当前位置:首页 >> >>

18版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2直线与圆的位置关系学案苏教版必修2

内部文件,版权追溯 内部文件,版权追溯

2.2.2

直线与圆的位置关系

1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法.(重点) 2. 能利用圆心到直线的距离、 半弦长、 圆的半径三者之间的关系, 解有关弦长的问题. (重 点) 3.理解一元二次方程根的判定及根与系数关系,并能利用它们解一些简单的直线与圆 的关系问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 直线与圆的位置关系及判断方法 阅读教材 P112~P113 例 1 上面的部分,完成下列问题. 直线 Ax+By+C=0(A +B ≠0)与圆(x-a) +(y-b) =r (r>0)的位置关系及判断 位置关系 公共点个数 几何法: 设圆心到直线 判 定 方 法 的距离 d= |Aa+Bb+C| 相交 两个 相切 一个 相离 零个
2 2 2 2 2

d<r

d=r

d>r

A2+B2
代数法:由 错误!消元得到一元二 次方程,判别式为 Δ Δ >0 Δ =0 Δ <0

图形

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
1

(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(×) (2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解.(√) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解.(√)

2. 已知点 M(a, b)在圆 O: x +y =1 外, 则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是________. 【解析】 由题意知点在圆外,则 a +b >1,圆心到直线的距离 d= 与圆相交. 【答案】 相交 3.直线 x+y+m=0 与圆 x +y =m(m>0)相切,则 m 的值为________. |m| 【解析】 由直线与圆的距离 d= = m,解得 m=2. 2 【答案】 2 4.设直线 y=x+2a 与圆 C:x +y -2ay-2=0 相交于 A,B 两点,若|AB|=2 3,则 圆 C 的面积为________. 【解析】 圆 C:x +y -2ay-2=0 化为标准方程是 C:x +(y-a) =a +2, 所以圆心 C(0,a),半径 r= a +2.|AB|=2 3,点 C 到直线 y=x+2a 即 x-y+2a= |0-a+2a| ?2 3?2 ?|0-a+2a|?2 2 2 0 的距离 d= ,由勾股定理得? ? +? ? =a +2,解得 a =2, 2 ? 2 ? ? ? 2 所以 r=2,所以圆 C 的面积为 π ×2 =4π . 【答案】 4π
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

1

a +b2

2

<1,故直线

[小组合作型]

直线与圆的位置关系的判断 已知直线 y=2x+1 和圆 x +y =4,试判断直线和圆的位置关系. 【精彩点拨】 法一:利用代数法;法二:利用几何法;法三:利用直线方程(此题直 线过定点(0,1)). 【自主解答】 法一:∵? ∴5x +4x-3=0. 判别式 Δ =4 -4×5×(-3)=76>0.
2
2 2 2 2

? ?y=2x+1, ?x +y =4, ?
2 2

∴直线与圆相交. 法二:∵x +y =4, ∴圆心为(0,0),半径 r=2. 又∵y=2x+1, |2×0-0+1| 5 ∴圆心到直线的距离 d= = <2=r. 2 2 5 2 +1 ∴直线与圆相交. 法三:由题意知,直线过定点(0,1). 而 0 +1 =1<4. 所以点(0,1)在圆内,从而直线与圆相交.
2 2 2 2

直线与圆位置关系的判定方法

[再练一题] 1.已知直线方程 mx-y-m-1=0,圆的方程 x +y -4x-2y+1=0.当 m 为何值时,圆 与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点. 【解】 法一:将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化简整理得, (1+m )x -2(m +2m+2)x+m +4m+4=0. ∵Δ =4m(3m+4), 4 (1)当 Δ >0,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 3
2 2 2 2 2 2

3

4 (2)当 Δ =0,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 3 4 (3)当 Δ <0,即- <m<0 时, 直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 3 法二:已知圆的方程可化为(x-2) +(y-1) =4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离
2 2

d=

|2m-1-m-1| |m-2| = . 2 2 1+m 1+m

4 (1)当 d<2,即 m>0 或 m<- 时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 3 4 (2)当 d=2,即 m=0 或 m=- 时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公共点; 3 4 (3)当 d>2,即- <m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点. 3

直线与圆的相交弦问题 (1)已知圆 x +y +2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实 数 a 的值是__________. (2)已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x +y -2x-4y=0 截得的弦长为 4,则直线 l 的方 程为__________. 【导学号:41292106】 【精彩点拨】 (1)将圆的一般方程化为标准方程,利用弦心距、半弦长和半径构成直 角三角形求解.(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜 率的方程求解,验证斜率不存在的情况. 【自主解答】 (1)将圆的方程化为标准方程为(x+1) +(y-1) =2-a, 所以圆心为(- |-1+1+2| 2 2 1,1), 半径 r= 2-a, 圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d= = 2, 故 r -d =4, 2 即 2-a-2=4,所以 a=-4. (2)当直线斜率不存在时,x-2=0 满足题意; 当直线斜率存在时,设方程为 y-5=k(x-2), 即 kx-y-2k+5=0. 圆 C:x +y -2x-4y=0 可化为(x-1) +(y-2) =5,因为直线 l 被圆 C:x +y -2x -4y=0 截得的弦长为 4, 所以 2 5-? 4 ?|k-2-2k+5|?2 ? =4,所以 k=3,所以直线 l 的方程为 4x-3y+7=0. 2 k +1 ? ?
4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

综上所述,直线 l 的方程为 x-2=0 或 4x-3y+7=0. 【答案】 (1)-4 (2)x-2=0 或 4x-3y+7=0

解决与圆有关的弦长问题时,多采用几何法,即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三 角形中求解.

[再练一题] 2.过点(3,1)作圆(x-2) +(y-2) =4 的弦,其中最短的弦长为________. 【解析】 最短的弦为过点(3,1)且与圆心(2,2)和点(3,1)连线的垂直的弦, 弦长 l=2 4- 【答案】 2 2 [探究共研型] -
2 2 2





2

=2 2.

圆的切线问题 探究 1 求过点 P(3,4)的圆 C:x +y =25 的切线方程. 【提示】 ∵点 P(3,4)在圆上,∴切点为 P,设切线斜率为 k. 3-0 3 则 k·kPC=-1,∴k=- =- . 4-0 4 3 切线方程为 y-4=- (x-3),即 3x+4y-25=0. 4
2 2

5? ? 2 2 探究 2 求过点 Q?-5, ?的圆 x +y =25 的切线方程. 2? ?

?5?2 2 【提示】 ∵(-5) +? ? >25,∴点 Q 在圆外. ?2?
若所求直线斜率存在,设切线斜率为 k, 5 则切线方程为 y- =k[x-(-5)], 2 5 即 kx-y+5k+ =0. 2 因圆心 C(0,0)到切线的距离等于半径 5,

5

所以

?5k+5? ? ? 2? ?
2

3 =5,∴k= . 4 k +1

3 15 5 故所求切线方程为 x-y+ + =0, 4 4 2 即 3x-4y+25=0. 若所求直线斜率不存在. 则直线方程为 x=-5,圆心 C(0,0)到 x=-5 的距离为 5,符合题意. 综上,过点 Q 的切线方程为 x+5=0 或 3x-4y+25=0. 已知圆 C:(x-3) +(y-1) =1. (1)过点 A(3,2),求圆的切线方程; (2)过点 B(4,-3),求圆的切线方程. 【精彩点拨】 (1)直线和圆相切,则过圆心和切点的直线与切线垂直.(2)直线和圆相 切,则圆心到直线的距离等于半径. 【自主解答】 (1)∵(3-3) +(2-1) =1, ∴A 在圆上. 由题意知圆心 C(3,1),直线 CA 无斜率, ∴切线斜率为 0, ∴所求切线方程为 y=2. (2)∵(4-3) +(-3-1) =17>1, ∴点 B 在圆外. ①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4). 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, |3k-1-3-4k| 15 所以 =1,解得 k=- . 2 8 k +1 15 所以切线方程为 y+3=- (x-4), 8 即 15x+8y-36=0; ②若切线斜率不存在,圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1,这时直线与圆也相切, 所以另一条切线方程是 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4.
2 2 2 2 2 2

过一点的圆的切线方程的求法 1.当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点
6

斜式方程可求得圆的切线方程.对于填空题可以直接利用以下两个结论: (1)当点(x0,y0) 在圆 x +y =r 上时,切线方程为 x0x+y0y=r ;(2)当点(x0,y0)在圆(x-a) +(y-b) =r 上时,切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r . 2.若点在圆外时,过这点的切线将有两条,但在设斜率来解题时可能求出的切线只有 一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
2 2 2 2 2 2 2 2

[再练一题] 2 2 2 3.已知圆的方程为 x +y =13,它与斜率为- 的直线相切,求该切线的方程. 3 2 【解】 设切线方程为 y=- x+b,即 2x+3y-3b=0, 3 |2×0+3×0-3b| 依题意得: = 13, 2 2 2 +3 13 解得 b=± . 3 ∴切线方程为 2x+3y+13=0 或 2x+3y-13=0.

1.直线 3x+4y+12=0 与圆(x-1) +(y+1) =9 的位置关系是________. |3×1-4×1+12| 11 【解析】 圆心(1,-1)到直线的距离为 = <3,∴直线与圆相交. 5 5 【答案】 相交 2.由点 P(1,3)引圆 x +y =9 的切线的长是________. 【解析】 点 P 到原点 O 的距离为 PO= 10,∵r=3,∴切线长为 10-9=1. 【答案】 1 3.已知直线 l:x- 3y+6=0 与圆 x +y =12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂 线与 x 轴交于 C,D 两点,则|CD|=________. 【解析】 如图所示,∵直线 AB 的方程为 x- 3y+6=0,
2 2 2 2

2

2

7

∴kAB=

3 ,∴∠BPD=30°, 3

从而∠BDP=60°. 在 Rt△BOD 中, ∵|OB|=2 3,∴|OD|=2. 取 AB 的中点 H,连接 OH,则 OH⊥AB, ∴OH 为直角梯形 ABDC 的中位线, ∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4. 【答案】 4

4.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆与直线 x+y+3=0 相切, 则圆 C 的方程为________. 【导学号:41292107】 【解析】 令 y=0,得 x=-1, 所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0), 即圆心 C(-1,0). |-1+0+3| 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r= = 2, 2 所以圆 C 的方程为(x+1) +y =2. 【答案】 (x+1) +y =2 5.已知圆 x +y =8,定点 P(4,0),问过 P 点的直线的斜率在什么范围内取值时,这条 直线与已知圆:(1)相切,(2)相交,(3)相离? 【解】 设圆心到直线的距离为 d,过 P 点的直线斜率为 k,由题意, 知斜率 k 存在,则其方程为 y=k(x-4), |k·0-0-4k| 4|k| 则 d= = . 2 2 1+k 1+k (1)d=r,即 (2)d<r,即 4|k| 1+ k 4|k| 1+k
2 2 2 2 2 2 2 2

= 8,∴k =1,∴k=±1 时,直线与圆相切.
2

2

< 8,∴k <1,即-1<k<1 时, 直线与圆相交.

8

(3)d>r,即

4|k| 1+k

2

> 8,∴k >1,即 k<-1 或 k>1 时,直线与圆相离.

2

9