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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-3-2 抛物线的简单几何性质


成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
圆锥曲线与方程

第二章

圆锥曲线与方程

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第二章
2. 3 抛物线

第二章

圆锥曲线与方程

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第二章
第 2 课时 抛物线的简单几何性质

第二章

圆锥曲线与方程

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第二章

2.3

第2课时

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课程目标解读

第二章

2.3

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1.了解抛物线的几何性质,能运用抛物线的标准方程推 导出它的几何性质,同时掌握抛物线的简单画法. 2.能应用抛物线的性质解决有关问题 归纳,对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同.

第二章

2.3

第2课时

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重点难点展示

第二章

2.3

第2课时

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本节重点:抛物线的几何性质. 本节难点:抛物线几何性质的运用.

第二章

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学习要点点拨

第二章

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1.抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是:只有一个焦点、 一个顶点、一条对称轴和一条准线,没有中心和渐近线. 2.为了简化解题过程,有时可根据抛物线方程的特征利 用参数表示抛物线上动点的坐标,有时还可以利用抛物线的对 称性避免分类讨论. 3.要注意根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的 距离和到准线的距离相互转化.

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2.3

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4.在求解直线与抛物线的位置关系的问题时,要注意运 用函数与方程思想,将位置关系问题转化为方程根的问题. 5.焦半径 抛物线上一点与焦点 F 连接的线段叫做焦半径, 设抛物线 上任一点 A(x0,y0),则四种标准方程形式下的焦半径公式为

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2.3

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标准 方程 焦半径 |AF|

y2=2px (p>0) |AF|=x0+ p 2

y2=-2px (p>0)

x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

p p |AF|=y0+ |AF|= - |AF|= - 2 2 p x0 y0 2

6.p 表示焦点到准线的距离,p>0.p 值越大,抛物线的开口 越宽;p 值越小,抛物线的开口越窄.

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7.焦点弦问题 如图所示:AB 是抛物线 y2=2px(p>0)过焦点 F 的一条弦, 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),抛物线的准线 为 l.

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(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切; p (2)|AB|=2(x0+ )(焦点弦长与中点关系); 2 (3)|AB|=x1+x2+p; (4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1· x2 p2 = ,y1· y2=-p2. 4

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课前自主预习

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抛物线 y2=2px(p>0)的简单几何性质 1. 对称性:以-y 代 y,方程 y2=2px(p>0)不变,因此这条 抛物线是以 x 轴为对称轴的轴对称图形. 抛物线的对称轴叫做抛物线的 轴 ,抛物线只有一条对称 轴. 2. 顶点:抛物线和它的 轴 的交点叫做抛物线的顶点.

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3. 离心率: 抛物线上的点到 焦点 的距离和它到 准线 的距 离的比,叫做抛物线的离心率, 4. 通径:过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径,其长 为 2p . 5. 范围:由 y2=2px≥0,p>0 知 x≥0,所以抛物线在 y 轴 的 右 侧;当 x 的值增大时,|y|也 增大 ,这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸,P 值越大,它开口 越开阔.

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课堂典例讲练

第二章

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

待定系数法求抛物线的标准方程
已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,

并且经过点 M( 3,-2 3),求它的方程.

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[解析]

∵抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,

并且经过点 M( 3,-2 3), ∴可设它的标准方程为 x2=-2py(p>0). 又∵点 M 在抛物线上. 3 ∴( 3) =-2p(-2 3),即 p= 4 .
2

3 因此所求方程是 x =- y. 2
2

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[点评]

求抛物线的标准方程时,应先确定其形式,再由

条件确定待定系数.

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已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,准线过椭 x2 y2 圆 + =1 的焦点,求抛物线的方程. 16 52 [分析] 由椭圆方程可求椭圆的焦点坐标, 又抛物线的准

线过椭圆焦点,可求参数 p.

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[解析]

x2 y2 椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,焦点坐标为(0, 16 52

-6),(0,6). 故抛物线的准线方程为 y=-6 或 y=6. 当准线方程为 y=-6 时,设抛物线方程为 x2=2py(p>0), 则 p=12,所求抛物线的方程为 x2=24y; 当准线方程为 y=6 时,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 则 p=12,所求抛物线的方程为 x2=-24y. 故所求抛物线的方程为 x2=24y 或 x2=-24y.

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命题方向

抛物线的对称性

[例 2]

正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶

点在抛物线 y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.

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[解析]

如图, 设正三角形 OAB 的顶点 A、 B 在抛物线上,

2 且它们坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2),则 y1 =2px1,y2 2=2px2,

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2 2 2 又|OA|=|OB|,所以 x2 + y = x + y 1 1 2 2, 2 即 x1 -x2 2+2px1-2px2=0,

∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0, ∵x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2, 由此可得|y1|=|y2|,即线段 AB 关于 x 轴对称. 由于 AB 垂直于 x 轴,且∠AOX=30° , y1 3 2 ∴x =tan30° = 3 ,而 y1 =2px1,∴y1=2 3p, 1 于是|AB|=2y1=4 3p.

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[点评]

本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一

性质,但往往会直观上承认而忽略了它的证明.

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等腰 Rt△ABO 内接于抛物线 y2=2px(p>0), O 为抛物线的 顶点,OA⊥OB,则△ABO 的面积是( A.8p2 C.2p2 B.4p2 D.p2 )

[答案] B

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[解析]

由抛物线的对称性质及 OA⊥OB 知,直线 OA 的

方程为 y=x,
? ?y=x, 由? 2 ? ?y =2px,

得 A(2p,2p),则 B(2p,-2p),

1 ∴|AB|=4p,∴S△ABO=2· 4p· 2p=4p2.

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建模应用引路
命题方向
[例 3]

抛物线的焦点弦问题
求过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的弦长的最小值.

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[解析]

解法一: 如图, 设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦的

两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),并设焦点弦所在直线方程为 p p p x=my+2 ①,于是有 x1=my1+2,x2=my2+2,将①代入 y2 =2px,得 y2-2pmy-p2=0. 所以 y1+y2=2pm,y1y2=-p2.

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因为(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=4p2(m2+1). 所以|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 = m2?y1-y2?2+?y1-y2?2=2p(m2+1). 所以|AB|≥2p,故当 m=0,即过焦点的弦垂直于 x 轴时, 它的长度最小,其最小值为 2p.

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解法二:如图所示,设焦点弦 AB 的中点为 E,分别过 A, E,B 作准线 l 的垂线,垂足为 D,H,C,由抛物线定义知|AD| =|AF|,|BC|=|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|.

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由图可知|HE|≥|GF|,当且仅当 AB 与 x 轴垂直时,|HE|= |GF|,即|AB| min=2|GF|=2p.

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[点评]

解法一运用了弦长公式;解法二运用了抛物线的

几何意义,由此题我们可以得出一个结论:过抛物线焦点的所 有弦中,通径最短(当过焦点的弦垂直于 x 轴时,此弦为抛物线 的通径),但值得注意的是,若弦长小于通径,则此弦不可能过 焦点.

第二章

2.3

第2课时

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过抛物线 y2=8x 的焦点作直线 l, 交抛物线于 A, B 两点, 若线段 AB 中点的横坐标为 3,求|AB|的值.

第二章

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[解析]

由抛物线 y2=8x 知,p=4.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知: p p |AF|=x2+2,|BF|=x2+2, p p ∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+ +x2+ =x1+x2+p, 2 2 ∴x1+x2=|AB|-p. x1+x2 由条件知 2 =3,则 x1+x2=6, ∴|AB|-p=6,又∵p=4,∴|AB|=10.

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探索延拓创新
命题方向 最值问题

[例 4] 焦点.

设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点,F 为抛物线

(1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距 离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.

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2.3

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[解析]

(1)如图,易知抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程

是 x=-1,由抛物线的定义知:点 P 到直线 x=-1 的距离等 于点 P 到焦点 F 的距离.于是,问题转化为:在曲线上求一点 P,使点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最 小.显然,连 AF 交抛物线于 P 点,故最小值为 22+12,即 5.

第二章

2.3

第2课时

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(2)如图把点 B 的横坐标代入 y2=4x 中,得 y=± 12,因 为 12>2,所以 B 在抛物线内部,自 B 作 BQ 垂直准线于 Q, 交抛物线于 P1.

第二章

2.3

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此时,由抛物线定义知: |P1Q|=|P1F|. 那么|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q| =|BQ|=3+1=4. 即最小值为 4.

第二章

2.3

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[点评]

本题中的两个问题有一个共性,都是利用抛物线

的定义,即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距 离,从而构造出“两点间线段最短”或“点到直线垂线段最 短”使问题获解.

第二章

2.3

第2课时

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? 10? 定点 M?3, 3 ?与抛物线 y2=2x 上的点 P 之间的距离为 d1, ? ?

P 到抛物线准线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 取最小值时,P 点坐 标为( ) B.(1, 2)
?1 1? D.?8,-2? ? ?

A.(0,0) C.(2,2)

[答案] C

第二章

2.3

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[解析]

如下图.

第二章

2.3

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连接 PF,则 d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知 d1+d2 最小值 是|MF|,当且仅当点 P 在线段 MF 上时,等号成立,而直线 4? 1? MF 的方程为 y=3?x-2?,与 y2=2x,联立求得 x=2,y=2 或 ? ? 1 1 x=8,y=-2(舍去),所以,P 点坐标为(2,2).

第二章

2.3

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名师辨误作答
[例 6] 直线方程. [错解] 设直线方程为 y=kx+1, 消去 y,得 k2x2+2(k-1)x+1=0. 求过点 P(0,1)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点的

? ?y=kx+1, 由方程组? 2 ? ?y =2x,

由直线与抛物线只有一个公共点, 则 Δ=4(k-1)2-4k2=0, 1 1 所以 k=2,所以所求直线的方程为 y=2x+1.
第二章 2.3 第2课时

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[辨析]

本题造成错解的原因有两个:一是遗漏了直线不

存在斜率的情况,只考虑了斜率存在的直线;二是方程组消元 后的方程认定为二次方程,事实上,当二次项系数为零的一次 方程的解也符合题意.

第二章

2.3

第2课时

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[正解] 为

(1)若直线斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程
? ?x=0, 得? ? ?y=0.

? ?x=0, x=0,由? 2 ? ?y =2x,

即直线 x=0 与抛物线只有

一个公共点. (2)若直线的斜率存在,设为 k,则过点 P(0,1)的直线方程 为
? ?y=kx+1, y=kx+1,由方程组? 2 ? ?y =2x,

消去 y,得 k2x2+2(k-1)x

+1=0.

第二章

2.3

第2课时

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1 ? ?x= , 当 k=0 时,得? 2 ? ?y=1. 即直线 y=1 与抛物线只有一个公共点; 当 k≠0 时,直线与抛物线只有一个公共点,则 Δ=4(k- 1 1 1) -4k =0,所以 k=2,直线方程为 y=2x+1.综上所述,所
2 2

1 求直线方程为 x=0 或 y=1 或 y=2x+1.

第二章

2.3

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课堂巩固练习

第二章

2.3

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一、选择题 1.抛物线 y=-8x2 的准线方程是( 1 A.x=-16 1 C.y=-32 1 B.x=16 1 D.y=32 )

[答案] D

第二章

2.3

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[解析] 1 p 1 , = , 16 2 32

1 1 抛物线方程化为标准形式为 x =-8y,2p=8,p=
2

1 ∴抛物线 y=-8x 的准线方程是 y=32.
2

第二章

2.3

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2.顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线,过点(-1,2), 则它的方程是( )

A.y=2x2 或 y2=-4x B.y2=-4x 或 x2=2y 1 C.x =-2y
2

D.y2=-4x

[答案] A

第二章

2.3

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[解析]

∵抛物线的顶点在原点,坐标轴为对称轴,

∴抛物线的方程为标准形式. 当抛物线的焦点在 x 轴上时, ∵抛物线过点(-1,2), ∴设抛物线的方程为 y2=-2px(p>0). ∴22=-2p(-1).∴p=2. ∴抛物线的方程为 y2=-4x. 当抛物线的焦点在 y 轴上时,

第二章

2.3

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∵抛物线过点(-1,2), ∴设抛物线的方程为 x2=2py(p>0). 1 ∴(-1) =2p· 2,∴p= . 4
2

1 ∴抛物线的方程为 x = y. 2
2

[点评]

将点(-1,2)的坐标代入检验,易知选 A.

第二章

2.3

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3.过抛物线 y2=8x 的焦点,作倾斜角为 45° 的直线,则被 抛物线截得的弦长为( A.8 C.32 ) B.16 D.61

[答案] B

第二章

2.3

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[解析] y=x-2.

由抛物线 y2=8x 的焦点为(2,0),得直线的方程为

代入 y2=8x,得(x-2)2=8x,即 x2-12x+4=0. ∴x1+x2=12,弦长=x1+x2+p=12+4=16.

第二章

2.3

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二、填空题 4.顶点在原点,对称轴是 x 轴,并且顶点到焦点的距离 等于 6 的抛物线方程是________.
[答案] y2=24x 或 y2=-24x

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

∵顶点到焦点距离为 6,

P 即 =6,∴2P=24, 2 又∵对称轴为 x 轴, ∴抛物线方程为 y2=24x 或 y2=-24x.

第二章

2.3

第2课时

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三、解答题 5.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是 F(3,0). 1 (2)准线方程是 x=-4. (3)焦点到准线的距离是 2.

第二章

2.3

第2课时

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[解析]

(1)设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0)

又焦点 F(3,0),∴P=6,∴抛物线方程为 y2=12x. (2)由题意,设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0) 1 1 又准线方程为 x=-4,∴p=2 ∴抛物线方程为:y2=x. (3)∵焦点到准线的距离为 2, ∴抛物线的标准方程为 y2=± 4x 或 x2=± 4y.

第二章

2.3

第2课时

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课后强化作业(点此链接)

第二章

2.3

第2课时


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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-2-2 双曲线的简单几何性质_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 选修1-1 路漫漫其修远兮 ...
高二数学(人教A版)选修1-1课件2-3-2 抛物线的简单几何....ppt
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2-4-2 抛物线的简单几何性质...选修2-1 3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的___.在 顶点 方程 y2...
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人教A版 数学 选修1-1、1-2合订 第二章第 2 课时 双曲线的简单几何性质 第二章 圆锥曲线与方程 成才之路 高中新课程 学习指导 人教...
...2.3 第2课时 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选....ppt
成才之路2014-2015学年高中数学 2.32课时 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修1-1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。成才之路 数学人教A版 ...
【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练....doc
成才之路2014-2015学年高中数学(人教A版)选修1-1练习:2.3 第2课时 抛物线的简单几何性质] - 选修 1-1 第二章 2.3 第 2 课时 一、选择题 1.已知...
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成才之路高二数学 1、2-3-2抛物线的简单几何性质同步练习 新人教A版选修1-1_数学_高中教育_教育专区。2.3.2 抛物线的简单几何性质一、选择题 1.设抛物线...
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2.31课时 成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修2-1 课程目标解读 第二章 2.31课时 成才之路 高中新课程 学习指导 ...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:3-2-1 几个常用函数
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-2-1 双曲线及其标准方程_...即双曲线上点的几何性质,可以类比椭圆的定义来 理解. 还要注意到对“定值”的...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:2-1-2 椭圆的简单几何性质_... 选修1-1、1-2合订 3.根据椭圆几何性质解决实际问题时,关键是将实际问 题...
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成才之路 高中新课程 学习指导 人教A版 数学 选修1-1、1-2合订 1. 注意区分曲线在点 P 处的切线与过点 P 的曲线的切线. 2.导数公式与导数的...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件:2...2.理解抛物线标准方程中参数 p 的几何意义. 3.会...[例 3] 探索延拓创新 抛物线焦点弦性质 直线 l ...
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2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:...抛物线的几何性质,并利用它们的 几何性质解决有关...整理得(3k2+1)x2+6kmx+ 3m2-3=0, -6km 3...
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成才之路】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件:2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的简单几何性质 - 成才之路 数学 人教A版 选修1-1 1-2 ...
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