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陕西省西工大附中2012-2013学年高二上学期期中考试数学理试题(必修3和选修2-1)

2012—2013 学年度第一学期模块质量检测试卷

高二数学(理科) (必修 3 和选修2-1)
一.选择题: 10 (共
小题,每题只有一个正确答案,每小题 4 分,满分 40 分)

1.某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家。 为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的 方法,抽取的中型商店数是( A.2 2.椭圆 B. 3 ) C. 5 D. 13

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点为 F1 、 F2 ,一直线过 F1 ,交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周 16 7

长为 ( A. 32

) B. 16 ). C. 8 D. 4

3.下列说法中,正确的是(

A.数据 5,4,4,3,5,2 的众数是 4 B.一组数据的标准差是这组数据的方差的平方 C.数据 2,3,4,5 的标准差是数据 4,6,8,10 的标准差的一半 D.频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数 4.椭圆两焦点坐标为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,两焦点恰好把长轴三等分,则该椭圆的标准方程 是( A. )
x2 y 2 ? ?1 9 8
x2 y 2 ? ?1 36 32

B.

x2 ? y2 ? 1 9

C.

D.

x2 ? y2 ? 1 36

5.已知命题 p :对于任意 x ? R, 都使得 sin x ? 1 ,则( A. ? p :存在 x ? R, 使得 sin x ? 1 C. ? p :存在 x ? R, 使得 sin x ? 1 B. D.
?



p :对于任意 x ? R, 使得 sin x ? 1 p :对于任意 x ? R, 使得 sin x ? 1


?

6.设 x, y ? R 则“ x ? 2且y ? 2 ”是“ x2 ? y 2 ? 4 ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( 0) 7.已知直线 l 过点 ? 2, ,当直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范

围是(

) B. ? 2,2) (
1 1 ( D. ? , ) 8 8

A. ? 2 2, 2) ( 2 C. ? (
2 2 , ) 4 4

8.一个容量为 n 的样本,分成若干组,已知某组的频数和频率分别为 40、0.125,则 n 的 值为( A.640 ) B.320 C.240 D.160

9.过直线 y ? x 上的一点作圆 ( x ? 5)2 ? ( y ?1)2 ? 2 的两条切线 l1,l2 ,当直线 l1,l2 关于
y ? x 对称时,它们之间的夹角为(

) C. 60? D. 90?

A. 30?

B. 45?

10.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1,若点 P 在平面 ABCD 内运动,使得 P 到直线 AB 和 A1D1 的距离平方和为 2,则动点 P 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.部分椭圆 ) D.两条直线

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)
?x ? y ? 2 ? 0 y ? 11.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?



12.已知 p 是 r 的充分不必要条件, q 是 r 的充分条件, s 是 r 的必要条件, q 是 s 的必要 条件。现有下列命题:① s 是 q 的充要 件;② p 是 q 的充分不必要条件;③ r
q 的必要不充分条件;④ ? p是 ?s 的必

条 是 要 件,

不充分条件; r 是 s 的充分不必要条 ⑤

则正确命题序号是



13.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人,并根据所得数据画了样 本的频率分布直方图(如右图) 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面

的关系, 要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查, [2500, 则在 3000) (元)月收入段应抽出 14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 人。

? a2 ? x2 y 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0)的焦距 2c ,过点 ? , 0 ? 做圆 a2 b ? c ?


x2 ? y 2 ? a2 的两切线 l1 , l2 , l1 ? l2 ,则椭圆离心率 e =
三、解答题(共 5 个小题,满分共 44 分) 15. (本题满分 8 分)

x2 y2 已知动点 M 到椭圆 2 ? 2 ? 1 的左焦点和右焦点的距离比为 2 : 3 ,求动点 M 13 12

的轨迹方程。 16. (本题满分 8 分) 某医院用甲、乙两种原料为的病人配营养餐,其营养成分和售价如下: 蛋白质 甲种原料(每 10 克) 乙种原料(每 10 克) 5 mg 铁质 10mg 售价 3元

7 mg

4 mg

2元

若病人每餐至少需要 35 mg 蛋白质和 40 mg 铁质,试问:应如何使用甲、乙 原料,才能既满足营养,又使费用最省? 17. (本题满分 8 分) 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x 万元) 4 ( 销售额 y(万元) 40 2 19 3 29 6 61 5 51

(Ⅰ)根据上表可得求线性回归方程;

(注: y ? a ? bx, 其中b ?

x1 y1 ? x2 y2 ? ? xn yn ? nx y x12 ? x2 2 ? ? xn 2 ? nx
2

; a ? y ? bx )

(Ⅱ)据此模型,估计广告费用为 9 万元时销售额为多少万元? 18. (本题满分 10 分) 从某实验中,得到一组样本容量为 60 的数据,分组情况如下: 分组 频数 频率 (Ⅰ)求出表中 m, a 的值; (Ⅱ)估计这组数据的平均数和中位数。 19. (本题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P ? 的轨迹为 C ,直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点。 (Ⅰ)写出 C 的方程; ??? ??? ? ? (Ⅱ)若 OA ? OB ,求 k 的值;
??? ??? ? ? (Ⅲ)若点 A 在第一象限,证明:当 k ? 0 时,恒有 OA ? OB 。

5~15 6

15~25 2l

25~35

35~45

m a
0.05

高二数学(理科)试题
题 号 答 案 C B C A C A 1 2 3 4 5 6

参考答案

一.选择题: 共 10 小题,每题只有一个正确答案,每小题 4 分,满分 40 分) ( 7 8 9 1 0 A

C

B

C

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分)
11.

3 2

;12.

①②④

;13.

25

;14.

2 2



三、解答题(共 5 个小题,满分共 44 分)
15. (本题满分 8 分) 解:设 M ( x, y ), 因为椭圆 由题意得:
2

x2 y2 ? 2 ? 1 ,所以焦点为 (?5, 0) , 132 12

MF1 MF2
2

?

( x ? 5)2 ? y 2 2 2 ? , ,所以 3 ( x ? 5)2 ? y 2 3

化简得: x ? y ? 26x ? 25 ? 0 ,经检验方程为所求方程。 16. (本题满分 8 分)

? 5 x ? 7 y ? 35 ? 解:由题意设甲,乙原料各 10x g、10y g,则需要费用 z ? 3x ? 2 y ,得约束条件: ?10 x ? 4 y ? 40 , ? x ? 0, y ? 0 ? ? 5x ? 7 y ? 35 14 画出可行域,在 ? 交点 ( , 3) 为最优解, 5 ?10 x ? 4 y ? 40 14 所以用甲原料 ? 10 ? 28( g ) ,乙原料 3 ?10 ? 30( g ) ,费用最省。 5
17. (本题满分 8 分) 解: (Ⅰ)由题意得 x ? 4, y ? 40 ,

b?

4 ? 40 ? 2 ?19 ? 3 ? 29 ? 6 ? 61 ? 5 ? 51 ? 5 ? 4 ? 40 ? 10.6 , 42 ? 22 ? 32 ? 62 ? 52 ? 5 ? 42 a ? 40 ? 4 ?10.6 ? ?2.4
线性回归方程: y ? ?2.4 ? 10.6 x

(Ⅱ)线性回归方程: y ? ?2.4 ? 10.6 x

y ? ?2.4 ? 10.6 ? 9 ? 93 (万元)
18. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ) m ? 60 ? 0.05 ? 3 , a ?

(60 ? 6 ? 21 ? m) ? 0.5 60 (Ⅱ)平均数 x ? 10 ? 0.1 ? 20 ? 0.35 ? 30 ? 0.5 ? 40 ? 0.05 ? 25 ; 0.5 ? 0.1 ? 0.35 ?10 ? 25 ? 26 。 中位数 0.5

19. (本题满分 10 分) 解. (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,长半轴为 2 ? (0 的椭圆.它的短半轴 b ? 故曲线 C 的方程为 x ?
2

22 ? ( 3) 2 ? 1 ,

y2 ? 1. 4

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 消去 y 并整理得 (k 2 ? 4) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 , 4 ? ? y ? kx ? 1. ?
故 x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 . k ?4 k ?4 ??? ??? ? ? 若 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
2

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? ?

3 3k 2 2k 2 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 , k2 ? 4 k ? 4 k ? 4
1 . 2
2

2 化简得 ?4k ? 1 ? 0 ,所以 k ? ?

2 2 2 2 (Ⅲ) OA ? OB ? x1 ? y1 ? ( x2 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4(1 ? x1 ?1 ? x2 )
2 2 2

???? 2 ?

???? 2 ?

? ?3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ?

6k ( x1 ? x2 ) . k2 ? 4
2

3 知 x2 ? 0 ,从而 x1 ? x2 ? 0 .又 k ? 0 , k ?4 ???? ???? ? ? ???? 2 ???? 2 ? ? 故 OA ? OB ? 0 ,即在题设条件下,恒有 OA ? OB .
因为 A 在第一象限,故 x1 ? 0 .由 x1 x2 ? ?