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3.4生活中的优化问题举例(教学设计)(1)(2)


3.4 生活中的优化问题举例(教学设计) (2) 课时) (1) (2 教学目标: 知识与技能目标: 会利用导数求利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用,提高将实际问题 转化为数学问题的能力。 过程与方法目标: 在利用导数解决实际问题中的优化问题的过程中,进一步巩固导数的相关知识,学生通过自主探究,体验数学发 现与创造的历程,提高学生的数学素养。 情感、态度与价值观目标: 在学习应用数学知识解决问题的过程中,培养学生善于发现问题、解决问题的自觉性,以及科学认真的生活态度, 并以此激发他们学习知识的积极性。 教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:将实际问题转化为数学问题,根据实际利用导数解决生活中的优化问题. 教学过程: 一.创设情景、新课引入 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们 知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. 二.师生互动,新课讲解 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 例 1(课本 P101 例 1) .海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报,要求版 2 心面积为 128dm ,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小?

128 dm,此时四周空白面积为 x 128 512 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 ? 2 x ? ? 8, x ? 0 。 x x
解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为 求导数,得

512 。 x2 512 ' 令 S ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,解得 x ? 16( x ? ?16 舍去) 。 x 128 128 ? ? 8。 于是宽为 x 16 S ' ( x) ? 2 ?
当 x ? (0,16) 时, S ( x) <0;当 x ? (16, ??) 时, S ( x) >0.
' '

因此, x ? 16 是函数 S ( x) 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最 小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适当的函数关系,并确定函数的定义域, 通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化 方案,使问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路:
1

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

例 2(课本 P102 例 2) .饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】 :某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8? r 分,其中 r 是瓶子的半径,
2

单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题: (1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子的半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是

4 y ? f ? r ? ? 0 . 2 ? r 3 ? 0? 8 2 ? ? .r 3
令 f ? ? r ? ? 0.8? (r 2 ? 2r ) ? 0 解得

? r3 ? ? ?8 ? r 2 0. ? ?3 ?

?r? ,0

6

r ? 2 ( r ? 0 舍去)

当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 ;当 r ? ? 2 , 6? 时, f ? ? r ? ? 0 . 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ? 2? ? 0 ,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润是负值. (2)半径为 6 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么发现? 有图像知:当 r ? 3 时, f ? 3? ? 0 ,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当 r ? 3 时, 利润才为正值. 当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 , f ? r ? 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润 越小,半径为 2 cm 时,利润最小. 例 3(课本 P102 例 3) .磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘,并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不 同半径所构成的同心轨道,扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元,根据其 磁化与否可分别记录数据 0 或 1,这个基本单元通常被称为比特(bit) 。 为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必需大于 m ,每比特所占用的磁道长度不得小于 n 。为了数据检索便利, 磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题:现有一张半径为 R 的磁盘,它的存储区是半径介于 r 与 R 之间的环形区域. (1) 是不是 r 越小,磁盘的存储量越大? (2) r 为多少时,磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息)? 解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 r 与 R 之间,由于磁道之间的宽度必需大于 m ,且最外面的磁道不存储任何信息,故磁道数
2

R?r 。由于每条磁道上的比特数相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满,即每条磁道上的比特 m 2? r 数可达 。所以,磁盘总存储量 n R?r 2? r 2? ? r(R ? r) × f (r ) ? m mn n (1)它是一个关于 r 的二次函数,从函数解析式上可以判断,不是 r 越小,磁盘的存储量越大.
最多可达 (2)为求 f (r ) 的最大值,计算 f ?(r ) ? 0 .

f ?(r ) ?

2? ? R ? 2r ? mn

令 f ?(r ) ? 0 ,解得 r ?

R 2

当r ?

R R 时, f ?(r ) ? 0 ;当 r ? 时, f ?(r ) ? 0 . 2 2 R 2? R 2 时,磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 2 mn 4

因此 r ?

例 4.汽油的使用效率何时最高 我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h)之间有一定的关系,汽油的消耗量 w 是 汽车速度 v 的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快,汽车的消耗量越大? (2) “汽油的使用率最高”的含义是什么? 分析:研究汽油的使用效率(单位:L/m)就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用 G 表示每千米平

w ,其中, w 表示汽油消耗量(单位:L) s 表示汽油行驶的路程(单位:km) , .这样, s 求“每千米路程的汽油消耗量最少” ,就是求 G 的最小值的问题. 通过大量的统计数据,并对数据进行分析、研究,人们发现,汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率 g (即每小
均的汽油消耗量,那么 G ? 时的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h)之间有如图所示的函数关系 g ? f ? v ? . 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率 g (即每小时 的汽油消耗量,单位:L/h)与汽车行驶的平均速度 v (单位:km/h)之间关系的问题,然后利用图像中的数据信息, 解决汽油使用效率最高的问题.

w w g 解:因为 G? ? t ? s v s t g g 这样,问题就转化为求 的最小值.从图象上看, 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率.进一步发现,当直 v v 线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为 90 km / h .
因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最小,此时的车速约为 90 km / h .从数值上看,每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即 f ? ? 90 ? ,约为 L.

3

例 5.在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的 方底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?

x _
x x

60 _

x _

60 _
60 ? x cm,得箱子容积 2

解法一:设箱底边长为 xcm,则箱高 h ?

V ( x) ? x 2 h ?

60x 2 ? x 3 2 3x 2 2

(0 ? x ? 60) .

V ?( x) ? 60 x ?

(0 ? x ? 60)

令 V ?( x) ? 60 x ?

3x 2 =0,解得 x=0(舍去) ,x=40, 2

并求得 V(40)=16 000 由题意可知,当 x 过小(接近 0)或过大(接近 60)时,箱子容积很小,因此,16 000 是最大值 答:当 x=40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16 000cm 解法二:设箱高为 xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得箱子容积
60-2x
3

王新敞
奎屯

新疆

(后面同解法一,略) V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x (0 ? x ? 30) . 由题意可知,当 x 过小或过大时箱子容积很小,所以最大值出现在极值点 处.
60 60-2x

x
60-2x 60-2x

x

60x 2 ? x 3 2 事实上,可导函数 V ( x) ? x h ? 、V ( x) ? (60 ? 2 x) 2 x 在各自 2

60

的定义域中都只有一个极值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而这个极值点就是最值点,不必考虑 端点的函数值 例 6.圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为 h,底半径为 R,则表面积 2 S=2π Rh+2π R
王新敞
奎屯 新疆

由 V=π R h,得 h ?
2

V ,则 ? R2 V 2 2V 2 S(R)= 2π R + 2π R = +2π R 2 ?R R

4



s?( R) ? ?

2V +4π R=0 R2

解得,R= 3

V V ,从而 h= = ? R2 2?

V 4V V =3 =2 3 ? ? V 2 ? (3 ) 2?

即 h=2R 因为 S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取,才能使所用材料最省?

S ? 2?R 2 提示:S=2 ?Rh + 2?R ? h= 2?R
2

?V(R)=

1 1 S ? 2?R 2 ? R 2 = ( S ? 2?R 2 ) R ? SR ? ?R 3 2 2 2?R

V ' ( R) )=0 ? S ? 6?R 2 ? 6?R 2 ? 2?Rh ? 2?R 2 ? h ? 2R .
例 7. 已知某商品生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q, 价格 p 与产量 q 的函数关系式为 p ? 25 ?

1 q. 求 8

产量 q 为何值时,利润 L 最大? 分析:利润 L 等于收入 R 减去成本 C,而收入 R 等于产量乘价格.由此可得出利润 L 与产量 q 的函数关系式,再用 导数求最大利润. 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q ,
2

? ?

1 ? 8 ? ? ?

1 8

2 2 利润 L ? R ? C ? ? 25q ? q ? ? (100 ? 4q) ? ? q 21q ? 100 (0 ? q ? 100)

? ?

1 8

1 8

1 L? ? ? q ? 21 4
令 L? ? 0 ,即 ?

1 q ? 21 ? 0 ,求得唯一的极值点 q ? 84 4
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

答:产量为 84 时,利润 L 最大 例 8.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得 湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高 h 和下底边长 b. 解:由梯形面积公式,得 S=

1 3 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b 2 3


∴AD=

1 2 3 3 2 3 h ? 2b)h ? ( h ? b)h h+b, ∴S= ( 2 3 3 3
h 2 2 ? h ,AB=CD.∴l= h ×2+b cos30? 3 3


∵CD=

由①得 b=

4 3 S 3 S S 3 h? ? h ? 3h ? ? h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
5

l′= 3 ?

S S S S =0,∴h= , 当 h< 时,l′<0,h> 时,l′>0. 2 4 4 4 h 3 3 3

∴h=

24 3 S 时,l 取最小值,此时 b= S 4 3 3

例 9.已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线上,求这种矩形中面 积最大者的边长. 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y) ,且 x >0,y >0, 则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y) , 在 x 轴上的两个顶点为(-x,0)(x,0) 、 ,其中 0< x <2. 2 设矩形的面积为 S,则 S =2 x(4-x ) ,0< x <2. 由 S′(x)=8-6 x2=0,得 x = x =

2 3 ,易知 3

4 是 S 在(0,2)上的极值点, 3 2 8 3和 . 3 3

即是最大值点, 所以这种矩形中面积最大者的边长为

【点评】 应用题求解,要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件.应用题的分析中如确定有最小值,且极小值 唯一,即可确定极小值就是最小值. 例 10:一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费 30 元,每千册书存放 一年要耗库费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之 和最少? 【解】假设每次进书 x 千册,手续费与库存费之和为 y 元, 由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即

x ,故有 2

150 x 4500 ×30+ ×40,y′=- 2 +20, x 2 x 9000 令 y′=0,得 x =15,且 y″= 3 ,f″(15)>0, x
y = 所以当 x =15 时,y 取得极小值,且极小值唯一, 故 当 x =15 时,y 取得最小值,此时进货次数为

150 =10(次) . 15

即该书店分 10 次进货,每次进 15000 册书,所付手续费与库存费之和最少. 例 11:有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸,乙城离岸 40 千米,乙城到岸的垂足与甲城相距 50 千米,两城在 此河边合设一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元,问水厂应设在河边的何处, 才能使水管费用最省? 【解】设水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米,总费用为 y 元, 则 CD = x 2 ? 402 . y =500(50-x)+700 x2 ? 1600 =25000-500 x +700 x2 ? 1600 ,

6

? 1 y′=-500+700 · (x 2+1600) 2 · x 2 2

1

=-500+

700x x 2 ? 1600



令 y′=0,解得 x =

50 6 . 3 50 6 千米时,总费用最省. 3

答:水厂距甲距离为 50-

【点评】 当要求的最大(小)值的变量 y 与几个变量相关时,我们总是先设几个变量中的一个为 x,然后再根据条件 x 来表 示其他变量,并写出 y 的函数表达式 f(x) . 三、课堂小结,巩固反思: 1.利用导数解决优化问题的基本思路:
建立数学模型

优化问题

用函数表示的数学问题
解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出 优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具。 四.布置作业 A 组: 1、 (课本 P104 习题 3.4 A 组 NO:1) 2、 (课本 P104 习题 3.4 A 组 NO:2) 3、 (课本 P104 习题 3.4 A 组 NO:3) 4、 (课本 P104 习题 3.4 A 组 NO:4) 5、 (课本 P104 习题 3.4 A 组 NO:5) 6、 (课本 P104 习题 3.4 A 组 NO:6) 7、某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x (吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 且生产 x 吨的成本为 R=50000+200x 元。 问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? (利润 =收入-成本) 。 解析:每月生产 x 吨时的利润为

p ? 24200 ?

1 2 x 5 ,

f ( x) ? (24200 ?

1 2 x ) x ? (50000 ? 200 x) 5

1 ? ? x 3 ? 24000 x ? 50000 ( x ? 0) 5 3 f ?( x) ? ? x 2 ? 24000 ? 0 , 5 由 ,解得 x1 ? 200 x2 ? ?200 (舍去) 因 f (x) 在 [0,??) 内 只 有 一 个 点 x ? 200 使 f ?( x) ? 0 , 故 它 就 是 最 大 值 点 , 且 最 大 值 为 : 1 f (200 ) ? ? ? 200 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 5 (元)
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元。
7

8、有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40km 的 B 处,乙 厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每 千米 3a 元和 5a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省? 解析:根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 xkm,则 ∵ BD=40,AC=50-x ∴ BC ?

BD2 ? CD 2 ? x 2 ? 402
2 2

又设总的水管费用为 y 元,依题意有: y ? 3a(5a ? x) ? 5a x ? 40 (0 ? x ? 50)

y ? ? ?3a ?

5ax x 2 ? 402 ,令 y ? ? 0 ,解得 x ? 30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义,函数在 x=30(km)处取得最小值,此时 AC=50-x=20 (km) ∴ 供水站建在 A、D 之间距甲厂 20km 处,可使水管费用最省。 9、一艘渔艇停泊在距岸 9km 处,今需派人送信给距渔艇 3 34km 处的海岸渔站,如果送信人步行每小时 5km,船速 每小时 4km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省? 分析:如图,设 BC 为海岸线,A 为渔艇停泊处,设 D 为海岸线上一点,CD=x,只需将时间 T 表示为 x 的函数, 即可确定登岸的位置。

解析:∵ AB ? 9, AC ? 3 34, BC ?

AC 2 ? AB2 ? 15
T? 1 1 x? (15 ? x) 2 ? 81 (0 ? x ? 15) 5 4

设 CD ? x ,由 A 到 C 所需时间为 T,则

1 15 ? x ? 5 4 (15 ? x) 2 ? 81 令 T ? ? 0 ,解得 x=3,在 x=3 附近, T ? 由负到正,因此在 x=3 处取得极小值。 T? ?
又 答:在距渔站 3km 处登岸可使抵达渔站的时间最省。 10.如图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个 角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方 形的边长为多少时,盒子容积最大?

T (0) ?

3 34 21 87 , T (15) ? , T (3) ? 4 4 20 ,比较可知 T(3)最小。

解:设小正方形的边长为 x 厘米,则盒子底面长为 8 ? 2x ,宽为 5 ? 2x

V ? (8 ? 2x)(5 ? 2x) x ? 4x3 ? 26x2 ? 40x
V ' ? 12 x 2 ? 52 x ? 40, 令V ' ? 0, 得x ? 1, 或x ? 10 10 x? 3 , 3 (舍去)

V极大值 ? V (1) ? 18

,在定义域内仅有一个极大值,
8

?V最大值 ? 18
11.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为 k (k ? 0) ,且知当利率为 0.012 时,存款量为 1.44 亿;又贷款的利率为 4.8% 时,银行吸收的存款能全部放贷出去;若设存款的利率为 x , x ? (0, 0.048) ,则当 x 为多少时,银行可获得最大收益?

解: 由题意, 存款量 f ( x) ? kx2 , 又当利率为 0.012 时, 存款量为 1.44 亿, x ? 0.012 时, y ? 1.44 ; 14 ? k. 1 ) 即 由 .4 (· 2 00 得 k ? 10000 ,那么 f ( x) ? 10000x2 , 银行应支付的利息 g ( x) ? x f ( x) ? 10000x3 , · 设银行可获收益为 y ,则 y ? 480x2 ? 10000x3 , 由于, y? ? 960 x ? 30000 x2 ,则 y ? ? 0 ,即 960 x ? 30000 x 2 ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 0.032 .
0.032) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 递增; 因为, x ? (0,
x ? (0.032, 0.048) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 递减;

2



故当 x ? 0.032 时, y 有最大值,其值约为 0.164 亿. 12.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔 流出,设箱体的长为 a 米,高为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a , b 的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a , b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小( A , B 孔的面积忽略不计) .

k , ab 其中 k (k ? 0) 为比例系数,依题意,即所求的 a , b 值使 y 值最小,根据题设,有 4b ? 2ab ? 2a ? 60(a ? 0,b ? 0) 得
解:设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 y ?

b?

30 ? a (0 ? a ? 30) . 2?a

k k k (2 ? a) ? ? . 2 ab 30a ? a 30a ? a 2 2?a ? ? 0 时, a ? 6 或 a ? ?10 (舍去) 当y .

于是 y ?

∵本题只有一个极值点, 当 a ? 6 时, b ? 3 , 即当 a 为 6 米, b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 13.用总长 14.8 的钢条做一个长方体容器的框架,如果所做容器的底面的一边长比另一边长多 0.5m,那么高是多少时 容器的容积最大?并求出它的最大容积.
解:设该容器底面矩形的短边长为 x cm,则另一边长为 ( x ? 0.5) m,此容器的高为 y ?

14.8 ? x ? ( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2x , 4

于是,此容器的容积为: V ( x) ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x) ? ?2x3 ? 2.2 x2 ? 1.6 x ,其中 0 ? x ? 1.6 ,
9

4 (舍去) , 15 1.6) 1) 因为, V ?( x) 在 (0, 内只有一个极值点,且 x ? (0, 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递增; x ? (11.6) 时, V ?( x) ? 0 ,函数 V ( x) 递减; ,
即 V ?( x) ? ?6x2 ? 4.4x ? 1.6 ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? ? 所以,当 x ? 1 时,函数 V ( x) 有最大值 V (1) ? 1? (1 ? 0.5) ? (3.2 ? 2 ?1) ? 1.8m3 , 即当高为 1.2m 时,长方体容器的空积最大,最大容积为 1.8m 3 .

x ) ,涨价后商品卖出的个数减少 bx 成,税率 10 是新价的 a 成,这里 a , b 均为常数,且 a ? 10 ,用 A 表示过去定价, B 表示卖出的个数. (1)设售货款扣除税款后,剩余 y 元,求 y 关于 x 的函数解析式; (2)要使 y 最大,求 x 的值.
14.由于某种商品开始收税,使其定价比原定价上涨 x 成(即上涨率为
x ? x ?? bx ?? a? ? ? bx ? ? 解: (1) 定价上涨 x 成, 即为 A ? 1 ? ? 时, 卖出的个数为 B ?1 ? ? , 纳税 a 成后, 剩余 y ? AB ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? . ? 10 ? ? 10 ? ? 10 ?? 10 ?? 10 ?

a ?? b 2 ? 1 b ? ? ? x ? ? ? ? x ? 1? , (2)上式整理得 y ? AB ?1 ? ? ? ? ? 10 ? ? 100 ? 10 10 ? ?
a ?? b 1 b? ? 当 y ? ? AB ?1 ? ? ? ? x ? ? ? , 10 ? ? 50 10 10 ? ?

令 y ? ? 0 ,则 x ?
ymax

5(1 ? b) 时, b a ? (1 ? b)2 ? ? AB ?1 ? ? · . ? 10 ? 4b
NO:1) NO:2)

B 组: 1、 (课本 P104 习题 3.4 B 组 2、 (课本 P104 习题 3.4 B 组

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