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2013年高考数学一轮复习 2.3 函数的性质精品教学案(教师版)新人教版


戴氏教育集团 璧山戴氏教育精品堂学校 高三数学 VIP 罗放 专用学案 主讲:严老师

2013 年高考数学一轮复习精品教学案 2.3 函数的性质(新课标人教 版,教师版)
【考纲解读】 1. 理解函数的单调性及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 3.会判断函数的单调性与奇偶性;掌握函数的 单调性、奇偶性的综合应用. 4.理解函数的周期性与对称性. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.函数的单调性与奇偶性是历年来高考必考内容之一 ,选择填空题、解答题中都可能出现, 解答题一般以中、高档题的形式考查,常常 与三角函数、不等式等知识相联系,以考查函数 知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的性质求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 增函数和减函数定义:如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值

x1 , x2 , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 那么就说 f ( x) 在这个区间上是增函数; 当 x1 ? x2
时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 f ( x) 在这个区间上是减函数. 3.判断函数单调性的常用方法: (1)定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤). (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的 差是增(减)函数. (3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单 调性. (4)导数法:若当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [a, b] 上递增;若当 x ? [a, b] 时,
'

f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 [a, b] 上递减.
(5)利用函数图象判断函数单调性. (6)复合函数 y ? f [ g ( x)] 的单调性判断:如果 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 单调性相同,那么

y ? f [ g ( x)] 是增函数;如果 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 单调性相反, 那么 y ? f [ g ( x)] 是减函
数.
1

戴氏教育集团 璧山戴氏教育精品堂学校 高三数学 VIP 罗放 专用学案 主讲:严老师 4.熟记以下几个结论: (1)

f ( x) 与 f ( x) 的单调性相同;

(2) ? f ( x) 与 f ( x) 的单调性相反;

(3)

1 与 f ( x) 的单调性相反. f ( x)

5.如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x) ,那么函数 f(x)叫做偶函数;如 果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数. 6.如果奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0; 如果函数 f(x)的定义域不关于原点对称,那 么 f(x) 一定是非奇非偶函数 ; 如果 f(x) 既是奇函数又是偶函数 , 那么 f(x) 的表达式是 f(x)=0. 7.奇偶函数的性质: (1)奇偶函数定义域关于原点对称. (2)奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 y 轴对称. (3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. 8.利用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定 f(-x)与 f(x)的关系;(3)下结论. 9. 周期函数的定义:如果存在一个非零常数 T ,使得对于函数定义域内的任意 x ,都有

f ( x ? T ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为周期函数,其中 T 称为 f ( x) 的周期.若 T 中存在一个最小
的正数,则称它为 f ( x) 的最小正周期. 【例题精析】 考点一 函数的单调性 例 1. (2012 年高考辽宁卷文科 8)函数 y= (A) ( ? 1,1] (B) (0,1]

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为( 2
(D) (0,+∞)



(C.)[1,+ ∞)

1. (2011 年高考江苏卷 2)函数 f ( x) ? log 5 (2 x ? 1) 的单调增区间是__________.

2

戴氏教育集团 璧山戴氏教育精品堂学校 高三数学 VIP 罗放 专用学案 主讲:严老师 【答案】 (? , ??) 【 解 析 】 因 为 2 x ? 1 ? 0 , 所 以 定 义 域 为 (? , ??) , 由 复 合 函 数 的 单 调 性 知 : 函 数

1 2

1 2

1 f ( x) ? lo g , ??) . 5 ( 2 x ? 1) 的单调增区间是 ( ? 2
考点二 函数的奇偶性 ) 例 2. (2012 年高考广东卷文科 4) 下列函数为偶函数的是( A .y=sinx B. y= x
3

C. y= e

x

D. y=ln x ? 1
2

2. (2012 年高考天津卷文科 6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的 为( ) B.y=log2|x|,x ? R 且 x≠0 D.y= x +1,x ? R
3

A.y=co s2x,x ? R C.y= y ?

e x ? e? x ,x ? R 2

考点三

函数的周期性与对称性

例 3. ( 2009 年 高 考 山 东 卷 文 科 第 12 题 ) 已 知 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足

f ( x? 4 ) ? ? f ( x , ) 且在区间 [0, 2] 上是增函数,则(
A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

)

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

3

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函数,所以在 [0, 2] 上的函数值非负,故 f (1) ? 0 ,所以 f (?25) ? ? f (25) ? ? f (1) ? 0 ,

f (80) ? f (0) ? 0 , f (11) ? f (3) ? 0 ,所以 f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.
【名师点睛】 本小题考查函数的奇偶性、 单调性、 对称性, 利用函数性质比较函数值的大小. 【变式训练】 3. 如果函数 f(x)=x2+bx+c 对于任意实数 t,都有 f(2-t)=f(2+t),那么 ( A.f(2)<f(1)<f(4) <f(1) B.f(1)<f(2)<f(4) C.f(2)<f(4)<f( 1) ) D.f(4)<f(2)

【易错专区】 问题:求单调区间时,忽视定义域 例. 函数 f ( x) ? x ln x 的单调递减区间为 .

1.(福建省泉州市 2012 届高三 3 月质量检查文科)下列函数中, 既是偶函数, 且在区间 ?0,??? 内是单调递增的函数是( )

4

戴氏教育集团 璧山戴氏教育精品堂学校 高三数学 VIP 罗放 专用学案 主讲:严老师 A. y ? x
1 2

B. y ? cos x

C.

y ? ln x

D. y ? 2

x

2. (辽宁省大连市 2012 年 4 月高三双基测试文科)下列函数中,在其定义域内既是增函数 又是奇函数的是( ) A. y ? ? 【答案】D 【解析】由奇函数,排除 B、C,而 y ? ?

1 x

B. y ? ? log 1 x
3

C. y ? 2

x

D. y ? x ? x
3

1 在定义域内不是单调函数,故选 D. x

3. (山东省实验中学 2012 年 3 月高三第四次诊断)已知定义在 R 上函数 f ( x ) 是奇函数,对 ) x ? R 都有 f (2 ? x) ? ? f (2 ? x) ,则 f (2012) ? ( A.2 B.-2 C.4 D.0

4. (2009 年高考广东卷 A 文科第 8 题)函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是(
x

)

A. (??,2) 【答案】D

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

【解析】 f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) e x

? ?? ? ( x ? 2)e

x

,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D.

5.(北京市东城区 2012 年 1 月高三考试)对于函数 f ( x) ? lg x ? 2 ? 1 ,有如下三个命题: ① f ( x ? 2) 是偶函数; ② f ( x) 在区间 ? ??, 2 ? 上是减函数,在区间 ? 2, ?? ? 上是增函 数; ③ f ( x ? 2) ? f ( x) 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数. 其中正确命题的序号是 上) 【答案】①② . (将你认为正确的命题序号都填

5

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6. (2009 年高考江苏卷第 3 题) 函数 f ( x) ? x ? 15 x ? 33x ? 6 的单调减区间为
3 2

.

【答案】 ( ?1,11) 【解析】

f ?( x) ? 3x 2 ? 30 x ? 33 ? 3( x ? 11)( x ? 1) ,

由 ( x ? 11)( x ? 1) ? 0 得单调减区间为 ( ?1,11) .亦可 填写闭区间或半开半闭区间. 【考题回放】 1.(2012 年高考陕西卷文科 2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A y ? x ?1 B y ? ?x
2



C y?

1 x

D y ? x| x|

2. ( 2010 年 高 考 山 东 卷 文 科 5 ) 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,
x f ( x) ? 2 ? 2x ? b( b 为常数) ,则 f (?1) ? (

) (D)3

(A)-3

(B)-1

(C)1

3.(2011 年高考安徽卷文科 11)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≤0 时,f ( x) = 2 x ? x ,
2

则 f (1) ? 【答案】-3

.

【解析】 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1) ? (?1)] ? ?3 .
2

6

戴氏教育集团 璧山戴氏教育精品堂学校 高三数学 VIP 罗放 专用学案 主讲:严老师 4.(2012 年 高 考 重 庆 卷 文 科 12) 函 数 f ( x)? ( x? a) ( x 为偶函数,则实数 ? 4)

a?

.

5. (2012 年高考浙江卷文科 16) 设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈ [0,1]时,f(x)=x+1,则 f( ) =_______________。 【答案】

3 2

3 2

【解析】 f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ?

3 2

3 2

1 2

1 2

1 3 ?1 ? . 2 2

6.(2012 年高考山东卷文科 15)若函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[-1,2]上的最大值为 4, 最小值为 m,且函数 g ( x) ? (1 ? 4m) x 在 [0, ??) 上是增函数,则 a=____.

7. ( 2012 年高考安徽卷文科 13 )若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递 增区间是 ?3,??? ,则

a =________.

7

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