② 20,20 ③ 792 (此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础. ) 3.练习二: ⑴ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条? ⑵ 平面内有 10 个点,以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条?
2 答案:⑴ C10 ? 45 (组合问题) 2 ⑵ A10 ? 90 (排列问题)

二、新授:
m n ?m 1.组合数的 性质 1: Cn . ? Cn

理解: 一般地,从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n ? m 个元素.因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合, 与剩下的 n ? m 个元素的每一 个组合一一对应 ,所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n ....
m n ?m 个元素中取出 n ? m 个元素的组合数,即: Cn .在这里,我们主要体 ? Cn

现: “取法”与“剩法”是“一一对应”的思想.
n?m 证明:∵ C n ?

n! n! ? (n ? m)![n ? (n ? m)]! m! (n ? m)!
n! m!(n ? m)!
0 Cn ?1

m 又 Cn ?

∴ Cn ? Cn
m

n ?m

注:1? 我们规定

2? 等式特点:等式两边下标同,上标之和等于下标. n m n?m 3? 此性质作用:当 m ? 时,计算 C n 可变为计算 C n ,能够使运算简化. 2
2001 2002 ? 2001 1 例如: C 2002 = C2002 = C2002 =2002. x 4? Cn ? Cny ? x ? y 或 x ? y ? n

2.示例一: (课本 101 例 4)一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球. ⑴ 从口袋内取出 3 个球,共有多少种取法? ⑵ 从口袋内取出 3 个球,使其中含有 1 个黑球,有多少种取法? ⑶ 从口袋内取出 3 个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
3 解:⑴ C8 ? 56 2 ⑵ C7 ? 21 3 ⑶ C7 ? 35

3 2 3 引导学生发现: C8 .为什么呢? ? C7 ? C7

我们可以这样解释:从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球,可以分为两类:一类含 有 1 个黑球,一类不含有黑球.因此根据分类计数原理,上述等式成立.
m 一般地,从 a1 , a2 ,? , an?1 这 n+1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数是 Cn ?1 ,这

些 组 合 可 以 分 为 两 类 : 一 类 含 有 元 素 a1 , 一 类 不 含 有 a1 . 含 有 a1 的 组 合 是 从

m?1 共有 Cn 个; 不含有 a1 的 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m ?1 个元素与 a1 组成的, m 组合是从 a2 , a3 ,? , an?1 这 n 个元素中取出 m 个元素组成的,共有 C n 个.根据分类计

数原理,可以得到组合数的另一个性质.在这里,我们主要体现从特殊到一般的归纳思 想, “含与不含其元素”的分类思想.
m m m?1 3.组合数的 性质 2: Cn . ?1 = C n + C n
m m ?1 证明: C n ? Cn ?

n! n! ? m! (n ? m)! (m ? 1)![n ? (m ? 1)]! n!(n ? m ? 1) ? n! m m!(n ? m ? 1)! (n ? m ? 1 ? m)n! m! (n ? m ? 1)! (n ? 1)! m! (n ? m ? 1)!

? ? ?

m ? Cn ?1 m m m?1 ∴ Cn . ?1 = C n + C n

注:1? 公式特征:下标相同而上标差 1 的两个组合数之和,等于下标比原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.在今后学习“二项式定理”时,我 们会看到它的主要应用. 4.示例二:
3 4 5 6 ⑴ 计算: C7 ? C7 ? C8 ? C9

n n n?1 n?2 ⑵ 求证: Cm ? 2 = C m + 2Cm + C m

x ?1 2 x ?3 ⑶ 解方程: C13 ? C13

⑷ 解方程: C x ? 2 ? C x ? 2 ?

x?2

x ?3

1 3 Ax ?3 10

⑸ 计算: C4 ? C4 ? C4 ? C4 ? C4 和 C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5
0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

0 1 2 n?1 n 推广: C n ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? Cn ? 2n

5.组合数性质的简单应用: 证明下列等式成立:
k k k k k k ?1 ⑴ (讲解) Cn ?1 ? Cn?2 ? Cn?3 ? ? ? Ck ?1 ? Ck ? Cn

k k ?1 ⑵ (练习) Ck ? Ckk?1 ? Ckk?2 ? ? ? Ckk?n ? Cn ? k ?1

⑶ C n ? 2C n ? 3C n ? ? ? nC n ?
1 2 3 n

n 0 1 n (C n ? C n ? ? ? Cn ) 2

6.处理《教学与测试》76 课例题 三、小结:1.组合数的两个性质; 2.从特殊到一般的归纳思想. 四、作业: 课堂作业: 《教学与测试》76 课 课外作业:课本习题 10.3;课课练课时 9



合 ⑶

课题:组合、组合数的综合应用⑴ 目的:进一步巩固组合、组合数的概念及其性质,能够解决一些较为复杂的组合应用问题, 提高合理选用知识的能力. 过程: 一、知识复习: 1.复习排列和组合的有关内容: 依然强调:排列——次序性;组合——无序性. 2.排列数、组合数的公式及有关性质 性质 1: Cn ? Cn
m 0 n ?m m m?1 性质 2: Cn ?1 = C n + C n m 0 k k ?1

常用的等式: Ck ? Ck ?1 ? Ck ? Ck ?1 ? 1 3.练习:处理《教学与测试》76 课例题 二、例题评讲: 例 1.100 件产品中有合格品 90 件,次品 10 件,现从中抽取 4 件检查. ⑴ 都不是次品的取法有多少种? ⑵ 至少有 1 件次品的取法有多少种?

⑶ 不都是次品的取法有多少种?
4 解:⑴ C90 ; ? 2555190 4 4 1 3 2 2 3 1 4 ⑵ C100 ; ? C90 ? C10 C90 ? C10 C90 ? C10 C90 ? C10 ? 1366035 4 4 1 3 2 2 3 1 4 ⑶ C100 . ? C10 ? C90 C10 ? C90 C10 ? C90 C10 ? C90 ? 3921015

例 2.从编号为 1,2,3,?,10,11 的共 11 个球中,取出 5 个球,使得这 5 个球的 编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法?
1 4 3 2 5 解:分为三类:1 奇 4 偶有 C 6 C5 ;3 奇 2 偶有 C6 C5 ;5 奇 1 偶有 C6 1 4 3 2 5 所以一共有 C 6 C5 + C6 C5 + C6 ? 236.

例 3.现有 8 名青年,其中有 5 名能胜任英语翻译工作;有 4 名青年能胜任德语翻 译工作(其中有 1 名青年两项工作都能胜任) ,现在要从中挑选 5 名青年承担一项任 务,其中 3 名从事英语翻译工作,2 名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法? 解:我们可以分为三类:
2 2 ① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有 C4 C3 ; 3 1 ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有 C 4 C3 ; 3 2 ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有 C4 C3 . 3 1 2 2 3 2 所以一共有 C4 C3 + C4 C3 + C 4 C3 =42 种方法.

例 4.甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六, 问可以排出多少种不同的值周表 ?
2 2 1 2 1 1 解法一: (排除法) C6 C4 ? 2C5 C4 ? C4 C3 ? 42
1 2 解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有 C 4 C 4 ;另一类为甲不
1 2 2 2 2 2 值周一,但值周六,有 C4 C 4 + C4 C3 .所以一共有 C 4 C3 =42 种方法.

例 5.6 本不同的书全部送给 5 人,每人至少 1 本,有多少种不同的送书方法?
2 解:第一步从 6 本不同的书中任取 2 本“捆绑”在一起看成一个元素有 C 6 种方

5 法;第二步将 5 个“不同元素(书) ”分给 5 个人有 A5 种方法.根据分步计数原 5 2 理,一共有 C 6 =1800 种方法. A5

变题 1:6 本不同的书全部送给 5 人,有多少种不同的送书方法? 变题 2: 5 本不 同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同的送书方法? . 变题 3: 5 本相 同的书全部送给 6 人,每人至多 1 本,有多少种不同的送书方法? .

5 5 答案:1. 5 ? 15625; 2. A6 ? 6. ? 720; 3. C6
6

三、小结:1.组合的定义,组合数的公式及其两个性质; 2.组合的应用:分清是否要排序. 四、作业: 《3+X》 组合基础训练 《课课练》课时 10 组合四



合 ⑷

课题:组合、组合数的综合应用⑵ 目的:对排列组合知识有一个系统的了解,掌握排列组合一些常见的题型及解题方法,能够 运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题. 过程: 一、知识复习: 1.两个基本原理; 2.排列和组合的有关概念及相关性质. 二、例题评讲: 例 1.6 本不同的书,按下列要求各有多少种不同的选法: ⑴ 分给甲、乙、丙三人,每人两本; ⑵ 分为三份,每份两本; ⑶ 分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; ⑷ 分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本; ⑸ 分给甲、乙、丙三人,每人至少一本.
2 2 2 解:⑴ 根据分步计数原理得到: C6 C4 C2 ? 90种. 2 2 2 ⑵ 分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C6 C4 C2 种方法,这个过程可以分两步完成:

第一步分为三份,每份两本,设有 x 种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名
2 2 2 3 3 同学有 A3 种方法.根据分步计数原理可得: C6 ,所以 C4 C2 ? xC3
2 2 2 C6 C4 C2 ? 15 .因此分为三份,每份两本一共有 15 种方法. 3 A3

x?

注:本题是分组中的“均匀分组 ”问题. ....
1 2 3 ⑶ 这是“不均匀分组”问题,一共有 C6 C5 C3 ? 60 种方法. 1 2 3 3 ⑷ 在⑶的基础上在进行全排列,所以一共有 C6 C5 C3 A3 ? 360种方法. 2 2 2 ⑸ 可以分为三类情况:①“2、2、2 型”即⑴中的分配情况,有 C6 C4 C2 ? 90 种 1 2 3 3 方法;②“1、2、3 型”即⑷中的分配情况,有 C6 C5 C3 A3 ? 360种方法;③“1、1、 4 3 4 型” ,有 C6 A3 ? 90 种方法.所以一共有 90+360+90=540 种方法.

例 2.身高互不相同的 7 名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且 互不相邻的排法有多少种?
4 解: (插空法)现将其余 4 个同学进行全排列一共有 A4 种方法,再将甲、乙、丙三名

3 同学插入 5 个空位置中(但无需要进行排列)有 C5 种方法.根据分步计数原理,
4 3 一共有 A4 =240 种方法. C5

例 3.⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法? ⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种? 解:⑴ 根据分步计数原理:一共有 4 ? 256 种方法.
4

⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素
2 3 有 C4 种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有 A4 种方法.所以 2 3 一共有 C 4 =144 种方法. A4

例 4.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,为节约用电又不影响照明,可以 把其中 3 盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的 情况下,有多少种不同的关灯方法? 解: (插空法)本题等价于在 7 只亮着的路灯之间的 6 个空档中插入 3 只熄掉的灯,
3 故所求方法总数为 C6 ? 20 种方法.

例 5.九张卡片分别写着数字 0,1,2,?,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果 6 可以当作 9 使用,问可以组成多少个三位数?
2 1 1 1 解: 可以分为两类情况: ① 若取出 6, 则有 2( A8 ? C2 C7 C7 ) 种方法;②若不取 6, 1 2 1 1 1 1 2 则有 C 7 A7 种方法.根据分类计数原理,一共有 2( A82 ? C2 C7 C7 ) + C 7 A7 =602 种

方法. 三、小结: 四、作业: 《教学与测试》77 课; 《课课练》相关练习

二项式定理---1 定理
一、 复习填空:

1. 在 n=1,2,3,4 时,研究(a+b)n 的展开式. (a+b)1= , 2 (a+b) = , 3 (a+b) = , (a+b)4= . 2. 列出上述各展开式的系数:

3.这些系数中每一个可看作由它肩上的两个数字 行的数字吗?(a+b)5= 4.计算: C 0 4= , C1 4= ,C2 4= , C3 4= ,C4 4=

得到.你能写出第五 . .用这些组合数表示 .

(a+b)4 的展开式是:(a+b)4=

二、定理:
(a+b) n= (n ? N ),这个公式表 示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ,其 中 C rn (r=0,1,2,??,n)叫做 项展开式的通项,通项是指展开式的第
1 例题:1.展开 ( x ? ) 4 ; x

, 项,展开式共有
1 x )6 .

叫做二 个项.

2. 展开 (2 x ?

小结:求展开式中的指定项一般用通项公式,当指数 n 不是很大时,也可用 定理展开,再找指定项. 3.计算: (1) (0.997)3 的近似值(精确到 0.001)

(2) (1.002)6 的近视值(精确到 0.001).

三 、课后检测 1.求(2a+3b)6 的展开式的第 3 项.

2.求(3b+2a)6 的展开式的第 3 项.

3.写出 (3 x ?

1 2 x
3

) n 的展开式的第 r+1 项.

4.求(x3+2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数,并求第 4 项的系数.

5.用二项式定理展开: (1) (a ? 3 b ) 9 ; (2) (

x 2 7 ? ) . 2 x

6.化简:
1

(1) (1 ? x ) 5 ? (1 ? x ) 5 ;

(2) (2x 2 ? 3x 2 ) 4 ? (2x 2 ? 3x 2 ) 4

?

1

1

?

1

二项式定理---2 通项应用---求指定项 一、复习填空: (a+b) n= (n ? N ),这个公式表 示的定理叫做二项式定理,公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ,其 中 C rn (r=0,1,2,??,n)叫做 项展开式的通项,通项是指展开式的第 二、应用举例: 1. ( , 项,展开式共有 叫做二 个项.

x a
2

?

a x

) 6 的展开式中,第五项是????????????????(



A. ?

15 x

B. ?
1 a

6x 2 a3

C.

20 x

D.

15 x

2. (3 a ?

)15 的展开式中,不含 a 的项是第???????????(

)项 D.6

A.7 B.8 C.9 6 3.二项式(z-2) 的展开式中第 5 项是-480,求复数 z.

4.求二项式 (3 3 ?

1 2

) 7 的展开式中的有理项.

三、练习及课后检测 1 1. ( x ? ) 9 的展开式中含 x3 的项是 x

. )

2.二项式 ( 3i ? x)10 的展开式中的第八项是????????????( A.-135x3 B.3645x2 C. 360 3ix 7

D. 3240 3ix 3 )

3. (5 3 ? 7 5 ) 24 的展开式中的整数项是?????????????( A.第 12 项 4. (3x ? A.13
2 2

B. 第 13 项

C. 第 14 项

D. 第 15 项 )

) n 展开式中第 9 项是常数项,则 n 的值是??????? (

B.12

C.11

D.10 )

5. ( 2 ? di ) 9 的展开式中的第 7 项是???????????????( A. 288 2d 2 6. (2x 3 ? 7. (| x | ? B. - 288 2d 2 C.-672d3i . . D.672d3i

1 10 ) 展开式的常数项是 x2

1 ? 2) 3 展开式的常数项是 |x|

8.在 (

x b 第 ? 3 )18 的展开式中, b x

项是中间项, 中间项是

.

9.已知(10+xlgx)5 的展开式中第 4 项为 106,求 x 的值.

*10.若(1-2x)5 展开式中的第 2 项小于第 1 项,且不小于第 3 项,求实数 x 的取 值范围.

二项式 3---求指定项的系数 一、定理复习 n 1.(a+b) = 其中 C rn (r=0,1,2,??,n)叫做 (n ? N ),共有 ; . ) 个项,

2.通项表示展开式中的第 项,通项公式是 二、例题与练习 9 1.(x-2) 的展开式中,第 6 项的二项式系数是???????????( A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 2.若 ( x ?
1 11 ) n 的展开式中的第三项系数等于 6,则 n 等于??????(



A.4 B.4 或-3 C.12 D .3 5 3 3.多项式(1-2x) (2+x)含 x 项的系数是?????????????( A.120 B.-120 C.100 D.-100 2 3 4 5 2 4.求(x-1)-(x-1) +(x-1) -(x-1) +(x-1) 的展开式中,x 的系数



5.二项式 ( x x ? 数.

1 n ) 的展开式中第三项系数比第二项系数大 44,求第 4 项的系 x4

三、课后检测 1.在 (x ? 3)10 的展开式中,x6 的系数是???????????(
6 A.-27 C10 4 B.27 C10 6 C.-9 C10 4 D.9 C10



2.在(x2+3x+2)5 的展开式中,x 的系数为??????????( A.160 B.240 C.360

) D.800

3.(1+x)3+(1+x)4+?+(1+x)50 展开式中 x3 的系数是??????( A. C 3 51
4 B. C 50 4 C. C 51



D. C 4 47 )

4. (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+?+(1+x)10 的展开式中,含 x8 的系数是? ( A.10 B.45 C.54 D.55 1 5.在 ( x ? ) 8 的展开式中,求 x4 的系数与 x- 4 的系数之差. x

6.(1-x)5(1+x+x2)4 的展开式中,含 x7 项的系数是

.

7.已知(1+

2 n ) 展开式中含 x-2 的项的系数为 12,求 n. x

8.x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3+(1-3x)7 的展开式中,x4 项的系数是

.

二项式定理 4---整除问题

一、 例题选讲
1.求 4713 被 5 除所得的余数.

2.求 x10-3 除以(x-1)2 所得的余式.

3.求证 34n+2+52n+1 能被 14 整除.

二、练习与检测
1.10110-1 的末尾连续零的个数是?????????????( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
n ?1 n ?2 ?1 2.若 n 为奇数, 7n+ C1 ( ? C2 ? ? ? ? ? Cn n7 n7 n 7 被 9 除所得的余数是??



A.0 B.2 C.7 D.8 3.5n+13n(n ? N )除以 3 的余数是??????????????( A.0 B.0 或 1 C.0 或 2 D.2 55 4.求 55 除以 8 所得的余数.



5.用二项式定理证明 6363+17 能被 16 整除.

6.求 9192 除以 100 的余数.

7.今天是星期二,不算今天,251 天后的第一天是星期几?

二项式定理测试题

一、 选择题
1 1.已知(2a3+ )n 的展开式的常数项是第 7 项, 则 n 的值为?????? ( ) a A.7 B.8 C.9 D.10 2 5 2 2.在(x +3x+2) 的展开式中,x 的系数为????????????( ) A.850 B.640 C.360 D240 1 3.(x- y-2z)8 的展开式中 x6yz 的系数是???????????? ( ) 2 A.28 B.16 C.56 D-16 4. 设(1+x)3+(1+x)4+?+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+?+a50x50,则 a3=???( )

A. C 3 51

4 B. C 51

C. 2C 3 50

4 D. C 50

5.数(1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近视值是?????????( ) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44 7 3 2 6.在(ax+1) 的展开式中, (a>1), x 的系数是 x 的系数与 x4 的系数的等差中项, 则 a 的值是??????????????????( ) A.
10 ?1 5

B.

10 ?1 5

C.2-

10 5

D.2+

10 5

7.(x+1)(2x+1)(3x+1)?(nx+1)的展开式中,x 的系数是???????(
?1 A. C n n



B. C 2 n

C. C 2 n ?1

D. C 2 n ?1

8.(1+x+x2+x3)4 的展开式中,奇次项系数和是?????????( ) A.64 B.128 C.120 D.256 20 ? 19 20 ? 19 ? 18 ? 17 20 ? 19 ? 18 ? ? ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ? ??? ? 9. C 0 的值是 ( ) 4 ? 2! 4! 20! A.217 B.218 C.219 D.220 10.(1-2x)15 的展开式中的各项系数和是????????? ( ) 15 15 A.1 B.-1 C.2 D.3

二、填空题
11. 若 ( 3 x ? 是 12. ( x y ? 13.(|x|+
1 n ) 展开式中第五项是 常数项,则展开式中系数最大的项 x .

1 y x )13 展开式的中间项是 2

. .

1 3 ? 2 ) 的展开式中,所有常数项的和是 |x|

14. 在 (x2-x-1)n 的 展 开 式 中 , 奇 次 项 的 系 数 和 为 -128 , 则 系 数 最 小 的 项 是 .

三、解答题
15.已知(x + 不含 x 的项.
3

1 n ) 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大,求展开式中 x2

16.设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n ? N ),若其展开式中,关于 x 的一次项系数 为 11,试问:m、n 取何值时,f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值,并求出 这个最小值.

二项式 5---二项式系数

一、 复习、思考、填空:
1.(a+b)n 的展开式的二项式系数是 ; 2.组合数的性质 1 是 ; 10 3.写出(a+b) 的展开式: (1) 观察二项式系数的变化规律; (2) 二项式系数最大的是 项. 4.下面二项展开式中, 那些项的二项式系数最大?是多少?分别填在相应的横 线上 (1)(a+b)19 第 项的二项式系数最大,是 ; 20 (2)(a+b) 第 项的二项式系数最大,是 .

二、 二项式系数的性质:
请阅读课本 P251 页----P252 页证明下列二项式系数的性质: 性质 1:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 即
n ?m Cm n ? Cn

其中 m=0,1,2,3,??,n

性质 2:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式 的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数最大;
1 2 k n n 性质 3: C0 n ? Cn ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? ? ? ? ? Cn ? 2

性质 4:(a+b)n 的展开式中, 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数
2 4 1 3 5 和.即 C0 n ? C n ? C n ? ? ? ? ? C n ? C n ? C n ? ? ? ? =2n-1

[注意]

二项展开式中各项的系数与各项的二项式系数的区别.

三、 例题与练习
1.(1-x2)9 展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 是 是 ,二项式系数最大的项是 说明:注意项与项数的区别;系数与二项式系数的区别. 2.若 (3 ,系数最小的项 .

1 5 1 n 所有奇数项的系数之和为 1024, 求它的中间项. ? ) 的展开式中, x x2

四、课后检测
1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等,则 n 为???????( ) A.8 B.9 C.10 D.11 4n+1 2.二项式(1-x) 的展开式系数最大的项是???????????( )

A.第 2n+1 项 B. 第 2n+2 项 C. 第 2n 项 D 第 2n+1 项或 2n+2 项 3.若(a+b)n 的展开式中, 各项的二项式系数和为 8192, 则 n 的值为??? ( ) A16 B.15 C.14 D.13 2n 4.(a+b) 的展开式中二项式系数最大的是????????????( ) A.第 n 项 B.第 n 项或第 n+1 项 C.第 n+1 项 D.当 n 为偶数时,是第 n+1 项;当 n 为奇数时,是第 n 项. 5.(a-b)99 的展开式中,系数最小的项是??????????????( ) A.第 1 项 B.第 50 项 C.第 51 项 D.第 50 项与第 51 项
2 3 7 6. C1 7 ? C7 ? C7 ? ? ? ? ? C7 ? 3 5 7 7. C1 8 ? C8 ? C8 ? C8 =

. .

8.若(a+ a )n 的展开式中,奇数项的系数和等于 512,求第八项.

9. ( x ? 3

1 x

) n 的展开式的各项系数和为 32,求这个展开式的常数项.

随机事件的概率
【教学目的】 使学生了解一个随机事件的发生既有随机性, 又在大量重复试验中存在着一种 客观规律性——频率的稳定性,以引出随机事件概率的意义和计算方法。 【教学重点和难点】 深刻理解随机事件在试验中发生的可能性大小的刻划方法, 是用客观存 在着的一个小于 1 的正数来表示。 【教学过程】 一、前言 从这节开始,大约用 12 课时来学习一个新的数学分支——“概率论”初步。 “概率论” 是研究随机现象规律性的科学,随着现代科学技术的发展,“概率论”在自然科学、社会科 学和工农业生产中得到了越来越广泛的应用。 在现实世界中, 随机现象是广泛存在的, 而 “概 率论” 正是一门从数量这一侧面研究随机现象规律性的数学学科。 学习这一章之后对有些事 件的发生或不发生或发生的可能性是百分之几有个估计和推算。 这对是否能完成某一任务有 一定的了解。从而增强在工作中的主动性,减少在工作中的盲目性,使工作能达到预想的最 好结果。

二、新课引入 在实际生活中,往往在完全相同的综合条件下出现的结果是不相同的。为了叙述的方 便,我们把条件每实现一次,叫做进行一次试验,试验的结果中所发生的现象叫做事件。由 于在一定的条件下某些结果是一定发生或一定不发生或可发生也可不发生, 所以事件被分为 必然事件、不可能事件和随机事件三种。 这节课要通过几个实例说明现实生活中确实存在着以上三种事件;这节课还要通过实 例说明一个随机事件的发生是存在着统计规律性的, 一个随机事件发生的频率总是在某个常 数附近摆。我们给这个常数取一个名字,叫做这个随机事件的概率。它从数量上反映了这个 事件发生的可能性的大小。 三、进行新课 1.事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。 事件共分三种:必然事件记作 U(在一定的条件下必然要发生的事件),不可能事件记 作 V(在一定的条件下不可能发生的事件)、随机事件记作 A、B 等(在一定的条件下可能 发生也可能不发生的事件)。 2.随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它 的发生具有一定的规律性,或称随机事件频率的稳定性,现在引出概率的统计定义:在 n 次重复进行同一试验时,事件 A 发生的次数为 m 次,则称事件 A 发生的频率 m/n 为事件 A 的概率,记作 P(A)。 由于随机事件 A 在各次试验中可能发生,也可能不发生,所以它在 n 次试验中发生的 次数(称为频数)m 可能等于 0(n 次试验中 A 一次也不发生),可能等于 1(n 次试验中 A 只发生一次),??也可能等于 n(n 次试验中 A 每次都发生)。我们说,事件 A 在 n 次试 验中发生的频数 m 是一个随机变量,它可能取得 0、1、2、?、n 这 n+1 个数中的任一个值。 于是,随机事件 A 的频率 P(A)=m/n 也是一个随机变量,它可能取得的值介于 0 与 1 之间, 即 0≤P(A)≤1。特别,必然事件的概率为 1,即 P(U)=1;不可能事件的概率为 0,即 P (V)=0。这里说明随机事件的频率究竟取得什么值具有随机性。然而,经验表明,当试验 重复多次时随机事件的频率又具有稳定性。 除教材中抛掷钱币的实验结果外, 这里我们再举 一个例子。 例 进行这样的试验:从 0、1、2、?、9 这十个数字中随机取一个数字,重复进行这 个试验 10000 次,将每次取得的数字依次记下来,我们就得到一个包括 10000 个数字的“随 机数表”。在这个随机数表里,可以发现 0、1、2、?、9 这十个数字中各个数字出现的频 率稳定在 0.1 附近。现在我们把一个随机数表等分为 10 段,每段包括 1000 个随机数,统计 每 100 个随机数中数字“7”出现的频率,得到如下的结果: 3.利用概率的统计定义,在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验,列 出一个表格, 从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。 这从某种意义上说是很 繁琐的。在下一节中介绍第二种求随机事件概率的方法。 四、巩固新课 1.指导学生阅读课本,进一步了解随机事件 A 发生的频率 m/n 总是接近于某个常数, 以加深对概率概念实质的理解。

2.提问: (1)试举出两个必然事件和不可能事件的实例。 (2)不可能事件的概率为什么是 0? (3)必然事件的概率为什么是 1? (4)随机事件的概率为什么是小于 1 的正数?它是否可能为负数? 五、小结 随机事件在现实世界中是广泛存在的。在一次试验中,事件是否发生虽然带有偶然性, 但在大量重复试验下, 它的发生呈现出一定的规律性, 即事件发生的频率总是接近于某个常 数,在它附近摆动,这个常数就叫做这一事件的概率,记作 P(A)。 且 0≤P(A)≤1。 六、布置作业 1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件: (1)如果 a,b 都是实数,那么 a·b=b·a。 (2)八月的北京气温在摄氏零下 40℃。 (3)校对印刷厂送来的清样,每一万字中有错、漏字 10 个。

2.两位同学各自进行一次抛掷硬币的实验,在抛掷 1000 次的情况下,统计 一下出现国徽面向上的次数 m, 然后再计算 m/1000,以求得抛掷硬币事件的统计 概率,再把两位同学做出的结果作一比较。

等可能事件的概率
【教学目的】通过等可能事件概念的讲解,使学生得到一种较简单的、较现实的计算事件概 率的方法。 【教学重点和难点】熟练、准确地掌握有关排列、组合的知识是顺利求出等可能事件概率的 重要方面。 【教学过程】 一、复习提问 1.上节课布置作业的第 2 题,每位同学得到的结果是否接近于同一个小于 1 的正数 0.5?你们是否已经感觉到计算事件概率的繁琐性?大量重复的试验是否可以避免?

2.上抛一个刻着 1、2、3、4、5、6 字样的正六面体方块出现字样为“3”的事件的概 率是多少?出现字样为“0”的事件的概率是多少?上抛一个刻着六个面都是“P”字样的正 方体方块出现字样为“P”的事件的概率是多少? 二、新课引入 随机事件的概率,一般可能通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件, 也可能不通过重复试验, 而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。 这种 计算随机事件概率的方法,比经过大量试验得出来的概率,有更简便的运算过程;有更现实 的计算方法。 这一节课程的学习,对有关的排列、组合的基本知识和基本思考问题的方法有较高的 要求,因此对于排列、组合还不十分熟悉的同学应当先补上这一课。 三、进行新课 1.等可能事件的意义:对于有些随机试验来说,每次试验只可能出现有限个不同的试 验结果,而出现所有这些不同结果的可能性是相等的(或叫机会均等原理)。 例如,从 52 张扑克牌中任意抽取一张(记作事件 A),那么不论抽到哪一张都是机会 均等的,也就是等可能性的,不论抽到哪一张花色的红心的牌(记作事件 B)也都是等可能 性的;又不论抽到哪一张印有“A”字样的牌(记作事件 C)也都是等可能性的。下面我们 给出事件 A、B、C 发生的概率的概念和计算方法。 2.等可能性事件概率的计算方法(概率的古典定义):如果一次试验中共有 n 种等可 能出现的结果,其中事件 A 包含的结果有 m 种,那么事件 A 的概率 P(A)是 m/n(m≤n)。 在上例中:P(A)=52/52=1, P(B)=13/52=1/4, P(C)=4/52=1/13。 这里再介绍一种概率古典定义的叙述方法:若事件 A1,A2,A3,?,An 发生的机会是 相同的,则称它们为等可能性事件,其中 Ai(i=1,2,?,n)称为基本事件(n 为基本事 件总数),如果事件 A 中包含的结果有其中的 m 种,那么事件 A 的概率 P(A)=m/n,即

四、小结 用这节中的观点求随机事件的概率时,首先对于在试验中出现的结果的可能性认为是 相等的; 其次是通过一个比值的计算来确定随机事件的概率, 并不需要通过大量重复的试验。 因此,从方法上来说这一节所提到的方法,要比上一节所提到的方法简便得多,并且更具有 实用价值。 五、布置作业 1.把 100 张已编号的卡片(从 1 号到 100 号),从中任取 1 张,计算:

(1)卡片号是偶数的概率; (2)卡片号是 5 的倍数的概率; (3)卡片号是质数的概率; (4)卡片号是 111 的概率; (5)卡片号是 1 的概率; (6)卡片号是从 1 号到 100 号中任意一号的数的概率。 2.一个均匀材料做的正方体玩具,各个面上分别标以数 1、2、3、4、5、6。 (1)将这玩具抛掷 1 次,朝上的一面出现偶数的概率是多少? (2)将这玩具抛掷 2 次,朝上的一面的数之和为 7 的概率是多少? (3)将这玩具抛掷 3 次,朝上的一面的数之和为 10 的概率是多少? 3.某城市的电话号码由六个数字组成,每个数字可以是从 0 到 9 这十个数字中的任一 个,计算电话号码由六个不同数字组成的概率是多少? 概率的加法公式 【教学目的】使学生了解概率加法公式的应用范围和具体运算法则。 【教学重点和难点】互斥(或称互不相容)事件的概念。 【教学过程】 一、复习 1.在“集合论”中集合之间的交或并分别有哪些运算? 2.在“集合论”中集合间的交、并、余的对偶律是什么? 二、新课引入 对于一些较复杂的事件的概率,直接根据概率的定义来进行计算是很不方便的。为了 将一些较复杂的概率的计算化成较简单的概率的计算, 首先要学会将所考虑的事件作出相应 的正确运算。 这一节先讲事件的和的意义。 然后再讲对于怎样的事件可应用哪一种概率加法 公式计算事件的概率。 三、进行新课 1.事件的和的意义 对于事件 A 和事件 B 是可以进行加法运算的。A+B 表示这样一个事件:在同一试验下, A 或 B 中至少有一个发生就表示它发生。例如抛掷一个六面分别标有数字 1、2、3、4、5、6

的正方体玩具,如果掷出奇数点,记作事件 A;如果掷出的点数不大于 3,记作事件 B,那 么事件 A+B 就是表示掷出的点数为 1、2、3、5 当中的一个。 事件“A1+A2+…+An”表示这样一个事件,在同一试验中,A1,A2,?,An 中至少有一个 发生即表示它发生。 2.互斥事件的意义 不可能同时发生的个事件叫做互斥事件。如从 52 张扑克牌中抽出一张牌。设事件 A 为 抽到一张红心,事件 B 表示抽到一张红方块。则事件 A 与 B 是互斥的。 3.互斥事件的概率加法公式 如果事件 A,B 互斥,那么: P(A+B)=P(A)+(B)公式 1 四、巩固新课 五、小结 两个事件 A 和 B 是互斥的可应用概率加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B), 这个公式也可以推广到 n 个彼此互斥事件的情形: P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An)。 如果两个事件 A 与 B 不互斥,那么存在着概率加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)。 六、布置作业 1.判别下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判别它们是不是对立事件。 从一堆产品(其中正品与次品都多于 2 个)中任取 2 件,其中: (1)恰有 1 件次品和恰有 2 件次品; (2)至少有 1 件次品和全是次品; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品; (4)至少有 1 件次品和全是正品。 2.一个均匀材料做的正方体玩具,各个面上分别标以数 1、2、3、4、5、6。设事件 A 表示出现奇数点(指向上一面的点数是奇数),事件 B 表示出现点数不超过 3。

(1)试判断 A 与 B 是互斥事件还是对立事件? (2)试计算下列各式的值: P(A),P(B),P(A+B)。 (3)试比较 P(A)+P(B)与 P(A+B)两式的大小。 (4)由(3)题的结论你能得出在什么样事件的情况下公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 成立?

相互独立事件同时发生的概率
【教学目的】 1. 了解相互独立事件的意义, 会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率; 2.通过对概率知识的学习,了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想; 【教学重点】 用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率; 【教学难点】 互斥事件与相互独立事件的区别; 【教学用具】 投影仪、多媒体电脑等。 【教学过程】 一、提出问题 有两门高射炮,已知每一门击中侵犯我领空的美军侦察机的概率均为 0.7,假设这两门 高射炮射击时相互之间没有影响。 如果这两门高射炮同时各发射一发炮弹, 则它们都击中美 军侦察机的概率是多少?(板书课题) 二、探索研究 显然,根据课题,本节课主要研究两个问题:一是相互独立事件的概念,二是相互独立 事件同时发生的概率。 (一)相互独立事件 1.中国福利彩票,是由 01、02、03、?、30、31 这 31 个数字组成的,买彩票时可以 在这 31 个数字中任意选择其中的 7 个,如果与计算机随机摇出的 7 个数字都一样(不考虑 顺序) ,则获一等奖。若有甲、乙两名同学前去抽奖,则他们均获一等奖的概率是多少? (1)如果在甲中一等奖后乙去买彩票,则也中一等奖的概率为多少?(P=

1 ) 1 C31 1 ) 1 C31

(2)如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票,则乙中一等奖的概率为多少?(P=

2.一个袋子中有 5 个白球和 3 个黑球,从袋中分两次取出 2 个球。设第 1 次取出的球 是白球叫做事件 A,第 2 次取出的球是白球叫做事件 B。 (1)若第 1 次取出的球不放回去,求事件 B 发生的概率; (如果事件 A 发生,则 P(B)=

4 5 ;如果事件 B 不发生,则 P(B)= ) 7 7

(2)若第 1 次取出的球仍放回去,求事件 B 发生的概率。 (如果事件 A 发生,则 P(B)=

5 5 ;如果事件 B 不发生,则 P(B)= ) 8 8

相互独立事件:如果事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做相互独立事件。 【思考】在问题 2 中,若设第 1 次取出的球是黑球叫做事件 C,第 2 次取出的球是黑球 叫做事件 D,则:事件 A 与 C、A 与 D、C 与 D 等是否为相互独立事件,为什么?这个结论说 明什么? (如果事件 A、B 是相互独立事件,那么,A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 都是相互独立事件) 。 (二)相互独立事件同时发生的概率 问题:甲坛子中有 3 个白球,2 个黑球;乙坛子中有 1 个白球,3 个黑球;从这两个坛 子中分别摸出 1 个球,假设每一个球被摸出的可能性都相等。问: (1)它们都是白球的概率是多少? (2)它们都是黑球的概率是多少? (3)甲坛子中摸出白球,乙坛子中摸出黑球的概率是多少? 1.温故知新:因为每一个球被摸出的可能性都相等,所以 “从甲、乙两个坛子中分别 摸出 1 个球,它们都是白球” 这个事件是一个等可能事件。那么,什么是等可能事件,它 的概率如何计算呢?
1 2.解决问题: (1)显然,一次试验中可能出现的结果有 n= C5 C 4 =20 个,而这个事件包
1 1 含的结果有 m= C3 C1 =3,根据等可能事件的概率计算公式得:P1=

_

_

_

_

1

m 3 ? 。 n 20

1 1 C2 C 6 3 (2)同(1)可得:P2= 1 3 ? ? 。 1 C5 C4 20 10 1 1 C3 C 9 (3)同理:P3= 1 3 ; ? 1 C5 C4 20

3.深入研究:设“从甲坛子中摸出一个球是白球”叫做事件 A, “从乙坛子中摸出一个 球是白球”叫做事件 B; 由等可能事件的概率计算公式可得: P(A)=
1 C3 C11 1 3 = , P(B)= = . 1 1 5 4 C5 C4

显然“从甲坛子中摸出一个球是黑球”是事件 A 的对立事件 A , “从乙坛子中摸出一个 球是黑球”是事件 B 的对立事件 B 。同样可得: P( A )=
_
1 1 _ C3 C2 2 3 = , P( )= = . B 1 1 C5 5 C4 4

_

_

【思考】①P1 、P2

、P3 之间有何关系?这个关系说明什么问题?
_ _

②P1 与 P(A) 、P(B)有何关系?P2 、P3 与又 P(A) 、P(B)或 P( A ) 、P( B )有何关系

呢? ③根据以上问题,你能否归纳出一般的结论? 4.归纳结论: 两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积。 我们把两个事件 A、 B 同时发生记作 A·B,则有 P(A·B)= P(A) ·P(B) 推广:如果事件 A1,A2,?An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事 件发生的概率的积。即: P(A1·A2·?·An)= P(A1) ·P(A2) ·?·P(An) 三、深刻理解: 1.互斥事件与相互独立事件有何区别? 两事件互斥是指两个事件不可能同时发生; 两事件相互独立是指一个事件的发生与否对 另一事件发生的概率没有影响。 2.下列各对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?为什么? (1)“掷一枚硬币,得到正面向上”与“掷一枚骰子,向上的面是 2 点”; (2)“在一次考试中,张三的成绩及格”与“在这次考试中李四的成绩不及格”; (3)在一个口袋内装有 3 个白球和 2 个黑球,则“从中任意取出 1 个球,得到白球” 与“从中任意取出 1 个球,得到黑球”; (4)在一个口袋内装有 3 个白球和 2 个黑球,则“从中任意取出 1 个球,得到白球” 与“在剩下的 4 个球中,任意取出 1 个球,得到黑球”。 3.已知 A、B 是两个相互独立事件,P(A) 、P(B)分别表示它们发生的概率,则:1-P (A)·P(B)是下列那个事件的概率 A.事件 A、B 同时发生; B.事件 A、B 至少有一个发生; C.事件 A、B 至多有一个发生; D.事件 A、B 都不发生; 四、熟练应用 【例】甲、乙 2 人各进行一次射击,如果 2 人击中目标的概率都是 0.6,且相互之间没 有影响,计算: (1)2 人都击中目标的概率; (2)2 人都没有击中目标的概率; 解: (1)P=0.6 ? 0.6=0.36; (2)P=(1-0.6) ? (1-0.6)=0.16; 【练习】 在某段时间内,甲地下雨的概率是 0.2,乙地下雨的概率是 0.3,假定在这段时间内两地 是否下雨相互之间没有影响,计算在这段时间内,两地都不下雨的概率。 (0.56) 五、首尾呼应 回到本节课开始的问题:P=0.7 ? 0.7=0.49 。 六、小结与作业 1.小结:相互独立事件,相互独立事件同时发生的概率乘法公式。 2.作业: (1)课本 P156 习题 10.7 :1,2,3 (2)思考:相互独立事件与互斥事件的比较。 (表)

N 次独立重复试验恰有 K 次发生的概率

例 1 变式 甲乙丙三人各射击一次,三人击中目标的概率都是 0.6,求其中恰有一人击中目标的概 率和目标被击中的概率。 (0.288) (0.936) 例 2 变式 1 如图, 每个开关闭合的概率都为 0.7, 计算这段时间内线路正常工作的概率。 0.6811

变式 2 如图,每个开关闭合的概率都是 0.7,计算这段时间内线路正常工作的概率。 (提示:反向思考较为简单。 (0.847))

3、甲乙两战士向同一目标各射击一次 设 A={甲战士射中目标} B={乙战士射中目标} (1) 甲乙两战士同时射中; (2) 甲乙两战士中至少有一人射中; (3) 甲乙两战士中恰有一个射中。 强化训练 1、一袋中有 8 个白球,4 个红球,另一袋中有 6 个白球,6 个红球,从每袋中任取一个球, 问取得颜色相同的球的概率是多少? (1/2) 2、从甲乙丙三种零件中各取 1 件组成某产品所有三零件必须都是正品,所得产品才是合格 品,已知三种零件的次品率分别是 2%、3%、5%,求产品的次品率?(结果保留四位有效 数字) (0.0969) 3、某战士射击中靶的概率为 0.99,若连续射击两次,求: (1) 两次都中靶的概率; (0.9801) (2) 至少有一次中靶的概率; (0.9999) (3) 至多有一次中靶的概率。 (0.0199) 4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击,已知甲击中敌机的概率是 0.6,乙击中敌机的概率为 0.5,求 (1)求敌机被击中的概率; (0.8) (2)已知甲乙两炮都击中敌机时,敌机才坠毁,求敌机坠毁的概率。 (0.3) 5、甲厂生产的脱粒机,每台连续使用不少于 10 年的概率是 2/5,乙厂生产的脱柴油机,每 台连续使用不少于 10 年的概率是 3/5,将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用,求下列各 事件的概率: (1) A(脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于 10 年) ; 6/25 (2) B(只有脱粒机的连续使用期不少于 10 年) 4/25

(3) C(至少有一台机器的连续使用期不少于 10 年 19/25 6、有 4 名学生参加体育达标测验,4 人各自合格的概率分别是 1/3,1/4,1/5,1/6,求以下 的概率: (1)四人中至少有二人合格的概率; 43/180 (2)四人中恰好只有二人合格的概率。 71/360


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