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高中数学第二章2.2对数函数2.2.1对数与对数运算(第2课时)学案解析版新人教A版必修1

第 2 课时 对数的运算
学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式 及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

知识点一 对数运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: (1)loga(M·N)=logaM+logaN; (2)logaMN=logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 知识点二 换底公式 思考 1 观察知识点一的三个公式,我们发现对数都是同底的才能用这三个公式.那么我们 在运算和求值中遇到不同底的对数怎么办? 答案 设法换为同底. 梳理 对数换底公式: logab=llooggccba(a>0,且 a≠1,b>0,c>0,且 c≠1). 特别地:logab·logba=1(a>0,且 a≠1,b>0,且 b≠1).
1.log2x2=2log2x.( × ) 2.loga[(-2)×(-3)]=loga(-2)+loga(-3).( × ) 3.logaM·logaN=loga(M+N).( × )
1 4.logx2=log2x.( √ )

类型一 具体数字的化简求值

例 1 计算:(1)log345-log35; (2)log2(23×45);

(3)lg

27+lg8-lg lg1.2

1000;

1

(4)log29·log38. 考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

解 (1)log345-log35=log3455=log39=log332=2log33=2.

(2)log2(23×45)=log2(23×210)=log2(213) =13log22=13. (3)原式=

32lg =
lg

12 1120=32. 10

(4)log29·log38=log2(32)·log3(23) =2log23·3log32
1 =6·log23·log23

=6.

反思与感悟 具体数的化简求值主要遵循两个原则

(1)把数字化为质因数的幂、积、商的形式.

(2)不同底化为同底.

跟踪训练 1 计算:(1)2log63+log64; (2)(lg25-lg14)÷

(3)log43·log98;

(4)log2.56.25+ln e- 考点 对数的运算

题点 指数对数的混合运算

解 (1)原式=log632+log64=log6(32×4)=log6(62)=2log66=2.

(2)原式=???lg ?

25?

1 4

??÷=lg102÷10-1 ?

=2×10=20.

(3)原式=llgg34·llgg89=2llgg32·32llgg23=34.

(4)原式=log2.5(2.5)2+12-

2

=2+12-140=1201.

类型二 代数式的化简

命题角度 1 代数式恒等变换

x2 y 例 2 化简 loga .
3z

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质



x2 ∵

y >0



x2>0,

y>0,∴y>0,z>0.

3z

x2 loga

y=loga(x2

y)-loga 3 z

3z

=logax2+loga y-loga 3 z

=2loga|x|+12logay-13logaz.

反思与感悟 使用公式要注意成立条件,如 lgx2 不一定等于 2lgx,反例:log10(-10)2=

2log10(-10)是不成立的.要特别注意 loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN.

跟踪训练 2

已知

y>0,化简

loga

x yz .

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

解 ∵ yzx>0,y>0,∴x>0,z>0.

x ∴loga yz =loga

x-loga(yz)=12logax-logay-logaz.

命题角度 2 用代数式表示对数 例 3 已知 log189=a,18b=5,求 log3645. 考点 对数的运算

题点 用代数式表示对数

解 方法一 ∵log189=a,18b=5,∴log185=b,

于是 log3645=lloogg11884356=lloogg1188

=log11+89l+ogl1o8g2185

3

a+b a+b



18=2-a.

1+log18 9

方法二 ∵log189=a,18b=5,∴log185=b, 于是 log3645=lloogg11884356=lloogg1188 =2lloogg118891+8-lolgo1g81589=a2+ -ba. 方法三 ∵log189=a,18b=5, ∴lg9=alg18,lg5=blg18,

lg45 ∴log3645=lg36=

182 lg 9

lg9+lg5 =2lg18-lg9

=a2llgg1188+ -ballgg1188=a2+ -ba.

反思与感悟 此类问题的本质是把目标分解为基本“粒子”,然后用指定字母换元.

跟踪训练 3 已知 log23=a,log37=b,用 a,b 表示 log4256. 考点 对数的运算

题点 用代数式表示对数

解 ∵log23=a,则1a=log32,又∵log37=b,

∴log4256=lloogg335462=lloogg3737++l3olgo32g+321=aba+b+a+3 1.

1 1.log53+log53 等于( )
10 A.0B.1C.-1D.log5 3 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 A 2.设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中恒成立的是( ) A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac
4

D.loga(b+c)=logab+logac 考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 B 解析 由 logab·logcb=llggba·llggcb≠logca,故 A 错;由 logab·logca=llggba·llggac=llggcb=logcb. 故选 B. 3.log29×log34 等于( ) A.14B.12C.2D.4 考点 对数的运算 题点 换底公式的应用 答案 D 4.lg0.01+log216 的值是________. 考点 对数的运算 题点 对数的运算性质 答案 2 解析 lg0.01+log216=-2+4=2. 5.若 2x=3y,则xy=________. 考点 对数的运算 题点 用代数式表示对数 答案 log23 解析 方法一 设 2x=3y=t, 则 x=log2t,y=log3t.
1 ∴xy=lloogg23tt=lo1g3t=llooggtt32=log23.
log2t 方法二 ∵2x=3y, 则 lg2x=lg3y, ∴xlg2=ylg3,
x lg3 ∴y=lg2=log23.
1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化,可正用、逆用;使用的关键是恰当选择底
5

数,换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简. 2.运用对数的运算性质应注意: (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质. (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用. (3)在运算过程中避免出现以下错误: ①logaNn=(logaN)n,②loga(MN)=logaM·logaN,③logaM±logaN=loga(M±N).

一、选择题

1.下列各式(各式均有意义)不正确的个数为( )

①loga(MN)=logaM+logaN;②loga(M-N)=llooggaaMN;③a= 1 ;④(am)n=amn;⑤=-nlogab. m an

A.2B.3C.4D.5

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

答案 B

解析 ①正确,②不正确,③正确,④不正确,⑤不正确.

2.如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( )

A.x=acb53

B.x=35acb

C.x=a+3b-5c

D.x=a+b3-c3

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

答案 A

解析 lga+3lgb-5lgc=lga+lgb3-lgc5=lgacb53,

∴由 lgx=lgacb53,可得 x=acb53.

3.log4 等于( )

11 A.2B.4C.2D.4

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

答案 D

6

解析 log4=log ( 2)4=4.

4.化简lloogg5582等于(

)

A.log54B.3log52C.2D.3 考点 对数的运算

题点 换底公式的应用

答案 D

解析 lloogg5582=log28=log223=3. 5.已知 lg2=a,lg3=b,则用 a,b 表示 lg15 为( )

A.b-a+1

B.b(a-1)

C.b-a-1

D.b(1-a)

考点 对数的运算

题点 用代数式表示对数

答案 A

解析 lg15=lg(3×5)=lg3+lg5

=lg3+lg120=lg3+1-lg2=b-a+1.

6.若 log513·log36·log6x=2,则 x 等于(

)

A.9B.19C.25D.215

考点 对数的运算

题点 换底公式的应用

答案 D

-lg3 lg6 lgx 解析 由换底公式,得 lg5 ·lg3·lg6=2,

lgx=-2lg5,x=5-2=215.

7.计算(log32+log23)2-lloogg3223-lloogg2332的值是(

)

A.log26 C.2

B.log36 D.1

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

答案 C

7

解析 原式=(log32)2+2log32·log23+(log23)2-(log32)2-(log23)2=2.

8.化简:

2 2-4log23+4+log213等于(

)

A.2 C.-2 考点 对数的运算

B.2-2log23 D.2log23-2

题点 对数的运算性质

答案 B

解析

2 2-4log23+4



23- 2=|log23-2|=2-log23.

1 ∴原式=2-log23+log23=2-log23-log23=2-2log23.

二、填空题

9.(log43+log83)(log32+log92)=________. 考点 对数的运算

题点 换底公式的应用

答案

5 4

解析 原式=???lloogg2234+lloogg2238??????lo1g23+lo1g232???

5

35

=6log23·2log23=4.

10.(lg5)2+lg2·lg50=________.

考点 对数的运算

题点 利用 lg2+lg5=1 化简求解对数值

答案 1 解析 (lg5)2+lg2·lg50=(lg5)2+lg2(lg5+lg10) =(lg5)2+lg2·lg5+lg2

=lg5(lg5+lg2)+lg2

=lg5+lg2=1.

11.若 3x=4y=36,则2x+1y=________.

考点 对数的运算

题点 用代数式表示对数

答案 1 解析 3x=4y=36,两边取以 6 为底的对数,得

8

xlog63=ylog64=2,

2

2

1

∴x=log63,y=log64,即y=log62,

21 故x+y=log63+log62=1.

三、解答题

12.计算:

(1)(log33)2+log0.2514+9log5 5-log1;

(2)1+122llgg02.+36l+g331lg8.

考点 对数的运算

题点 对数的运算性质

解 (1)(log33)2+log0.2514+9log5 5-log1

=???12???2+1+9×12-0=14+1+92=243.

2lg2+lg3

2lg2+lg3

(2)1+12lg0.36+31lg8=1+12lg0.62+31lg23

=1+2llgg20+.6l+g3lg2=1+

2lg2+lg3 -lg10 +lg2

2lg2+lg3 = lg6+lg2 =

2lg2+lg3 + +lg2

=22llgg22++llgg33=1. 13.已知 x,y,z 为正数,3x=4y=6z,2x=py. (1)求 p 的值;

(2)求证:1z-1x=21y.

考点 对数的运算

题点 用代数式表示对数 (1)解 设 3x=4y=6z=t,则 t>0,且 t≠1. ∴x=log3t,y=log4t,z=log6t. ∵2x=py,∴2log3t=plog4t=p·lloogg33t4. ∵log3t≠0,∴p=2log34=4log32.

9

11 1

1

(2)证明 z-x=log6t-log3t

=logt6-logt3=logt2.

1 11

1

又2y=2log4t=2·logt4=2·2logt2=logt2,

∴1z-1x=21y.

四、探究与拓展

14.计算???-287???+lloogg82237+( 2- 3)0-log31+2lg5+lg4-5=________.

考点 对数的运算

题点 指数对数的混合运算

答案

22 9

解析 ∵???-287???
lloogg82237=logl28o·g22l7og23=33lloogg2233=1, ( 2- 3)0=1,log31=0, 2lg5+lg4=lg(52×4)=lg102=2,5=2, ∴原式=49+1+1-0+2-2=292. 15.若 a=log43,则 2a+2-a=________. 考点 对数的运算 题点 指数对数的混合运算

答案

43 3

解析 ∵a=log43=12log23,

∴2a+2-a==

3+

1 =4 3

3

3.

10


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