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甘肃省嘉峪关市一中高三第六次模拟考试数学文试题 Word版含解析

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嘉峪关市一中 2014 届高三第六次模拟考试

数学(文)试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.)

1.设集合 S ={x | x ? ?2} , T ={x | ?4 ? x ? 1} ,则 S T ? ( )

A.[?4, ??)

B. (?2, ??)

C. [?4,1]

D. (?2,1]

【答案】A

【解析】因为集合 S ={x | x ? ?2} , T ={x | ?4 ? x ? 1} ,所以 S T ? [?4, ??) 。

2. 已知i是虚数单位,则 3 ? i ? ( 1? i

A. 2+i

B. 2-i

) C. 1+2i

D. 1-2i

【答案】D

【解析】

?3 ? ?1 ?

i ? ?1 ? i ? ?1 ?

i? i?

?

1

?

2i



3.函数 f (x) ? ln(x ? 1) ? 2 的零点所在的区间是( x

A. (1 ,1) 2

B. (1, e ?1)

C. (e ?1,2)


D. (2, e)

【答案】C

【解析】因为

f (e ?1) ? ln(e ?1?1) ? 2 ? 1? 2 ? 0 e ?1 e ?1



f

(2)

?

ln(2

? 1)

?

2 2

?

ln

3 ?1 ?

0

,所以函数

f

(x)

?

ln(x

? 1)

?

2 x

的零点所在的区间是 (e ?1,2) 。

4.已知 a ? 4,e 为单位向量,当 a,e 的夹角为 2? 时, a 在 e 上的投 3
影为( )

A. 2

B. ? 2

【答案】B

C. 2 3

D. ? 2 3

【解析】 a 在 e 上的投影为

a

cos 2? 3

?

4

?

? ??

?

1 2

? ??

?

?2



5.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

A. 2

B .4

C.8

【答案】C

) D. 16

【解析】第一次循环: S ? S ? 2k ? 1, k ? k ?1 ? 1;

第二次循环: S ? S ? 2k ? 2, k ? k ?1 ? 2 ;

第三次循环: S ? S ? 2k ? 8, k ? k ?1 ? 3,此时 k ? 3 不成立,结束循环,此时输出的 S 的
值为 8. 6. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩,统计如表,则这 100 人成绩的标准差为( )
分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10

A. 3

B. 3

C. 2 10 5

D. 8 5

【答案】C

【 解 析 】 因 为 x ? 5? 2? 0? ?4 ? 1? 0? ?3 ? 3? 30 ,2 所 3以0 1 100

S

2

?

1 100

?

??20 ? ?5

?

3?2

? 10 ?

?4

?

3?

?230??3 ? 3?

? 302? ?2 ? 3?

?10? ?21? 3?

? ?

?

8 5



2

所以这 100 人成绩的标准差为 2 10 。 5

10

7. 在区间?0,10? 内随机取出两个数,则这两个数的平方和也在区间?0,10? 内的概率是( )

A.

1 10

【答案】C

B.

10 10

C.

? 40

D.

? 4

【解析】在区间

?0,10?

内随机取出两个数,设这两个数为

x,

y

,则

?0 ??0

? ?

x y

? 10 ? 10

,若这两个

?0 ? x ? 10

数的平方和也在区间 ?0,10? 内,则 ??0 ? y ? 10

,画出其可行域,由可行域知:这两

??0 ? x2 ? y2 ? 10

10? ? 1

个数的平方和也在区间?0,10? 内的概率是

4

?

?



100 40

8 设 y ? f (x) 是一次函数,若 f (0) ? 1, 且f (1), f (4), f (13)成等比数列 ,则 f(2)+f(4)+…+f(2n)

等于( ) A.n(2n+3)

B.n(n+4)

C.2n(2n+3)

D.2n(n+4)

【答案】A

【解析】由已知可得,f(x)=kx+b,(k≠0),∵f(0)=1=k×0+b,∴b=1.

∵f(1),f(4),f(13)成等比数列,且 f(1)=k+1,f(4)=4k+1,f(13)=13k+1. ∴k+1,4k+1,13k+1 成等比数列,即(4k+1)2=(k+1)(13k+1),即 16k2+1+8k=13k2+14k+1,

从而解得 k=0(舍去),k=2,

f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(4×2+1)+…+(2n×2+1)=(2+4+…+2n)×2+n
=4× n(n ?1) +n=3n+2n2。 2

9、某三棱锥的三视图如上右图所示,该三棱锥的体积是( )

A. 8

B. 4

3

C. 2

D. 4

3

【答案】B

【解析】由三视图知:该几何体的为三棱锥,其中该三棱锥的

底面面积为 1 ? 4 ? 3 ? 6 ,三棱锥的高为 2,所以该三棱锥的体 2

积为V ? 1 ? 6? 2 ? 4 。 3

10、

f

(x)

?

?x2 ?

?

2,

x

?

0

,若 |

f

(x) |?

ax



x ?[?1,1] 上恒成立,实数 a

的取值范围是(C



?3x ? 2, x ? 0

A. (??,?1] ? [0,??) B. [0,1]

C. [?1,0]

D. [?1,0)

【答案】C

【解析】画出函数 y ?| f (x) | 和 y ? ax 的图像,有图像可知:要使 | f (x) |? ax ,需函数

y ?| f (x) | 的图像在函数 y ? ax 的图像的上方,当函数 y ? ax 的图像过点(-1,1)时,a=-1,

所以实数 a 的取值范围是[?1,0] 。

11 . 定 义 式 子 运 算 为

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2a3 将 函 数

f (x) ? 3 1

sin x
的图像向左平移
cos x

n (n ? 0) 个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则 n 的最小值为( )

A. ? 6
【答案】C

B. ? 3

C. 5? 6

D. 2? 3

【解析】 f (x) ? 3 1

sin x ?
cos x

3

cos

x

?

sin

x

?

2

cos

? ??

x

?

? 6

? ??

,将其图像向左平移

n

各单

位得到函数

y

?

2

cos

? ??

x

?

n

?

? 6

? ??

,因为其为偶函数,所以

n ? ? ? k? , k ? Z,即n ? ? ? ? k? , k ? Z ,又因为 n (n ? 0) ,所以 n 的最小值为 5? 。

6

6

6

12.已知 f (x) 为 R 上的可导函数,且满足 f (x) ? f '(x) ,对任意正实数 a ,下面不等式恒

成立的是( )

A. f (a) ? f (0)

B. f (a) ? f (0) C. f (a) ? ea f (0)

D.

ea

ea

f (a) ? ea f (0)

【答案】D

【解析】令 F (x) ?

f (x) ,因为 ex

f (x) ?

f

'( x)

,所以

F ?( x)

?

ex

f

?(x) ? ex e2x

f

(x)

?

0

,所以

函数 F(x) ?

f

(x) ex



R

上单调递减,所以对任意正实数

a



F

(

x)

?

f (x) ex

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13、

?x ? y ? 2 ? 0



x,

y

满足约束条件

??4x ? y

? ?

x

?

0

?

4

?

0

,若目标函数

z

?

ax

?

by(a

?

0,

b

?

0)

的最大值

?? y ? 0

为6

,则

log3

(

1 a

?

2 b

)

的最小值为________.

【答案】.1

?x ? y ? 2 ? 0

??4x ? y ? 4 ? 0

? ?

x

?

0

【 解 析 】 画 出 约 束 条 件 ?? y ? 0

的可行域,由可行域知目标函数

z ? ax ? by(a ? 0,b ? 0) 过 点 ( 2,4 ) 时 , 取 最 大 值 , 且 最 大 值 为 6 , 即

2a ? 4b ? 6所,以 a ? 2b ? 3







l

o

g3

1( ? a

2 b

?)

l3o?? ?

g5? 3

?2b 3?? a

?

a b

?? ????

?

???3l

o ?g5 3

???34?

,当且1仅当 b ? a ,即a ? 1, b ? 1时 ab

等号成立,所以

log3

(

1 a

?

2 b

)

的最小值

1.

14、在正三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,且侧棱 SA ? 2 3 , 则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为____ _.

【答案】36∏

【解析】在正三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,所以正三棱锥 S-ABC

的三条侧棱两两互相垂直,且 SA= 2 3 ,正三棱锥 S-ABC 的外接球即为棱长为 2 3 的正方

体的外接球.则外接球的直径 2R ? 2 3 ? 3 ? 6 ,所以外接球的半径为:3.故正三棱锥

S-ABC 的外接球的表面积 S=4?π R2=36π 。

15.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为双曲线的焦点,其余四个顶点都在双曲线上,

则该双曲线的离心率为



【答案】 3 +1
【解析】设正六边形 ABCDEF 的边长为 1,中心为 O,以 AD 所在直线为 x 轴,以 O 为原点, 建立直角坐标系,则 c=1,
在△AEF 中,由余弦定理得 AE2=AF2+EF2-2AF?EFcos120°=1+1-2(- 1 )=3, 2

x
16. 函数 f (x) ? 23 ,等差数列?an?中,a2 ? a5 ? a8 ? 6 ,则 f (a1) f (a2 )... f (a9 ) ? _______.
【答案】64

【 解 析 】 因 为 等 差 数 列 ?an? 中 , a2 ? a5 ? a8 ? 6 , 所 以 a5 ? 2 , 所 以
a1 ?…+a9
f (a1) f (a2 )... f (a9 ) ? 2 3 ? 26 ? 64 。
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B,C 的 对 边 分 别 为 a,b, c , 且

2a cos A ? b cosC ? c cos B .

(1)求角 A 的大小;

(2)若 a ? 6,b ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积.

18、(本小题满分 12 分).某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对

应数据:

x

2

4

5

6

8

y

30

40

60

50

70

(1)求回归直线方程;(2)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? (3)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值

n

?

?

? ?

(xi ? x)( yi ? y)

不超过 5 的概率.(参考数据: b ? i?1 n

)
?

? xi2 ? n x2

i ?1

20.(本题满分 12 分)已知动圆过定点 A(0,2), 且在 x 轴上截得的弦长为 4. (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程;
(2)点 P 为轨迹 C 上任意一点,直线 l 为轨迹 C 上在点 P 处的切线,直线 l 交直线:y=-1 于点 R,过点 P 作 PQ⊥l 交轨迹 C 于点 Q,求△PQR 的面积的最小值.
21.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? x ln x , g(x) ? ?x2 ? ax ? 3 .

(1)求函数 f (x) 在[t,t ? 2](t ? 0) 上的最小值;

(2)若存在

x0

?

[

1 e

,

e](e

是自然对数的底数,

e

?

2.71828

) ,使不等式 2 f (x0 ) ? g(x0 )

成立,求实数 a 的取值范围.

选考题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 本题满分 10 分. 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

如图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB , AC 的中点,直线 DE 交 ?ABC 的

外接圆于 F, G 两点。若 CF // AB ,证明:

(1) CD ? BC ;

G

A D EF

(2) ?BCD ?GBD 。

23.、(本小题满分 10 分)在直角坐标系中,以原点为极点,错误!未找到引

B

C

用源。轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,

已知过点错误!未找到引用源。的直线错误!未找到引用源。的参数方程为错误!未找到

引用源。 (为参数),直线与曲线 C 分别交于 M , N 两点。

(1)写出曲线 C 和直线的普通方程;
(2)若错误!未找到引用源。成等比数列,求错误!未找到引用源。的值 24、(本小题满分 10 分)

已知函数 f (x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f (x ? 2) ? 0 的解集为[?1,1] 。

(1)求 m 的值;

(2)解关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4m

参考答
一、选择题 ADCBCCCABCCD

二、填空题

13.1 14.36∏ 15. 3 -1 16.64
三、解答题

17(1)由

2a

cos

A

?

b

cos

C

?

c

cos

B

及余弦定理或正弦定理可得

cos

A

?

1 2

……4



所以 A ? ? 3

……5 分

(2) 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 b2+c2-bc=36.又 b+c=8,所以 bc=

238. ……9 分

由三角形面积公式 S=12bcsin A,得△ABC 的面积为7 3 3.

……12 分

18、解:(1)



?
b ? 6.5 于是可得:,

, ,

因此,所求回归直线方程为: (2)根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时,

(3)

(万元),即这种产品的销售收入大约为 82.5 万元。

基本事件:(30,40),(30,60),(30,50),(30,70),(40,60),(40,50),(40,70), (60,50),(60,70),(50,70)共 10 个, 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5 的有(60,50),
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为
19、解:(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,因为 A1B1 ? 面 A1D1DA ,所以 A1B1 ? AD1 . 在矩形 A1D1DA 中,因为 AA1=AD=2 ,所以 AD1 ? A1D .

所以 AD1 ? 面 A1B1D .

D

E

C

(2)当点 P 是棱 AA1 的中点时,有 DP ∥平面 B1AE .

理由如下:在 AB1 上取中点 M ,连接 PM,ME . A

因为 P 是棱 AA1 的中点, M 是 AB1 的中点,

所以

PM



A1B1 ,且 PM

?

1 2

A1B1 .

P



DE



A1B1

,且

DE

?

1 2

A1B1 .所以

A1

PM ∥ DE ,且 PM ? DE ,

B

M D1

C1 B1

所以四边形 PMED 是平行四边形, 所以 DP ∥ ME .

又 DP ? 面 B1AE , ME ? 面 B1AE ,所以 DP ∥平面 B1AE .

20(1) f '(x) ? ln x ?1

…… 1 分

AP

?

1 2

A1

A

?

1

? f (x) 在 (0, 1) 为减函数,在 (1 , ??) 为增函数

e

e

①当 t ? 1 时, f (x) 在[t, 1) 为减函数,在[1 , t ? 2] 为增函数,

e

e

e

?

f

( x)min

?

f (1) ? ? 1 ee

…… 4 分

②当 t

?

1 时, e

f

(x) 在[t,t

? 2] 为增函数,?

f

( x)min

?

f

(t)

? t ln t

(2)由题意可知, 2x ln x ? x2 ? ax ? 3 ? 0 在[1 , e] 上有解,即 e

…… 6 分

a ? 2x ln x ? x2 ? 3 ? 2 ln x ? x ? 3 在[1 , e] 上有解

x

xe



h(x)

?

2 ln

x

?

x

?

3 x

,即

a

?

h( x)max

…… 9 分

h '(x)

?

2 x

?1?

3 x2

?

x2

? 2x ?3 x2

?

(x ? 3)(x ?1) x2

?h(x) 在 (0,1) 为减函数,在 (1, ??) 为增函数,则在 (1 ,1) 为减函数,在 (1, e) 为增函 e

数 …… 13 分

?h(1) ? ?2 ? 1 ? 3e, h(e) ? 2 ? e ? 3

e

e

e

3 ?a ? h(x)max ? h(e) ? 2 ? e ? e
21(1)设 C(x,y),|CA|2-y2=4,即 x2=4y. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2=4y.

…… 12 分 …… 4 分

(2)C 的方程为 x2=4y,即y=14x2,故y'=12x,设 P(t,t42), PR 所在的直线方程为y-t42=2t(x-t),即y=2tx-t42,则点 R 的横坐标xR=t2- 2t 4,

|PR|=

1+t42|xR-t|=

4+t2(t2+4) 4|t|



…… 8 分

PQ 所在的直线方程为y-t42=-2t(x-t),即y=-2t x+2+t42,

??? 由

y=-2t x+2+t42 y=14x2

,得x42+2t x-2-t42=0,由xP+xQ=-8t

得点 Q 的横坐标为xQ=-8t-t,

|PQ|= 1+t42|xP-xQ|= 1+t42|8t +2t|=2 t2+t42 (t2+4),…… 10 分

∴S△PQR=21|PQ||PR|=(t42t+2|4t|)3,不妨设t>0 ,记f(t)=t2+t 4,(t>0),则当 t=2 时,f(t)min=4.

由S△PQR=41[f(t)]3,得△PQR 的面积的最小值为 16.

……12 分

22、证明:(1)、因为 D, E 分别为 AB, AC 的中点,所以 DE // BC ,又已知 CF // AB ,

故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF ? BD ? AD , 而 CF // AD ,连结 AF ,所以 ADCF 是平行四边形,故 AF ? CD ,因为 CF // AD ,所 以 AF ? BC ,故 CD ? BC (2)、因为 FG // BC ,故 GB ? CF ,由(Ⅰ)可知 CF ? BD ,所以 GB ? BD ,而 ?DGB ? ?EFC ? ?DBC ,故 ?DGB ?DBC 23、解:(1)C: y 2 ? 2ax,l : x ? y ? 2 ? 0

(2)将直线的参数表达式代入抛物线得

1 t 2 ? (4 2 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 2 ?t1 ? t2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t2 ? 32 ? 8a

| PM |?| t1 |,| PN |?| t2 |,| MN |?| t1 ? t2 |

| t1 ? t2 |2 ?| t1t2 |? (t1 ? t2 )2 ? 5t1t2 代入得 a ? 1

24、解:(1)∵ f (x ? 2) ? m ? x ? ??∴ x ? m ,

∴ m ? 0 ? ?m ? x ? m f (x ? 2) ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ? m ? 1

(2)当 x ? ?1时,原不等式可化为:1? 2x ? 4 ,解之得: x ? ? 3 2
当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式可化为: 3 ? 4 ,此时不等式无解 当 x ? 2 时,原不等式可化为: 2x ?1 ? 4 ,解之得: x ? 5
2

综上:此不等式的解集为 ??x ?

x

?

?

3 或x 2

?

5?

2

? ?