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福建省漳州市五校2010届高三上学期期末联考数学试题(理科)


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诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、南靖一中五校联考

2009-2010 学年上学期期末考 高三数学(理科)试题
(考试时间:120分钟 总分:150分)

一、单项选择题(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分 。 ) 1.复数 A.2

(1 ? i ) 2 = ( i2

) B.-2 C.-2i D.2i

2. 已知命题 p : ?x ? R, 使 sin x ? ①命题“ p ? q ”是真命题 ③命题“ ?p ? q ”是真命题; 其中正确的是 A.②③ ( ) B.②④

5 ; 命题q : ?x ? R, 都有x 2 ? x ? 1 ? 0. 给出下列结论: 2
②命题“ p ? ?q ”是假命题 ④命题“ ?p ? ?q ”是假命题 C.③④ D.①②③ )

3.已知函数 f ( x) ? sin(x ?

?
6

) cos(x ?

?
6

), 则下列判断正确的是 (

A. f (x) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? B. f (x) 的最小正周期为 2π ,其图象的一条对称轴为 x ? C. f (x) 的最小正周期为π ,其图象的一条对称轴为 x ? D. f (x) 的最小正周期为π ,其图象的一条对 称轴为 x ?

?
12

?

?
?

6

12 6

4. 如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1 ? 面A1 B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方 形,该三棱柱的侧视图面积为( A. 4 C
A _ B A _ _ B _

) C. 2 2 D.

B.

2 3

3 ??

C1 A _ 1
[来源:学科网 ZXXK]

B1 A1 _

正视图

B1

俯视图

5.在等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a3 ? a11 ? 6 ,那么 S9 ? (



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A.2

B.8
?

C. 36
? ? ? ?

D. 18
?

6. 若平面四边形 ABCD 满足 AB + CD ? 0, ( AB - AD ) ? AC ? 0, 则该四边形一定 是( ) A.正方形 C.菱形

B.矩形 D.直角梯形

7.若右面的程序框图输出的 S 是 126 ,则①应为 A. n ? 5 ? B. n ? 6 ?

开始

C. n ? 7 ? D. n ? 8 ? 8.某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布, 其密度函数为 f ( x) ?

n ? 1, S ? 0

1 2? ? 10

e

( x ?80) 2 200

( x ? R) ,则下列命题不正确
① 否

的是 ( ) A.该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D.该市这次考试的数学成绩标准差为10 9.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果 函数 f ( x) 的图象恰好通过 n(n ? N ) 个整点,则称函数 f ( x) 为 n 阶整点函数.有下列函数: ①
?



输出 S

S ? S ? 2n
结束

f ( x) ? sin 2 x ;

② g ( x) ? x

3

③ h( x ) ? ( ) ;
x

1 3

n ? n ?1

④ ? ( x) ? ln x , 其中是一阶整点函数的是 A.①②③④ ( ) C.④
2 19

B.①③④

D.①④ )

10.设 a、b、m 为整数(m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a≡b(mod m)。 已知 a=1+C 1 +C 2 ·2+C 3 ·2 +?+C 20 ·2 ,b≡a(mod 10),则 b 的值可以是( 20 20 20 20 A.2011 B.2010 第Ⅱ卷 二、填空题(本题共 5 小题,满分 20 分) C.2008 D.2006

?x ? y ? 5 ? 0 11.设 x, y满足约束条件? x ? y ? 0 , 则x 2 ? y 2 的最大值为 ? ?x ? 3 ?



12.设 ? an ? 是正项数列,其前 n 项和 S n 满足: 4Sn ? (an ? 1)(an ? 3) ,则 an =

.

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3n n 13.若 C23 ?1 ? C23? 6 (n ? N ? )且(3 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,

则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (?1) n an ?
2

.

14.过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,则

1 1 ? = AF BF



15.如果一个自然数 n,我们可以把它写成若干个连续自然数之和,则称为自然数 n 的一个“分拆” 。如 9=4+5=2+3+4,我们就说“4+5”与“2+3+4”是 9 的俩个“分拆” 。请写出 70 的三个“分拆” :70= 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.已知向量 m ? (sin A, sin B), n ? (cos B, cos A), m ? n ? sin 2C , 且 A、B、C 分别为△ABC 的三边 a、b、c 所对的角 (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C , sin B成等差数列, 且CA ? ( AB ? AC ) ? 18 ,求 c 边的长。 17. f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? x , f 3 ( x) ? x , f 4 ( x) ? sin x, f 5 ( x) ? cos x, f 6 ( x) ? lg( x ? 1). 分别写在六张卡片上,
2 3

放 在一盒子中。 (1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得一个新函数,求所得函数是奇函数的概率; (2)现从盒子中进行逐 一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张记有偶函数卡片则停止抽取, 否则继续进行,求抽取次数 ? 的分布列和数学期望. 18.如图,已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内,M,N 分别为 AB,DF 的中点 。 (1)若平面 ABCD ⊥平面 DCEF,求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值; (2)用反证法证明:直线 ME 与 BN 是两条异面直线

x2 y2 19.如图,已知直线 L : x ? my ? 1过椭圆C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且交椭圆 C 于 A,B 两 a b
点,点 A, F,B 在直线 G : x ? a 上的射影依次为点 D,K,E.
2

(1)若抛物线 x ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程;
2

(2) (1) 对于 中的椭圆 C, 若直线 L 交 y 轴于点 M, MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , m 变化时, ?1 ? ?2 且 当 求
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的值; (3)连接 AE,BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定点 N,请求出 N 点 的坐标并给予证明;否则说明理由. 20.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x ? (a ? 4) x在(1,??) 上是增函数. 2
a2 2

(I)求实数 a 的取值范围; (II)在(I)的结论下,设 g ( x) ?| e ? a | ?
x

x ? [0, ln 3] ,求函数 g (x) 的最小值.

21.本题有⑴、⑵、⑶三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则按所做的 前两题记分.
2 2 (1)曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 在二阶矩阵 M ? ?

?1 a ? 2 2 ? 的作用下变换为曲线 x ? 2 y ? 1 , ?b 1 ?

①求实数 a, b 的值;②求 M 的逆矩阵 M ?1 .
1 ? ? x ? 1 ? cos ? ? x ? ?2 2 ? 2 t (2)在曲线 C1 : ? ,在曲线 C1 求一点,使它到直线 C 2 : ? 的距 (? 为参数) (t为参数) ? ? y ? sin ? 1 ?y ?1? t ? ? 2 离最小,并求出该点坐标和最小距离.

(3)设函数 f ( x ) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

①当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; ②若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z§xx§k.Com]

[来源:学科网]

诏安一中、长泰一中、龙海二中、平和一中、南靖一中五校联考

2009-2010 学年上学期期末考

[来源:Zxxk.Com]

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高三数学(理科)试题参考答案
1-5 CACBD 6-10CBBDA 11. 73 12. 2n ? 1 13. 256 14.1 15.70=16+17+18+19=12+13+14+15+16=7+8+9+10+11+12+13
[来源:Zxxk.Com]

16.解: (1) m ? n ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? sin(A ? B)

????2 分

对于 ?ABC, A ? B ? ? ? C,0 ? C ? ? ? sin(A ? B) ? sin C ,

? m ? n ? sin C.
又? m ? n ? sin 2C ,

????3 分

? sin 2C ? sin C , cos C ?

1 ? ????6 分 ,C ? . 2 3 sin A, sin C , sin B 成等差数列 , 得2 sin C ? sin A ? sin B
, ????8 分

(2)由 由正弦定理得 2c ? a ? b.

? CA ? ( AB ? AC ) ? 18,? CA ? CB ? 18 ,
即 ab cosC ? 18, ab ? 36.
2 2 2 2

????10 分

由余弦弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b) ? 3ab , ????11 分

[来源:学|科|网]

? c 2 ? 4c 2 ? 3 ? 36, c 2 ? 36 ,

?c ? 6. ????13 分

17.解: (1)计事件 A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数” ,

C32 1 所以 P( A) ? 2 ? . ??????????????5 分 C6 5
(2) ? 可取 1,2,3,4.

P(? ? 1) ?

1 C3 1 C1 C1 3 ? , P(? ? 2) ? 3 ? 3 ? , 1 1 1 C6 2 C 6 C5 10

P(? ? 3) ?

1 1 1 C3 C 2 C3 C1 C1 C1 C1 3 1 ? 1? 1 ? , P(? ? 4) ? 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? ;????10 分 1 1 1 1 1 C 6 C5 C 4 20 C 6 C5 C 4 C 3 20

故ξ 的分布列为 ξ
[来源:学§科§网]

1

2

3

4

P

1 2

3 10

3 20

1 20

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E? ? 1 ?

1 3 3 1 7 ? 2 ? ? 3? ? 4? ? . 2 10 20 20 4

答: ? 的数学期望为 . ????13 分

7 4

18.设正方形 ABCD,DCEF 的边长为 2,以 D 为坐标原点,分别以射 线 DC,DF,DA 为 x,y,z 轴正半轴建立空 间直角坐标系如图. 则 M(1,0,2),N(0,1,0),可得 MN =(-1,1,2). 又 DA =(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量, 可得 cos( MN , DA )=
MN ? DA || MN || DA | ?? 6 3

·

所以 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为
MN , DA ? 6 3

cos

·

??7 分 ??9 分

(Ⅱ)假设直线 ME 与 BN 共面, 则 AB ? 平面 MBEN,且平面 MBEN 与平面 DCEF 交于 EN 由已知,两正方形不共面,故 AB ? 平面 DCEF。 又 AB//CD,所以 AB//平面 DCEF。面 EN 为平面 MBEN 与平面 DCEF 的交线, 所以 AB//EN。 又 AB//CD//EF, 所以 EN//EF,这与 EN∩EF=E 矛盾,故假设不成立。 所以 ME 与 BN 不共面,它们是异面直线. 19.解: (1)易知 b ?

??13 分

3

? b 2 ? 3, 又F (1,0)

?c ? 1

a2 ? b2 ? c2 ? 4

y

x2 y2 ? 椭圆C的方程为 ? ? 1 ???????????4 分 4 3 A 1 (2)? l与y轴交于M (0,? ) m
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

M
B

O

F

x

? x ? my ? 1 由? 2 2 ?3 x ? 4 y ? 12 ? 0

? (3m 2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0

? ? 144 (m 2 ? 1) ? 0

?

1 1 2m ? ? (*) ????????????????4 分 y1 y 2 3

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又由 MA ? ?1 AF

? ( x1 , y1 ?

1 ) ? ?1 (1 ? x1 ,? y1 ) m
1 my 2

? ?1 ? ?1 ?

1 my1

同理 ? 2 ? ?1 ?

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?

1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? m y1 y 2 3 3

[来源:Z.xx.k.Com]

8 ? ?1 ? ?2 ? ? ??????????????9 分 3
(3)? F (1,0), k ? (a ,0)
2

先探索, m=0 时, 当 直线 L⊥ox 轴, ABED 为矩形, 则 由对称性知, 与 BD 相交 FK 中点 N , N ( AE 且

a2 ?1 ,0) 2

猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N (
2

a2 ?1 ,0) ????????8 分 2
2

证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), E (a , y 2 ), D(a , y1 ) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

? x ? my ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2mb 2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2 b 2 (a 2 ? m 2 b 2 ? 1) ? 0(? a ? 1) 又K AN ? ? y1 ? y2 , K EN ? a ?1 1? a2 ? my1 2 2
2

而K AN ? K EN

a2 ?1 ( y1 ? y 2 ) ? my1 y 2 ? 2 2 2 1? a a ?1 ( ? my1 ) 2 2

(?

a2 ?1 a2 ?1 2mb 2 b 2 (1 ? a 2 ) ( y1 ? y 2 ) ? my1 y 2 ? ? (? 2 ) ? m? 2 2 2 a ? m 2b 2 a ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (mb 2 ? mb 2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
? A、N、E 三点共线

? K AN ? K EN

同理可得 B、N、D 三点共线 ∴AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 ?1 ,0) ????????14 分 2

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20.解: (I) f ?( x) ? x ?

1 ? a ? 4. ????????????????? 2 分 x

? f ( x)在(1,??)上是增函数, 1 1 ? a ? 4 ? 0在(1,??)上恒成立, 即a ? 4 ? ( x ? )恒成立. x x 1 ? x ? ? 2(当且仅当x ? 1时, 等号成立), x 1 ? 4 ? ( x ? ) ? 2. x ?x?
所以 a ? 2. ??????????????????????????7 分 (II)设 t ? e , 则h(t ) ?| t ? a | ?
x

a2 . 2

? 0 ? x ? ln 3,?1 ? t ? 3. ??8 分

? a2 ?t ?a? ,1 ? t ? a, ? ? 2 当 2 ? a ? 3时, h(t ) ? ? ??????????10 分 2 ?t ? a ? a , a ? t ? 3. ? 2 ?

a2 ? h(t )的最小值为h(a) ? . 2
当 a ? 3时, h(t ) ? ?t ? a ?

????????????????11 分

[来源:学科网]

a2 . 2 a2 . ??????????????13 分 2

? h(t )的最小值为h(3) ? a ? 3 ?

[来源:Z.xx.k.Com]

a2 所以,当 2 ? a ? 3时, g ( x)的最小值为 ,当a ? 3时, 2

g (x) 的最小值为 a ? 3 ?

a2 . ?????????????????? 14 分 2
2 2

[来源:学科网]

21.A.(1)设 P( x, y ) 为曲线 x ? 2 y ? 1 上任意一点, P ( x , y ) 为曲线 x ? 4 xy ? 2 y ? 1 上与 P 对应
' ' '
2 2

? x ? x ' ? ay ' ?1 a ? ? x ' ? ? x ? ? ? ? ,即 ? 的点,则 ? ? ? '? ' ' ?b 1 ? ? y ? ? y ? ? y ? bx ? y

????????2 分

' ' 2 ' ' 2 代入的 ( x ? ay ) ? 2(bx ? y ) ? 1 得 ?1 ? 2b2 ? x?2 ? ? 2a ? 4b ? x?y ? ? ? a 2 ? 2 ? y ?2 ? 1 ,

?1 ? 2b 2 ? 1 ? 及方程 x2 ? 4 xy ? 2 y 2 ? 1 ,从而 ? 2a ? 4b ? 4 ,解得 a ? 2, b ? 0 , ? 2 ?a ? 2 ? 2

???????4 分

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(2)因为 M ?

1 2 0 1

? 0 ,故 M ?1

?1 ?1 ?? ?0 ? ?1

?2 ? 1 ? ? 1 ?2 ? ?? 1 ? ?0 1 ? ? ? ? 1 ?

??????????7 分

B.直线 C2 化成普通方程是 x ? y ? 1 ? 2 2 ? 0 ?????????????????2 分 设所求的点为 P(1 ? cos ? ,sin ? ) ,则 C 到直线 C2 的距离

d?

|1 ? cos ? ? sin ? ? 2 2 ? 1| 2

?????????????????????4 分

? = sin(? ? ) ? 2 ????????????????????????????5 分 4
当? ?

?
4

?

3? 5? 时,即 ? ? 时, d 取最小值 1 ????????????6 分 2 4

? 2 2? ,? 此时,点 P 的坐标是 ? 1 ? ? ???????????????????7 分 ? 2 2 ? ? ?

C.(1)由题设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 , 如图,在同一坐标系中作出函数 y ? x ? 1 ? x ? 2 和 y ? 5 的 图 象(如图所示),知定义域为 ? ??, ?2? ? ?3, ?? ? .??? 4 分 (2)由题设知,当 x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 ,
5

y

y= x+1 + x-2

y=5 4 3 2 1 -3 -2 -1 O 1 2 3 x

即 x ? 1 ? x ? 2 ? ?a , 又由(1) x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,∴ ?a ? 3,即a ? ?3 ?????7 分

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