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山东省莱芜一中2012--2013学年高一上学期期末考试 数学


高一数学试题
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是正确的。 1.已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B 是函数 y ? lg(1 ? x 2 ) 的定义域,则 A. A = B B. A ? B ? C. B ? A ? D. A ? B ? ?

2.从四个公司按分层抽样的方法抽取职工参加知识竞赛, 其中甲公司共有职工 96 人. 若从甲、 乙、丙、丁四个公司抽取的职工人数分别为 12,21,25,43,则这四个公司的总人数为 A.101 B.808 C.1212 D.2012

3.已知定义域为 R 的函数 f (x) 满足: f ( x ? 4) ? f ( x) , f ( x) ? f (? x) ? 0 , ? 2 ? x ? 0 时, 且 当

f ( x) ? 2? x ,则 f (2013) 等于
A. 2 B.

1 2

C. 4

D.

1 4

4.甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正方体,六个面上分别为 l,2,3,4,5,6 点) ,所得点 数分别记为 x、y ,则 x ? y 的概率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

5 12

D.

7 12

5.已知 a ? log0.2 0.3 , b ? log1.2 0.8 , c ? 1.50.5 ,则 a、b、c 的大小关系为 A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b D. c ? b ? a 6.若 0 ? a ? 1 , b ? ?1 ,则函数 f ( x) ? a x ? b 的图像一定不经过的象限是 A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限 C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限 A=8 B=7 A=A+B B=A-B C=A*B A=C PRINT A,B

7.右边程序的输出结果为 A.15,1 C.56,8 8.下列说法正确的是

B.15,7 D.120,8

A.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 B.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件

C.事件 A、 B 中至少有一个发生的概率一定比 A、 B 中恰有一个发生的概率大 D.事件 A、 B 同时发生的概率一定比 A、 B 中恰有一个发生的概率小

-1-

9.一海豚在一长 30 m,宽 20 m 的长方形水池中游弋,则海豚嘴尖离岸边不超过 2 m 的概率为 A.

1 3
1 x3

B.

21 25

C.

23 75

D.

52 75
开始

10.函数 f ( x) ? A.0 C.2

1 ? ( ) x 的零点个数为 3
B.1 D.3

A=1,S=1 否 是 S=2S+1 A= A +1 (第 11 题图) y 输出 S 结束

11.执行如右图所示的程序框图,输出的结果是 511,则判断 框中应填入 A. A ? 8 B. A ? 8 C. A ? 9
x ?x

D. A ? 9

12.若函数 f ( x) ? (k ? 1)a ? a (a ? 0, a ? 1) 在 R 上 既是奇函数,又是减函数,则 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是
y y y

-2

-1

O

x

-2

-1

O

x

O

1 2

3

x

O

1 2

3

x

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共计 16 分。 13.计算: log2.5 6.25 ? lg 0.001 ? ln e ? 2 ?1?log2 3 = . .

14.若函数 y ?| log3 x | 在区间 (0, a ] 上单调递减,则实数 a 的取值范围为

15.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C ,现作一矩形,使邻边长分别等于线段 AC、CB 的 长,则该矩形面积大于 20cm 2 的概率为 .

16.已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 在区间 [0,?? ) 上是单调减函数,若 f (1) ? f (lg ) 则 x 的取 值范围为 .

1 x

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 17.(本小题满分 12 分)

6 函数 y ? log2 ( x 2 ? 3x ? 3) 的定义域为集合 A , B ? [?1,) , C ? {x | x ? a} .
(Ⅰ)求集合 A 及 A ? B ; (Ⅱ)若 C ? A ,求 a 的取值范围.

-2-

18.(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log3 (9x) ? log3 (3x) , ? x ? 9 .(Ⅰ)若 m ? log3 x ,求 m 取值范围; (Ⅱ)求 f (x) 的最值,并给出最值时对应的 x 的值. 19.(本小题满分 12 分) 朵朵小朋友用红、黄、蓝三种颜色的彩笔给下列三个图形随机涂色,每个图形只涂一 种颜色,求: (Ⅰ)三个图形颜色不全相同的概率; (Ⅱ)三个图形颜色恰有两个相同的概率. 20.(本小题满分 12 分) 为了了解小学五年级学生的体能情况,抽取了实验小学五年级部分学生进行踢毽子测试, 将所得的数据整理后画出频率分布直方图(如图) ,已知图中从左到右的前三个小组的频率分 别是 0.1,0.3,0.4,第一小组的频数是 5. (Ⅰ )求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数; (Ⅱ)在这次测试中,问学生踢毽子次数的中位数落 在第几小组内? (Ⅲ)在这次跳绳测试中,规定跳绳次数在 110 以上 的为优秀,试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少? 21.(本小题满分 13 分) 专家通过研究学生的学习行为,发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲 课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的 注意力开始分散,设 f (x) 表示学生注意力随时间 x (分钟)的变化规律( f (x) 越大,表明学生

1 9

?? x 2 ? 24 x ? 100 , ? x ? 10 0 ? 注意力越大),经过试验分析得知: f ( x) ? ?240 , ? x ? 20 10 ?? 7 x ? 380 , ? x ? 40 20 ?
(Ⅰ)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能坚持多少分钟? (Ⅱ)讲课开始后5分钟时与讲课开始后25分钟时比较,何时学生的注意力更集中? (Ⅲ)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经 过适当安排,老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目? 22.(本小题满分 13 分)

-3-

已知函数 f ( x) ? 1 ? (Ⅰ)求 a 的值;

4 (a ? 0且a ? 1) 是定义在 R 上的奇函数. 2a ? a
x

(Ⅱ)求函数 f (x) 的值域; (Ⅲ)当 x ? [1,??) 时, tf ( x) ? 2 x ? 2 恒成立,求实数 t 的取值范围.

频率 组距

49.5

74.5 99.5 124.5 149.5 次数 (第 20 题图)

高一数学参考答案
2013.1 一、选择题:1.C 2.B 3.A 4.C 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题:13. 1 三、解答题: 17. 解: (Ⅰ)由题意得, log2 ( x ? 3x ? 3) ? 0,
2 2 2 变形为 x ? 3x ? 3 ? 1, 即 x ? 3x ? 4 ? 0, 解得 x ? 4 或 x ? ?1

14. 0 ? a ? 1

15.

2 3

16. 0 ? x ?

1 或 x ? 10 10

∴ A ? x x ? 4 或 x ? ?1? (Ⅱ)∵ A ? x x ? 4 或 x ? ?1? ,

?

∵ B ? ?? 1,6? ∴ A ? B ? x 4 ? x ? 6 或 x ? ?1?

?

?

C ? ?x x ? a?又∵ C ? A

-4-

∴ a 的取值范围为 a ? ?1 18.解: (Ⅰ)∵

1 ? x ? 9 , m ? log3 x 为增函数, 9

∴ ? 2 ? log3 x ? 2 ,即 m 取值范围是 [?2,2] (Ⅱ)由 m ? log3 x 得: f ( x) ? log3 (9 x) ? log3 (3x) ? (2 ? log3 x) ? (1 ? log3 x)

3 1 ? ( 2 ? m ) ? (1 ? m ) ? ( m ? ) 2 ? , 2 4
又 ? 2 ? m ? 2 ,∴当 m ? log x ? ? 3

3 1 3 ,即 x ? 时 f (x ) 取 得 最 小 值 ? , 2 4 9
………………………12 分



m ? log3 x ? 2 ,即 x ? 9 时 f (x ) 取得最大值 12 .
19.解: (Ⅰ)设红、黄、蓝分别为 A、B、C 则总基本事件为

, , , , , , (A,A,A) (A,A,B) (A,A,C) (A,B,A) (A,B,B) (A,B,C)

( A, C , A) ( A, C , B) ( A , C , C ) , , ,
, , , , , , (B,A,A) (B,A,B) (B,A,C) (B,B,A) (B,B,B) (B,B,C)

( B, C , A) ( B, C , B) ( B , C , C ) , , ,
, , , , , , ( C , A, A) ( C , A, B) ( C , A , C ) ( C , B, A) ( C , B, B) ( C , B , C )

( C , C , A) ( C , C , B) ( C , C , C ) , , ,共 27 个,

……………………4 分

设三个图形颜色不全相同的事件为 M ,则 M 的对立事件 M 含有 3 个基本事件 ∴ P( M ) ? 1 ? P( M ) ? 1 ? 分 (或直接来处理) (Ⅱ)设三个图形颜色恰有两个相同的事件为 N ,则 N 含有 18 个基本事件 ∴ P( N ) ? 分 20.解: (Ⅰ)由题意可知第四小组的频率为 1 ? (0.1 ? 0.3 ? 0.4) ? 0.2 分 参加这次测试的学生人数为:5 ? 0.1 ? 50 (Ⅱ)由题意可知学生踢毽子次数的中位数落在第三小组内; ………………………4 分 ………………………7 分 …………………2

3 8 ? 27 9

……………………8

18 2 ? 27 3

(或利用对立事件来处理)

……………………12

(Ⅲ)因为组距为 25,而 110 落在第三小组,所以跳绳次数在 110 以上的频率为
-5-

125 ? 110 ? 0.4 ? 0.2 ? 0.44 , 所以估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是 44 % ………12 分 25
21.解: (Ⅰ)当 0 ? x ? 10 时, f ( x) ? ? x 2 ? 24x ? 100 ? ?( x ? 12) 2 ? 244是增函数, 且 f (10) ? 240 当 20 ? x ? 40 时, f (x) 是减函数,且 f 20) ? 240 所以讲课开始 10 分钟,学生的注意力最集中,能坚持 10 分钟. 分 (Ⅱ) f (5) ? 195 , f (25) ? 205,所以讲课开始后 25 分钟时,学生的注意力比讲课开始后 5 分 钟时更集中. 分 (Ⅲ) 当 0 ? x ? 10 时,令 f ( x) ? ? x 2 ? 24x ? 100 ? 180得 x ? 4 . 当 20 ? x ? 40 时令 ………………………8 ………………………5

f ( x) ? 180,得 x ? 28.57
所以学生的注意力在 180 以上,所持续的时间 28.57 ? 4 ? 24.57 ? 24 所以经过适当安排,老师能在学生达到所需的状态下讲完这道题目. 分 22.解: (Ⅰ)∵ f (x) 是奇函数 ∴ f ( ? x) ? ? f ( x) 又 f ( x) ? …………………13

2a x ? a ? 4 2a x ? a



2a ? x ? a ? 4 2a x ? a ? 4 ?? , 2a ? x ? a 2a x ? a

即 (a ? 2)[2a 2 x ? (a ? 2)a x ? 2] ? 0 对任意 x 恒成立, ∴a ? 2 (或者利用 f (0) ? 0 ,求得 a ? 2 ,再验证是奇函数) 分 …………………4

-6-

(Ⅱ)∵ y ? 1 ?

4 2 ? 1? x x 2?2 ? 2 2 ?1
x

x 又∵ 2 ? 0 , ∴ 2 ? 1 ? 1

∴0 ?

2 2 ? 2 , ?1 ? 1? x ?1 2 ?1 2 ?1
x

∴函数 f (x) 的值域 (?1,1) 分 (Ⅲ)由题意得,当 x ? 1 时, t (1 ? 即t ?

……………………7

2 ) ? 2x ? 2 2 ?1
x

2x ?1 ? 2 x ? 2 恒成立, x 2 ?1

x ∵ x ? 1 ,∴ 2 ? 2 ,

∴t ?

(2 x ? 2) ? (2 x ? 1) ( x ? 1 )恒成立, 2x ?1

……………………9 分

(2 x ? 2) ? (2 x ? 1) 2 ? 2x ? x ( x ? 1) 设 u ( x) ? x 2 ?1 2 ?1
下证 u(x ) 在当 x ? 1 时是增函数. 任取 x2 ? x1 ? 1 ,则 u( x2 ) ? u( x1 ) ? 2
x2

?

2 2 ? 2 x1 ? x1 2 ?1 2 ?1
x2

? (2 x2 ? 2 x1 ) ? (1 ?


2 )?0 (2 ? 1) ? (2 x2 ? 1)
x1

…………………………11

∴当 x ? 1 时, u(x ) 是增函数, ∴ u( x ) min ? u(1) ? 0 ∴ t ? u( x) min ? u(1) ? 0 ∴实数 t 的取值范围为 t ? 0 . …………………………13 分

-7-


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