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二元关系和函数学习教材PPT课件


第四章 二元关系和函数 北京师范大学 2003年10月23日 1 本章主要内容: ?集合的笛卡尔积与二元关系 ?关系的运算 ?关系的性质 ?关系的闭包 ?等价关系和偏序关系 ?函数的定义和性质 ?函数的复合和反函数 2 4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 定义4.1 由两个元素x和y(允许x=y)按一定的 顺序排列成的二元组叫做一个有序对(也称序 偶),记作<x,y >,其中x是它的第一元素,y是它的 第二元素。 平面直角坐标系中点的坐标就是有序对,例 如,<1,-1 >,<2,0>,(1,1), (-1,1) ,…都代表坐标 系中不同的点。 3 有序对的特点: 1.当x?y时,<x,y>?<y,x>。 2.两个有序对相等,即 <x,y>=<u, v> 的充分必要条件是x=u且y=v。 4 定义4.2 一个有序n元组(n≥3)是一个有序对, 其中第一个元素是一个有序n-1元组,一个有 序n元组记作<x1,x2,…, xn>,即 <x1,x2,…, xn>= < <x1,x2,…, xn-1>, xn> 例如,空间直角坐标系中点的坐标 <1,-1,3>,<2,4.5,0>等 都是有序3元组。 n维空间中点的坐标或n维向量都是有序n元组。 5 定义4.3 设A,B为集合,用A中元素为第一元 素,B中元素为第二元素,构成有序对,所有这 样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿 积,记作A×B。符号化表示为 A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}. 例如,A={a,b},B={0,1,2},则 A× B ={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; B×A ={<0,a>,<0,b>, <1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}。 6 如果A中有m个元素,B中有n个元素, 则A×B和B×A中都有多少个元素? mn个 若<x,y>?A×B,则有 x∈A和y∈B。 若<x,y>?A×B,则有 x?A或者y ?B. 7 笛卡儿积运算的性质: 1.若A,B中有一个空集,则它们的笛卡儿积是空集, 即 ??B=B×?=? 2.当A≠B且A,B都不是空集时,有 A×B≠B×A。 所以,笛卡儿积运算不适合交换律。 3.当A,B,C都不是空集时,有 (A×B)×C≠A×(B×C). 所以,笛卡儿积运算不适合结合律。 8 4.笛卡儿积运算对∪或∩运算满足分配律即 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C); (B∪C)×A =(B×A)∪(C×A); A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C); (B∩C)×A =(B×A)∩(C×A)。 9 证明 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 证明 对于任意的<x,y>, <x,y>?A×(B∪C) ? x∈A∧y∈B∪C ? x∈A∧(y?B∨y∈C) ? (x∈A∧y?B)∨(x∈A∧y∈C) ? <x,y>?A×B∨<x,y>∈A×C ? (x,y)∈(A×B)∪(A×C). 所以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。 10 例4.1 设A={1,2},求P(A)×A 解 P(A)×A ={?,{1},{2},{1,2}}×{1,2} ={<?,1>,<?,2>,<{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>} 11 例4.2 设A,B,C,D为任意集合,判断以下 等式是否成立,说明为什么。 (1) (2) (3) (4) (A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D); (A

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