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2013年广东高考数学试题及答案(理科)


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
参考公式:台体的体积公式 V ? ( S 1 ? S 2 ? S 1 S 2 )h ,其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台 体的高. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则 M ? N =( ) A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 2.定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx 中,奇函数的个数是( ) A. 4 B.3 C.2 D.1 3.若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( ) A. (2,4) B. (2,-4) C. (4,-2) D.(4,2) 4.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表,则 X 的数学期望 E(X)=( ) X 1 2 3 P 3 5 3 3 1 A. B.2 C. D.3

1 3

2

2

5

10

10

5.某四棱台的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是(



A.4

B.

14 3

C.

16 3

D.6 )

6.设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? D.若 m ? ? , m // n, n // ? ,则 ? ? ?

7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0) ,离心率等于 ,则 C 的方程是(

2 3



x2 y2 A. ? ?1 4 5

x2 y2 ? ?1 B. 4 5

x2 y2 ? ?1 C. 2 5

x2 y2 D. ? ?1 2 5

8.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3…,n}.令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立},若(x,y,z)和(z,w,x)都在 s 中,则下列选项正确的是( ) A. (y,z,w)∈S, (x,y,w)?S B. (y,z,w)∈S, (x,y,w)∈S C. (y,z,w)?S, (x,y,w)∈S D. (y,z,w)?S, (x,y,w)?S 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 2 9.不等式 x +x-2<0 的解集为 . 10.若曲线 y=kx+lnx 在点(1,k)处的切线平行于 x 轴,则 k= . 11.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为 . 12.在等差数列{ an}中,已知 a 3+ a 8=10,则 3a5+ a 7=_______.

?x ? 4 y ? 4 ? 13.给定区域 D: ? x ? y ? 4 ,令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z}是 z=x+y ? x?0 ?
在 D 上取得最大值或最小值的点,则 T 中的点共确定____条不同的直线.

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos t ? y ? 2 sin t

(t 为参数) ,C 在点(1,1)处的切线为 L,一座标原点为极点,x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标,则 L 的极坐标方程为_________________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,AB 是⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,延长 BC 到 D 是 BC=CD,过 C 作⊙O 的切线交 AD 于 E. 若 AB=6,ED=2,则 BC=______. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos( x ? (1)求 f (? ) 的值; (2)若 cos ? ? , ? ? (

? 6

? ), x ? R . 12

3 5

3? ? ,2? ) ,求 f (2? ? ) . 3 2

17. (本小题满分 12 分)某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀工 人? (3)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率.

图4
18. (本小题满分 4 分)如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中,∠A =90° ,BC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点, CD ? BE ? 2 ,O 为 BC 的中点.将△ ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱椎 A? ? BCDE ,其中

A?O ? 3 . (1)证明: A?O ⊥平面 BCDE; (2)求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.

19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,已知 a1 ? 1, (1)求 a2 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (3)证明:对一切正整数 n,有

2S n 1 2 ? a n ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * . n 3 3

1 1 1 1 7 ? ? ??? ? . a1 a 2 a 3 an 4

20. (本小题满分 14 分)已知抛物线 c 的顶点为原点,其焦点 F(0,c) (c>0)到直线 L:x-y-2=0 的距 离为

3 2 .设 P 为直线 L 上的点,过点 P 做抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. 2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 L 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 L 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ( x ?1)e x ? kx 2 (k ? R) . (1)当k=1时,求函数 f ( x) 的单调区间;

( , 1? 时,求函数 f ( x) 在[0,k]上的最大值M. (2)当k∈

1 2

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)答案 数学(理科)
一、选择题 1-5.DCCAB 二、填空题 9.(-2,1) 10.-1 三、解答题 16. (1)由题意 f (? ) ? 2 cos(? (2)∵ cos ? ? , ? ? ( 6-8.DBB 11.7 12.20 13.6 14. ?sin (? ? ) ? 2

? 4

15. 2 3

3? 4 ,2? ) ,∴ sin? ? - . 5 2 3 2 7 4 3 24 2 ∴ cos 2? ? 2 cos ? - 1 ? 2 ? ( ) ? 1 ? ? , sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 ? (? ) ? ? ? 5 25 5 5 25 ? ? ? ? ? ? ∴ f (2? ? ) ? 2 cos( 2? ? ? ) ? 2 cos( 2? ? ) ? 2 (cos 2? cos ? sin 2? sin ) 3 3 12 4 4 4 2 2 7 24 17 . ? 2( cos 2? ? sin 2? ) ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? (? ) ? 2 2 25 25 25 17 ? 19 ? 20 ? 21 ? 25 ? 30 ? 22 . 17. (1)样本均值为 x ? 6 2 1 (2)根据题意,抽取的 6 名员工中优秀员工有 2 人,优秀员工所占比例为 ? , 6 3 1 故 12 名员工中优秀员工人数为 ? 12 ? 4 (人) . 3 3 5
(3)记事件 A 为“抽取的工人中恰有一名为优秀员工” , 由于优秀员工 4 人,非优秀员工为 8 人,故

? 6

? ? ? 2 ? ) ? 2 cos(? ) ? 2 ? ?1 6 12 4 2

4 ? 8 16 ? , 66 33 C 16 即抽取的工人中恰有一名为优秀员工的概率为 . 33
事件 A 发生的概率为 P( A) ?
1 1 C4 C8 2 12

?

18. (1)折叠前连接 OA 交 DE 于 F, ∵折叠前△ABC 为等腰直角三角形,且斜边 BC=6, 所以 OA⊥BC,OA=3,AC=BC= 3 2 又 CD ? BE ? 2 ∴BC∥DE, AD ? AE ? 2 2 ∴OA⊥DE, AD ? AE ? 2 2 ∴AF=2,OF=1 折叠后 DE⊥OF,DE⊥A′F,OF∩A′F=F ∴DE⊥面 A′OF,又 A?O ? 面A?OF ∴DE⊥A′O 又 A′F=2,OF=1,A′O= 3 ∴△A′OF 为直角三角形,且∠A′OF=90° ∴A′O⊥OF, 又 DE ? 面BCDE , OF ? 面BCDE ,且 DE∩OF=F, ∴A′O⊥面 BCDE. (2)过 O 做 OH⊥交 CD 的延长线于 H,连接 A?H ,

2 3 2 3 2 2 30 AO= A?H ? A?O 2 ? OH 2 ? ( ) ? ( 3) 2 ? , 2 2 2 2 OH 3 2 15 ∵∠A′HO 即为二面角 A? ? CD ? B 的平面角,故 cos∠A′HO= . ? ? A?H 5 30 2S n 1 2 1 2 ? a n ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * 中 n=1 得 2a1 ? a 2 ? ? 1 ? , ∴ a 2 ? 2a1 ? 2 ? 4 19. (1)令 3 3 n 3 3 2S n na na 1 2 1 2 1 ? a n ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N * ;得 S n ? n ?1 ? n 3 ? n 2 ? n ? n ?1 ? n(n ? 1)(n ? 2) (2)由 n 3 3 2 6 3 2 6 (n ? 1)a n ? 2 1 ? (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ∴ S n ?1 ? 2 6 (n ? 1)a n ? 2 nan ?1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) 两式相减得 S n ?1 ? S n ? 2 2 2 (n ? 1)a n ? 2 nan ?1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) ∴ a n ?1 ? 2 2 2 (n ? 1)a n ? 2 (n ? 2)a n ?1 1 ? ? (n ? 1)(n ? 2) ∴ 2 2 2 a n ? 2 a n ?1 a n ? 2 a n ?1 ? ? 1 ,∴ ? ?1 ∴ n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 a1 a2 a a ? 2, 2 ? 1 ? 1 又由(1)知 ? 1, 1 2 2 1
∴OH=

a an ? ∴? ∴ n ?n. 1为首相, 1为公差的等差数列, ? ?是以 n ?n? 2 * ∴ an ? n (n ? N ) .
(3)∵

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) 2 n n ? 1 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ? 1 n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ??? ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) a1 a 2 a3 an 2 3 2 2 4 2 n ?1 n ? 1 2 3 n 1 1 1 1 7 1 1 1 7 ? 1 ? (1 ? ? ? )? ? ( ? )? 2 2 n n ?1 4 2 n n ?1 4
?c?2 ?

20. (1)依题意得

3 2 , c ? 0 ,∴ c ? 1 . 2 2 ∴抛物线焦点坐标为(0,1) ,抛物线解析式为 x2=4y

2 2 x12 x2 x1 ? x2 x12 ? x2 , ) (2)设 A(x1, ) ,B (x2, ) ,∴可设 A 、B 中点坐标为 M ( 4 4 2 8 x x2 x x2 x x2 x x2 所以直线 PA: y ? 1 ( x ? x1 ) ? 1 ? 1 x ? 1 ,直线 PB: y ? 2 ( x ? x 2 ) ? 2 ? 2 x ? 2 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 x ? x2 x x x ? x2 x ? x2 x? 2 ? 1 ? 1 (x ? 1 ) 两式相减得 0 ? 1 2 4 4 2 2 x ? x2 x ? x2 ? 0,x? 1 ?0 ∵ x1 ? x 2 ,∴ 1 2 2 x ? x2 ∴ x0 ? 1 , ∴ x1 ? x2 ? 2 x0 2 x x2 x x ? x 2 x12 x1 x 2 ? ? 将 P( x0 , x0 -2)带入 PA: y ? 1 x ? 1 得 x0 ? 2 ? 1 1 2 4 2 2 4 4

∴ x1 x2 ? 4 x0 ? 8
2 2 2 ? 8 x0 ? 16 x0 ? 2 x0 ? 4 x12 ? x2 ( x ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 4 x0 ? 1 ? ? 8 8 8 2 2 x ? 2 x0 ? 4 ∴A 、B 中点坐标为 M( x0 , 0 ) 2 2 x2 ? x12 x ? x 2 x0 ∴直线 AB 的斜率 k AB ? ? 1 ? 4( x2 ? x1 ) 4 2



故直线 AB 的方程为 y ?

x0 x 2 ? 2 x0 ? 4 x0 ( x ? x0 ) ? 0 ? x ? x0 ? 2 . 2 2 2

(3)由于 A 点到焦点 F 的距离等于 A 点到准线 y=-1 的距离,
2 x12 x2 ? 1 ,|BF|= ?1 ∴|AF|= 4 4 2 x2 x2 xx x 2 ? x2 2 AF ? BF ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? ( 1 2 ) 2 ? 1 ? 1 ? ( x0 ? 2) 2 ? x0 ? 2 x0 ? 4 ? 1 4 4 4 4 3 9 2 ? 2 x0 ? 6 x0 ? 9 ? 2( x0 ? ) 2 ? 2 2 3 9 ∴当 x 0 ? 时, AF ? BF 取最小值 . 2 2 x 2 21. (1)k=1 时 f ( x) ? ( x ?1)e ? x ∴ f ?( x) ? e x ? ( x ? 1)e x ? 2x ? x(e x ? 2)

当 x<0 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e x ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递增; 0< x<ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e x ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递减; x>ln2 时 e x ? 2 ? 0 ,故 f ?( x) ? x(e x ? 2) ? 0 , f ( x) 单调递增; 综上, f ( x) 的单调增区间为 (??,0) 和 (ln 2,??) ,单调减区间为 (0, ln 2) . (2) f ?( x) ? e ? ( x ? 1)e ? 2kx ? x(e ? 2k )
x x x

1 ? k ? 1 ,∴ 1 ? 2k ? 2 2 由(1)可知 f ( x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,+∞)上单调递增 1 ( ? x ? 1) 设 g ( x) ? x ? ln 2 x, 2 2 1 ? 1? 则 g ?( x) ? 1 ? 2x x 1 1 1 ∵ ? x ? 1 ,∴ 1 ? ? 2 ,∴ ? 1 ? 1 ? ? 0 2 x x ?1 ? ∴ g ( x) ? x ? ln 2 x 在 ? , 1? 上单调递减. ?2 ? 1 ∵ ? k ? 1 , ∴ g (k ) ? g (1) ? 1 ? ln 2 ? 0 2 ∴ k ? ln 2k ? 0 即 k ? ln 2 k ∴ f ( x) 的在(0,ln2k)上单调递减,在(ln2k,k)上单调递增. ∴ f ( x) 的在[0,k]上的最大值应在端点处取得. 而 f (0) ? ?1 , f (k ) ? (k ? 1)e k ? 2k 3 ? f (1) ? ?1 ∴当 x=0 时 f ( x) 取最大值 ? 1 .



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