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[原创]2012年数学一轮复习精品试题第17讲 同角三角函数的基本关系式及诱导公式

第十七讲

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的 括号内.) 1.(2010· 全国Ⅰ)记 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( 1-k2 A. k C. k 1-k2 1-k2 B.- k D.- k 1-k2 1-k2 =-tan80° k ,tan100° )

解析:cos(-80° )=cos80° =k,sin80° = 1-k2,tan80° = =- 1-k2 k ,故选 B.

答案:B 1+sinx cosx 1 2.已知 =- ,那么 的值是( cosx 2 sinx-1 1 A. 2 1 B.- 2 C.2 ) D.-2

1+sinx sinx-1 sin2x-1 1+sinx cosx 1 1 解析:因为 · = =-1,从而由已知 =- 得 = . cosx cosx cos2x cosx 2 sinx-1 2 答案:A 3.若 cosα+2sinα=- 5,则 tanα=( 1 A. 2 B.2 C.- 1 2 D.-2 )

解析:由 cosα+2sinα=- 5,①,sin2α+cos2α=1,②) 将①代入②得( 5sinα+2)2=0, ∴sinα=- 答案:B 4.若 tanα=2,则 A.- 1 5 B.- 3 3 sinα-3cosα 的值是( sinα+cosα 1 C. 3 5 D. 3 ) 2 5 5 ,cosα=- .故选 B. 5 5

解析:由 tanα=2,则 答案:A

sinα-3cosα tanα-3 1 = =- ,选 A. 3 sinα+cosα tanα+1

5.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 a、b、α、β 都是非零实数,若 f(2008)=

1

-1,那么 f(2009)等于(

)

A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:∵f(2008)=asin(2008π+α)+bcos(2008π+β)=asinα+bcosβ=-1, ∴f(2009)=asin(2009π+α)+bcos(2009π+β) =-(asinα+bcosβ)=1. 答案:C 6.已知 sinα+cosα=1,则 sinnα+cosnα 等于( A.1 B.0 1 C. n-1 D.不能确定 2
?sinα+cosα=1, ?sinα=1, ?sinα=0, ? ? ? 解析:由? 2 解得? 或? 2 ?sin α+cos α=1, ? ? ? ?cosα=0, ?cosα=1.

)

∴sinnα+cosnα=1. 答案:A 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 6 分, 共 24 分, 把正确答案填在题后的横线上. ) 7.已知 tanα=2,则 2sinα-3cosα (1) =________; 4sinα-9cosα 2sin2α-3cos2α (2) =________; 4sin2α-9cos2α (3)4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=________. 解析:(1)注意到分式的分子与分母均是关于 sinα、cosα 的一次齐次式,将分子、分母 同除以 cosα(∵cosα≠0),然后整体代入 tanα=2 的值. 2sinα-3cosα 2tanα-3 2×2-3 = = =-1. 4sinα-9cosα 4tanα-9 4×2-9 (2)注意到分子、分母都是关于 sinα、cosα 的二次齐次式, ∵cos2α≠0,分子、分母同除以 cos2α,有 2sin2α-3cos2α 2tan2α-3 2×4-3 5 5 = = = .∴应填 . 7 4sin2α-9cos2α 4tan2α-9 4×4-9 7 (3)要注意到 sin2α+cos2α=1, 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α = 4sin2α-3sinαcosα-5cos2α sin2α+cos2α

4tan2α-3tanα-5 4×4-3×2-5 5 = = = =1.应填 1. 5 tan2α+1 4+1

2

答案:(1)-1

5 (2) 7

(3)1

评析:这是一组在已知 tanα=m 的条件下,求关于 sinα、cosα 的齐次式(即次数相同) 的问题,解答这类“已知某个三角函数,求其余三角函数值”的问题的常规思路是:利用 同角间的三角函数关系,求出其余三角函数值,这就需要根据 m 的取值符号,确定 α 角所 在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用“1”的代换,将所 求值的式子的分子、分母同除以 cosnα,用 tannα 表示出来,从而简化了解题过程,我们应 熟练掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟“具体问题、具体分析”的辩证思想方法. 8.化简 cos(-θ) cos(90° + θ) - cos(360° -θ)· tan2(180° -θ) cos2(270° +θ)· sin(-θ) =________. 解析:直接利用三角函数的诱导公式进行化简可得原式=-1. 答案:-1 π? 1 9.(2010· 广州模拟)已知 sin? ?α-4?=3,则 π ? cos? ?4+α?=________. π ?π ?π ?? ? 解析:cos? ?4+α?=cos?2-?4-α?? π 1 ? ? π? =sin? ?4 -α?=-sin?α-4?=-3. 1 答案:- 3 10.设 α=sin(sin2008° ),b=sin(cos2008° ),c=cos(sin2008° ),d=cos(cos2008° ),则 a, b,c,d 从小到大的顺序是________. 解析:∵2008° =5×360° +180° +28° , ∴a=sin(-sin28° )=-sin(sin28° )<0, b=sin(-cos28° )=-sin(cos28° )<0, c=cos(-sin28° )=cos(sin28° )>0, d=cos(-cos28° )=cos(cos28° )>0, 又 sin28° <cos28° ,∴b<a<d<c. 答案:b<a<d<c 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) π ? 2 2 11.(2011· 兰州模拟题)已知 3cos2(π+x)+5cos? ?2-x?=1,求 6sinx+4tan x-3cos (π-

3

x)的值. 1 解:由已知得 3cos2x+5sinx=1,即 3sin2x-5sinx-2=0,解得 sinx=- (sinx=2 舍 3 1 sin2x 1 8 - ?2= ,tan2x= 2 = , 去).这时 cos2x=1-? ? 3? 9 cos x 8 1? 1 8 25 故 6sinx+4tan2x-3cos2(π-x)=6×? ?-3?+4×8-3×9=- 6 . 2 1 12.(1)已知 tanα=3,求 sin2α+ cos2α 的值. 3 4 (2)已知 1 1 =1,求 的值. tanα-1 1+sinαcosα

2 2 1 sin α+ cos2α 3 4 2 2 1 2 解:(1) sin α+ cos α= 3 4 sin2α+cos2α 2 2 1 2 1 tan α+ ×32+ 3 4 3 4 5 = = 2 = . 2 8 tan α+1 3 +1 (2)由 1 =1 得 tanα=2, tanα-1

sin2α+cos2α 1 = 2 1+sinαcosα sin α+cos2α+sinαcosα = = tan2α+1 tan α+tanα+1
2

22+1 5 = . 2 +2+1 7
2

1 13.已知在△ABC 中,sinA+cosA= , 5 (1)求 sinA· cosA; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tanA 的值. 1 分析:可先把 sinA+cosA= 两边平方得出 sinA· cosA,然后借助于 A∈(0,π)及三角函 5 数符号法则可得 sinA 与 cosA 的符号,从而进一步构造 sinA-cosA 的方程,最后联立求解. 1 解:(1)∵sinA+cosA= ① 5 1 ∴两边平方得 1+2sinAcosA= , 25 ∴sinA· cosA=- 12 . 25 12 <0,且 0<A<π, 25

(2)由(1)sinAcosA=-

4

可知 cosA<0,∴A 为钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. (3)∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA 24 49 =1+ = , 25 25 又 sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0, 7 ∴sinA-cosA= ② 5 4 3 ∴由①,②可得 sinA= ,cosA=- , 5 5 4 5 sinA 4 ∴tanA= = =- . cosA 3 3 - 5 1 评析: sinα· cosα 与 sinα-cosα, sinα+cosα 存在内在联系, 即: sinα· cosα= [(sinα+cosα)2 2 1 -1],sinα· cosα= [1-(sinα-cosα)2].可“知一求二”. 2

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