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排列组合问题基本类型及解题方法


排列组合问题的基本模型及解题方法
导语:解决排列组合问题要讲究策略,首先要认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无 序),还是排列与组合混合问题。其次,要抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原则进 行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题,分类必须满足两个条件:①类与类必须互斥 (不相容),②总类必须完备(不遗漏);乘法原理的特征是分步解决问题,分步必须做到步与步互相 独立,互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略,在实际操作 中往往是“步”与“类”交叉,有机结合,可以是类中有步,也可以是步中有类,以上解题思路分 析,可以用顺口溜概括为:审明题意,排(组)分清;合理分类,用准加乘;周密思考,防漏防重; 直接间接,思路可循;元素位置,特殊先行;一题多解,检验真伪。注意以下几点: 1、解排列组合应用题的一般步骤为: ①什么事:明确要完成的是一件什么事(审题) ; ②怎么做:分步还是分类,有序还是无序。 2、解排列组合问题的思路 (1)两种思路:直接法,间接法。 (2)两种途径:元素分析法,位置分析法。 3、基本模型及解题方法: (一)、元素相邻问题 (1) 、全相邻问题,捆邦法 例 1、6 名同学排成一排,其中甲,乙两人必须排在一起的不同排法有( C )种。 A、720 B、360 C、240 D、120 说明:从上述解法可以看出,所谓“捆邦法”,就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可 以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 (2) 、全不相邻问题插空法 例 2、要排一张有 6 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目不得相邻,问 有多少不同的排法, 解:先将 6 个歌唱节目排好,其中不同的排法有 6! ,这 6 个节目的空隙及两端共有七个位置中再
4 4 6 排 4 个舞蹈节目有 A7 种排法,由乘法原理可知,任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 A7 A6 种

例 3、高三(一)班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序, 要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是 A、1800 B、3600 C、4320 D、5040 解:不同排法的种数为 A5 A6 =3600,故选 B 说明:从解题过程可以看出,不相邻问题是指要求某些元素不能相邻,由其它元素将它隔开,此 类问题可以先将其它元素排好,再将特殊元素插入,故叫插空法。 (3) 、不全相邻排除法,排除处理 例 4、五个人站成一排,其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法? 解: A5
5 3 3 2 3 2 2 ? A3 A3 ? A2 A3 或3A2 2A3 A2 ? 72
5 2

例 5、有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位 不能坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是 . 解法一: ①前后各一个,有 8×12×2=192 种方法 ②前排左、右各一人:共有 4×4×2=32 种方法 ③两人都在前排:两人都在前排左边的四个位置:

乙可坐 2 个位置 2+2=4

乙可坐 1 个位置 1+1=2

此种情况共有 4+2=6 种方法 因为两边都是 4 个位置,都坐右边亦有 6 种方法,所以坐在第一排总共有 6+6=12 种方法 ④两人都坐在第二排位置,先规定甲左乙右

10 ? 9 ? 8 ? ? ? 2 ? 1 ?

∴ 甲左乙右总共有 乙左甲右也同样有 55 种方法,所以甲、乙按要求同坐第二排总共有 55×2=110 种方法。综上所述, 按要求两人不同排法有 192+32+12+110=346 种 解法二:考虑 20 个位置中安排两个人就坐,并且这两人左右不相邻,4 号座位与 5 号座位不算相 邻(坐在前排相邻的情况有 12 种。 ) ,7 号座位与 8 号座位不算相邻(坐在后排相邻的情况有 22 种。 ) ,
2 共有 A20 ? 2(11? 6) ? 346种

10 ? 1 ?10 ? 55 2 种方法.同样甲、乙可互换位置,

(二) 、定序问题缩倍法 例 6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号,现有 3 面红旗、2 面白旗,把 5 面旗都 挂上去,可表示不同信号的种数是( ) (用数字作答) 。
5 解:5 面旗全排列有 A5 种挂,由于 3 面红旗与 2 面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法,故有
5 A5 ? 10 3 2 A3 A2

说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解 比较方便. 例 7、某工程队有 6 项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必 须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工程的不同 排法种数是 。 解一: 依题意, 只需将剩余两个工程插在由甲、 乙、 丙、 丁四个工程形成的 5 个空中 (插一个或二个) ,

2 2 可得有 A5 =30 种不同排法。 ? 5 ? A2

解二:

6! =30 4!

例 8、由数字 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数,其中个位数字小于十位的数字的共 有( ) A、210 个 B、300 个 C、464 个 D、600 个 解:

1 1 5 A5 A5 ? 300 2

故选 B

(三) 、多元问题分类法 例 9.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲 和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种 解析:某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,
2 4 甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,① 甲、丙同去,则乙不去,有 C5 =240 种选法;② ? A4 3 4 4 甲、丙同不去,乙去,有 C5 =240 种选法;③甲、乙、丙都不去,有 A5 ? A4 ? 120 种选法,共有 600

种不同的选派方案. 例 10、设集合 I ? ?1,2,3,4,5? 。选择 I 的两个非空子集 A 和 B,要使 B 中最小的数大于 A 中最大的 数,则不同的选择方法共有 (B) A、 50种 B、 49种 C、 48种
2

D、 47种

解析:若集合 A、B 中分别有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =10 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种 数有 C5 =5 种;若集合 A 中有一个元素,集合 B 中有四个元素,则选法种数有 C5 =1 种;若集合 A 中 有两个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =10 种;若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有 两个个元素,则选法种数有 C5 =5 种;若集合 A 中有两个元素,集合 B 中有三个元素,则选法种数有
5 4 =1 种;若集合 A 中有三个元素,集合 B 中有一个元素,则选法种数有 C5 =5 种;若集合 A 中有三 C5 4 3 4 5 3

个元素,集合 B 中有两个元素,则选法种数有 C5 =1 种;若集合 A 中有四个元素,集合 B 中有一个元 素,则选法种 数有 C5 =1 种;总计有 49种 ,选 B. 解法二:集合 A、B 中没有相同的元素,且都不是空集, 从 5 个元素中选出 2 个元素,有 C5 =10 种选法,小的给 A 集合,大的给 B 集合; 从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C5 =10 种选法,再分成 1、2 两组,较小元素的一组给 A 集合,
3 2 5

5

较大元素的一组的给 B 集合,共有 2×10=20 种方法; 从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C5 =5 种选法,再分成 1、3;2、2;3、1 两组,较小元素的一 组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 3×5=15 种方法; 从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C5 =1 种选法,再分成 1、4;2、3;3、2;4、1 两组,较小元 素的一组给 A 集合,较大元素的一组的给 B 集合,共有 4×1=4 种方法; 总计为 10+20+15+4=49 种方法。选 B. 例 11、将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球 的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A、10 种 B、20 种 C、36 种 D、52 种 解析:将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个
1 数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1 号盒子中放 1 个球,其余 3 个放入 2 号盒子,有 C4 ? 4种 2 方法;②1 号盒子中放 2 个球,其余 2 个放入 2 号盒子,有 C4 ? 6 种方法;则不同的放球方法有 10

4

5

种,选 A. 说明:元素多,取出的情况也多种,可按要求分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。 (四) 、元素交叉问题集合法(二元否定问题,依次分类) 例 12、从 6 名运动员中选出 4 名参加 4×100 米接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共 有多少种不同的参赛方法? 解:设全集 U={6 人中任选 4 人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列}, 根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有:card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252 例 13、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程,且上午安排四节课, 下午安排两节课。 (1)若第一节不排体育,下午第一节不排数学,一共有多少种不同的排课方法? (2)要求数学、物理、化学不能排在一起(上午第四节与下午第一节不算连排) ,有多少种不同的排 课方法? 例 14、同室 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张 贺年卡不同的分配方式有( ) A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解:此题可以看成是将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里,每格填一数,且每 个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将 1 填入 2 至 4 的 3 个方格里有 3 种填法;第二步 把被填入方格的对应数字填入其它 3 个方格,又有 3 种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的两 格中只有一种填法,故共有 3×3×1=9 种填法。故选 B 说明:求解二元否定问题先把某个元素按规定排入,再排另一个元素,如此继续下去,依此即可完 成。 例 15、安排 5 名歌手的演出顺序时,要求某名歌手不第一个出场,另一名歌手不最后一个出场, 不同排法的总数是 .(用数字作答) 。 (答:78 种) 说明:某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素的个数的公式来求解。 (五) 、多排问题单排法 例 16、两排座位,第一排有 3 个座位,第二排有 5 个座位,若 8 名学生入座(每人一座位) ,则 不同的座法为( )

A、

5 3 C8 C8

1 5 3 B、 A2 C8 C8

3 5 C、 A8 A8

8 D、 A8

解:此题分两排座可以看成是一排座,故有

8 A8 种座法。∴选 D

说明:把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。 (六) 、至多、至少问题分类法 或 间接法(去杂处理) 含“至多”或“至少”的排列组合问题,是需要分类问题,或排除法。排除法,适用于反面情况 明确且易于计算的情况。 例 17、从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三项不同的工作,若这 3 人中至少有 1 名女生, 则选派方案共有 ( ) A、108 种 B、186 种 C、216 种 D、270 种
3 3 解析:从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 A7 =186 种,选 B. ? A4

例 18、5 名乒乓球队员中,有 2 名老队员和 3 名新队员.现从中选出 3 名队员排成 1、2、3 号参加团体 比赛,则入选的 3 名队员中至少有一名老队员,且 1、 2 号中至少有 1 名新队员的排法有_______种.(以 数作答)
1 2 1 2 3 【解析】两老一新时, 有 C1 3 ? C2 A 2 ? 12 种排法;两新一老时, 有 C2C3 ? A 3 ? 36 种排法,即共有 48

种排法. 例 19、将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方 案有 A、30 种 B、90 种 C、180 种 D、270 种 解析:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名,最多 2 名,则将 5 名教师分 成三组, 一组 1 人, 另两组都是 2 人, 有
1 2 C5 ? C4 3 再将 3 组分到 3 个班, 共有15 ? A3 ? 15 种方法, ? 90 2 A2

种不同的分配方案,选 B. (七) 、部分符合条件淘汰法 例 20 、四面体 的顶点各棱 中点共有 10 个 点,在 其中取 4 个 不共面的点 ,不同的 取法共 有 ( ) A、150 种 B、147 种 C、144 种 D、141 种 解:10 个点取 4 个点共有
4 C10

种取法,其中面 ABC 内的 6 个点中任取 4 个点必共面,这样

的面共有 6 个,又各棱中点共 6 个点,有四点共面的平面有 3 个,故符合条件不共面的平面有
4 4 C10 ? 4C6 ? 6 ? 3 ? 141

选D

说明:在选取总数中,只有一部分符合条件,可从总数中减去不符合条件数,即为所求。 (八) 、分组问题与分配问题 ①分组问题:均匀分组,除法处理;非均匀分组,组合处理 例 21、有 9 个不同的文具盒: (1)将其平均分成三组; (2)将其分成三组,每组个数 2,3,4。 上述问题各有多少种不同的分法? 分析: (1)此题属于分组问题:先取 3 个为第一组,有 C9 种分法,再取 3 个不第二组,有 C6 种
3 3

3 分法, 剩下 3 个为第三组, 有 C3 种分法, 由于三组之间没有顺序, 故有

3 3 3 C9 C6 C3 种分法。 (2) 同 (1) , 3 A3

2 3 4 3 共有 C9 。 C7 C4 种分法,因三组个数各不相同,故不必再除以 A3

②分配问题:定额分配,组合处理;随机分配,先组后排 例 22、有 9 本不同的书: (1)分给甲 2 本,乙 3 本,丙 4 本; (2)分给三个人,分别得 2 本,3 本,4 本。上述问题各有多少种不同的分法?
2 3 4 (1)此题是定额分配问题,先让甲选,有 C9 种;再让乙选,有 C7 种;剩下的给丙,有 C4 种,

2 3 4 共有 C9 C7 C4 种不同的分法(2)此题是随机分配问题:先将 9 本书分成 2 本,3 本,4 本共有三堆, 2 3 4 3 再将三堆分给三个人,共有 C9 种不同的分法。 .C7 .C4 .A3

例 23、对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品一一进行测试,至区分出所有次品为止,若 所有次品恰好在第 5 次测试时被全部发现,则这样的测试方法有多少种可能? 解:第 5 次必测出一次品,余下 3 件次品在前 4 次被测出,从 4 件中确定最后一件次品有 C 4 种 方法,前 4 次中应有 1 件正品、3 件次品,有 C 6 C3 种,前 4 次测试中的顺序有 A 4 种,由分步计数原 理即得: C 4 ( C 6 C3 ) A 4 =576。 本题涉及一类重要问题:问题中既有元素的限制,又有排列的问题,一般是先选元素(即组合)后 排列. 练习:
2 2 2 1、 3 名教师分配到 6 个班里, 各人教不同的班级, 若每人教 2 个班, 有多少种分配方法? C6 C4 C2 ? 90
1 3

1

4

1

1

3

4

2、将 10 本不同的专著分成 3 本,3 本,3 本和 1 本,分别交给 4 位学者阅读,问有多少种不同的分 法?
3 3 3 1 C10 C7 C4 C1 ? 4! 3!

例 24、某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过 2 个,则 该外商不同的投资方案有 ( ) A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种
1 2 解析:有两种情况,一是在两个城市分别投资 1 个项目、2 个项目,此时有 C3 ? A4 ? 36 , 3 1 2 3 二是在在两个城市分别投资 1, 1, 1 个项目, 此时有 A4 =60, 故选 ? 24 , 共有 C3 ? A4 ? A4

(D)

(九) 、相同元素入盒问题隔板法 在排列组合中, 对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中, 每盒至少一个, 求方法数的问题, 常用隔板法。 例 25、求方程 x+y+z=10 的正整数解的个数。(即:10 个相同的小球分给三人,每人至少 1 个,有 多少方法?) 分析:将 10 个球排成一排,球与球之间形成 9 个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多 插一块隔板) ,规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z 之值(如图) ○○○ ○○○ ○○○○ 则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为 C9 ? 36 个。实际运用隔板法解题
2

时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明: (1) 、添加球数用隔板法 例 26、求方程 x+y+z=10 的非负整数解的个数。 分析:注意到 x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎 么办呢?只要添加三个球,给 x、 y、z 各一个球。这样原问题就转化为求 x+y+z=13 的正整数解
2 的个数了,故解的个数为 C12 =66 个。

(2) 、减少球数用隔板法 例 27、将 20 个相同的小球放入编号分别为 1,2,3,4 的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不 少于它的编号数,求放法总数。 分析 1:先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 0,1,2,3 个球,有 1 种方法;再把剩下的 14 个球,分成 4 组,每组至少 1 个,由例 25 知有
3 =286 种方法。 C13

分析 2:第一步先在编号 1,2,3,4 的四个盒子内分别放 1,2,3,4 个球,有 1 种方法;第二 步把剩下的 10 个相同的球放入编号为 1,2,3,4 的盒子里,由例 26 知有
3 =286 种方法。 C13

(3) 、先后插入用隔板法 例 28、为构建和谐社会出一份力,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有 4 个歌舞节 目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添 2 个小品节目,则不同的排列方法有多少种? 分析:记两个小品节目分别为 A、B。先排 A 节目。根据 A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数,
1 相当于把 4 个球分成两堆,由例 26 知有 C5 种方法。这一步完成后就有 5 个节目了。再考虑需加入 1 1 1 的 B 节目前后的节目数,同上理知有 C6 种方法。故由乘法原理知,共有 C5 C6 ? 30 种方法。

(十) 、数字问题(组成无重复数字的整数) ① 能被 2 整除的数的特征:末位数是偶数;不能被 2 整除的数的特征:末位数是奇数。 ②能被 3 整除的数的特征:各位数字之和是 3 的倍数;能被 9 整除的数的特征:各位数字之和是 9 的倍数。 ③能被 4 整除的数的特征:末两位是 4 的倍数。 ④能被 5 整除的数的特征:末位数是 0 或 5。 ⑤ 能被 25 整除的数的特征:末两位数是 25,50,75。 ⑥ 能被 6 整除的数的特征:各位数字之和是 3 的倍数的偶数。 例 29、在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 A、36 个 B、24 个 C、18 个 D、6 个
3

解:依题意,所选的三位数字有两种情况: (1)3 个数字都是奇数,有 A3 种方法(2)3 个数字中 有一个是奇数,有 C3A3 ,故共有 A3 + C3A3 =24 种方法,故选 B 例 30、用数字 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字 1,2 相邻的偶数有 个. (十一) 、分球入盒问题 例 30、将 5 个小球放到 3 个盒子中,在下列条件下,各有多少种投放方法? ① 小球不同,盒子不同,盒子不空 24
1 3
3

1

3

解:将小球分成 3 份,每份 1,1,3 或 1,2,2。再放在 3 个不同的盒子中,即先分堆,后分配。
3 1 2 2 有 ( C5C2 + C5 C3 ) ? A3 3 A2 A2 2 2

② 小球不同,盒子不同,盒子可空 解: 35 种 ③小球不同,盒子相同,盒子不空 解:只要将 5 个不同小球分成 3 份,分法为:1,1,3;1,2,2。共有 C5C2 + C5 C3 =25 种 2 2
A2 A2
1

3

1

2

2

④小球不同,盒子相同,盒子可空 本题即是将 5 个不同小球分成 1 份, 2 份, 3 份的问题。 共有 C 5 ? (C 4 ? C 3 ) ? ( C5C2 + C5C3 ) ? 41 5 5 5 2 2
A2 A2
3 2 2

种 ⑤小球相同,盒子不同,盒子不空 解: (隔板法) 。0 \ 00 \ 00 ,有 C4 种方法
2

⑥小球相同,盒子不同,盒子可空 解一:把 5 个小球及插入的 2 个隔板都设为小球(7 个球) 。7 个球中任选两个变为隔板(可以相
2 邻) 。那么 2 块隔板分成 3 份的小球数对应于 相应的 3 个不同盒子。故有 C7 =21.解:分步插板法。

⑦小球相同,盒子相同,盒子不空 解:5 个相同的小球分成 3 份即可,有 3,1,1;2,2,1。 共 2 种 ⑧小球相同,盒子相同,盒子可空 解:只要将将 5 个相同小球分成 1 份,2 份,3 份即可。 分法如下:5,0,0; 4,1,0; 3,2,0; 3,1,1; 2,2,1。 例 31、有 4 个不同的小球,放入 4 个不同的盒子内,球全部放入盒子内 (1)共有几种放法?(答: 44 )
2 3 (2)恰有 1 个空盒,有几种放法?(答: C4 A4 ? 144 )

2 3 (3)恰有 1 个盒子内有 2 个球,有几种放法?(答:同上 C4 A4 ? 144 )

3 2 2 2 (4)恰有 2 个盒子不放球,有几种放法?(答: C4 A4 ? C4 C4 ? 84 )

(十二) 、涂色问题 (1)用计数原理处理的问题,需要关注图形的特征:多少块?多少色? (2)以涂色先后分步,以色的种类分类。 例 32、某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如下图) 。现要栽种 4 种不同颜色 的花,每部分栽种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花,则不同的栽种方法有多少种? 1 法 1:按对称区域颜色是否相同分类 分析:四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域,且相邻两个区域不能同色,只能 选用 4 种颜色,要分四类:
6

(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A ; ⑥ ②

4 4

⑤ ① ③
3 4 2



5

4 (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 A4 ; 4 (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 A4 ; 4 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120 。

法 2:转化法 将其转化为空间图形如右图,转化为对点涂色。1 号和其他 5 个区域都相邻,其他 5 个区域 按逆时针顺序 3 个 3 个相邻,因此对这个 5 棱锥的涂色问题,可转化为用 3 种颜色对底面 5 边形 进行涂色。
1 第 1 步:对顶点 1 进行涂色,有 C4 种涂法;

第 2 步:用剩余的 3 种颜色对平面 5 边形的顶点涂色,则必然有二组相对顶点同色,有如下五种 分组方式: 第一种: (2,4) , (3,5) ,6; 第二种: (2,4) , (3,6) ,5; 第三种: (2,5) , (3,6) ,4; 第四种: (2,5) , (4,6) ,3; 第五种: (3,5) , (4,6) ,2.
1 3 3 每种分组方式的涂色方法有 A3 种,根据分类、分步计数原理有 C4 ? 5 A3 ? 120 种涂色方法。

例 33、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端异色,若只有五种颜 色可供使用,则不同的染色种数为 420 应该指出的是,上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的,对于同一问题有时会有多 种方法,这时要认真思考和分析,灵活选取最佳方法。 (十三) 、不同元素进盒,先分堆再分配 对于不同的元素放入几个不同的盒内,当有的盒内有不小于 2 个元素时,不可分批进入,必 须先分堆再分配。 例 34、 5 个老师分配到 3 个班搞活动,每班至少一个,有几种不同的分法?
3 解:先把 5 位老师分 3 堆,有两类: 3,1,1 分布有 C5 种和 1, 2, 2 分布有
1 2 2 C5 C4 C2 种,再排列到 3 个 2 A2

3 班里有 A3 种,故共有 (C5 ?
3

1 2 2 C5 C4 C2 3 ) A3 种。 2 A2

注意:不同的老师不可分批进入同一个班,须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素 必须一次进入”。 (十四) 、两类元素问题组合选位法 例 35、 10 级楼梯,要求 7 步走完,每步可跨一级,也可跨两级,问有几种不同的跨法?

3 解: 由题意知, 有 4 步跨单级,3 步跨两级, 所以只要在 7 步中任意选 3 步跨两级即可。 故有 C7

种跨法。 注意:两类元素的排列问题涉及面很广,应予重视。 例 36、 沿图中的网格线从顶点 A 到顶点 B ,最短的路线有几条? 解:每一种最短走法,都要走三段“|”线和四段“—”线,
3 4 这是两类元素不分顺序的排列问题。故有 C7 或 C7 种走法。

例 37、从 5 个班中选 10 人组成校篮球队(无任何要求),有几种选法? 解:这个问题与例 12 有区别,虽仍可看成 4 块“档板”将 10 个球分成 5 格(构成 5 个盒子),是 球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球,故 4 块“档板”与10 个球
4 一样也要参与排成一列而占位置,故有 C14 种选法。

(十五) 、特殊元素(位置)优先法 对于特殊元素的排列组合问题,一般先考虑特殊元素,再考虑其他元素的安排。在操作时, 针对实际问题,有时“元素优先”,有时“位置优先”。 例 38、 0,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有几个? 解法一:(元素优先)分两类:
1 1 0 第一类:含 0 , 0 在个位有 A 2 4 种, 在十位有 A2 A3 种; 2 1 1 1 2 2 第二类:不含 0 ,有 A1 2 A3 种。 故共有 (A4 ? A2 A3 )+A2 A3 ? 30 种。

注:在考虑每一类时,又要优先考虑个位。 解法二:(位置优先)分两类: 第一类: 0 在个位有 A 2 4 种;
1 1 第二类:0 不在个位, 先从两个偶数中选一个放个位, 再选一个放百位, 最后考虑十位, 有 A1 2 A3A3

种。 故共有 A4 +A2A3A3 =30 例 39、电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首尾必 须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 2 4 解:分二步:首尾必须播放公益广告的有 A2 种;中间 4 个为不同的商业广告有 A4 种,从而应当 2 4 填 A2 ·A4 =48. 从而应填 48. (十六) 、“小团体”排列,先“团体”后整体 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先按制约条件“组团”并视为一 个元素再与其它元素排列。 例 40、四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会,演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两 名男歌手,则出场方案有几种?
2 1 1 1

2 解:先从四名男歌手中选 2 人排入两女歌手之间进行“组团”有 A2 4 A2 种,把这个“女男男女”小 2 2 3 团体视为 1 人再与其余 2 男进行排列有 A3 3 种,由乘法原理,共有 A4 A2 A3 种.

(十七)、逐步试验法 如果题中附加条件增多,直接解决困难,用试验法寻找规律也是行之有效的方法. 例 41、将数字 1,2,3,4 填入标号为 1,2,3,4 的四个方格内,每个方格填一个, 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 种。 解:此题考查排列的定义,由于附加条件较多,解法较为复杂,可用试验法逐步解决. 第一方格内可填 2 或 3 或 4 .如填 2 ,则第二方格内可填 1 或 3 或 4 .若第二方格内填 1 ,则第三 方格内只能填 4 ,第四方格内填 3 .若第二方格填 3 ,则第三方格应填 4 , 第四方格应填 1 .同理,若第二方格填 4 ,则第三、四方格应分别填 3 , 1 。因而第一方格填 2 共有 3 种方法。 同理,第一格填 3 或 4 也各有 3 种,所以一共有 9 种方法。 (十八) 、探索规律法 对于情况复杂,不易发现其规律的问题需要仔细分析,探索出其中规律,再予以解决。 例 42、从 1 到 100 的自然数中,每次取出不同的两个数,使他们的和大于 100 ,则不 同的取 法种数有 种。 解:此题的数字较多,情况也不一样,需要分析摸索其规律。为方便,两个加数中较小的为被加数, 1 ? 100 ? 101 ? 100 ,1 为被加数的有 1 种;同理, 2 为被加数的有 2 种; 3 为被加数的有 3 种;??; 49 为被加数的有 49 种;50 为被加数的有 50 种; 52 为被加数的只有 48 但 51 为被加数的只有 49 种; 种;??; 99 为被加数的只有 1 种,故不同的区法有:

(1 ? 2 ? 3 ?

50) ? (49 ? 48 ?

? 1) ? 2500 种。

(十九) 、可重复元素问题住店法 解决“允许重复排列”的问题要注意区分两类元素:一类元素可重复,另一类元素不能重复。把 不能重复的元素看着“客” ,能重复的元素看着“店” ,再利用分步计数原理直接求解的方法称为“住 店法” 。 例 43、 7 名学生争夺五项冠军,获得冠军的可能种数是 种。 解:应同一学生可同时夺得 n 项冠军,故学生可重复排列,将 7 名学生看着 7 家“店” ,五项冠军看 着 5 名“客” ,每个客有 7 种住宿方法,由分步计数原理得 N=7 种。 (二十) 、特征分析法 有约束条件的排数问题,必须紧扣题中所提供的数字和结构特征,进行推理,分析求解。 例 44、由 1, 2,3, 4,5,6 六个数可组成多少个无重复且是 6 的倍数的五位数? 解:分析数字的特征: 6 的倍数的数既是 2 的倍数,又是 3 的倍数。其中 3 的倍数又满足“各个数位 上的数字之和是 3 的倍数”的特征。而且 1 ? 2 ? ? 6 ? 21 是 3 的倍数,从 6 个数字中取 5 个,使之 和还是 3 的倍数, 则所去掉的数字只能是 3 或 6 。 因而可以分两类讨论: 第一类, 所排的五位数不含 3 , 即由 1, 2,3, 4,5,6 作数码;首先从 2, 4,6 三个中任选一个作个位数字有 A3 种,然后其余 4 个数字在其 他数位上的全排列有 A 4 ,所以 N1 ? A3A4 ;第二类,所排的五位数不含 6 ,即由 1, 2,3, 4,5 作数码,
4 1 1 1
5

4 依上法有 N2 ? A1 2 A4 ,故 N=N1 ? N2 ? 120 种。

(二十一) 、元素成双问题先取后放 例 45、从 6 双不同颜色的手套中任取 4 只,其中恰有一双同色的取法有多少种?
1 分析:先从 6 双中取 1 双组合成双,有 C6 种,再从剩下的 5 双中任取 2 双,在每双手套中各取 1 2 1 1 1 2 1 1 只,有 C5 C2C2 种,再由分步计数原理可得,共有 C6 C5 C2C2 ? 240 种取法。


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