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算术平均数和几何平均数2


算术平均数和几何平均数

1. 定理1.如果 a, b ? R,那么 a 2

? b ? 2ab
2

(当且仅当a ? b 时取“=”)
1.指出定理适用范围: a, b ? R 2.强调取“=”的条件:a

?b

定理2:如果 a, b是正数,那么a ? b ? 2.
(当且仅当

ab

a ? b时取“=”)

2

a 注意:1.这个定理适用的范围: , b ? R
2.强调取“=”的条件:

?

推广:
a1 ? a 2 ? ? ? a n n ?
n

a 1 a 2 ? a n 其 中 a 1、 a 2、 、 a n ? R , n ? N ...

?

*

例1 已知x,y都是正数,求证: (1)如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有

最小值
(2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有

2 p

最大值
1 小 和定积最大,积定和最 2 S 4

变 式 : ( 1 ) 已 知 x ? 0, 求 函 数 y ? x ? (2) 已 知 0<x< (3 ) 已 知 0 < x < (4) 已 知 x> (5 ) 已 知 x < 1 2 5 4 5 4 1 3

1 x

最小值。

, 则 函 数 y ? 3 x (1 ? 3 x ) 最 大 值 。

,则 函 数 y ? x ( 2 ? 4 x )最 大 值 。 ,求 函 数 y ? 4x ? 2 ? 1 4x ? 5 1 4x ? 5 的最小值。

,问 函 数 y ? 4 x ? 2 ?

有最大值还是最小值。

构造定和或定积

利用法均值不等式证明不等式 例 ( 1 ) 已 知 a,b,c是 不 全 相 等 的 正 实 数 求 证 : a+b+c> ab ?
2 2 2

bc ?

ca

( 2 ) 求 证 : a ? b ? c ? a b ? b c ? ca


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