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高中数学教学论文 由题后反思培养学生自我探究能力

由题后反思培养学生自我探究能力
“掌握数学就意味着解题” (G.波利亚) 如何提高学生的解题能力正是中学教师共同的 , 话题。我们常见到这样的情形:课堂上听懂了,堂上作业也做对了,可是课外再做同类的题 又做不出或者做错。这是什么原因?是学生笨吗? 当然不是,其中一个很重要的原因就是学生做题后不反思,没有养成题后反思的习惯!常常 满足于题目的做法,而不进一步追究为什么这样做,知其然而不知其所以然,这样获得的知 识往往只是表面的、肤浅的。 所谓反思, 是指主动地对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考。 是对已形成的数 学思想、方法和知识从另一角度,以另一方式进行再认识,以求得新的认识或提出疑问作为 新的思考起点 。 经常反思,能促进学生从不同方面多角度观察事物,并寻求不同思路,善于在学习中质疑问 难,解决问题时不满足于常规的思考方法,同时也有利于创新能力的形成,有利于自我探究 能力的形成。新课程理念倡导积极主动,勇于探索的学习方式,不应只限于接受、记忆、模 仿和练习,鼓励学生在学习过程中,养成独立思考、积极探索的习惯。 《新课程标准》力求 在夯实基础的同时,自始至终体现创新精神, 为学生提供“提出问题、探索思考和实践应 用”的空间。 那么怎样让学生养成解题后反思的习惯,培养自我探究能力呢? 一、 反思错解,培养思维的严谨性和批判性,提高自我探究能力 错误是学生在学习中自然存在的现象。对错误反思能使学生认识错误所在,自诊自治,提高 对错误的免疫力。 同时形成理性思维是培养学生具有社会责任感、 学会批判思考的基本环节。 反思错解,关键在于找准根源,教师可引导学生从以下几点反思: ①错误出现在何处?是题意理解不完整,还是推理不严密,还是结论不简洁。 ②错误根源是什么?概念理解不准确,公式、方法运用不当,还是书写不规范。 ③如何得出正确答案? 教师可采用以下方式引导学生反思: 1、 在教学中有意出现错误。教学中,教师可选准时机,有意按照学生的“常见病”,“多 发病”的歧路出错,把错误暴露给学生。 例 1 已知 y=k(x-2)+1 与 y= 有两个不同的公共解,求 k 的取值

一开始,教师有意迎合学生的习惯思维,板书错误解答。

解:由题意得 k(x-2)+1=

要使两方程有两个不同的公共解,即需

1

至此可让学生寻找别的解法,经过一段时间,一些学生用解析法求出

。这时学

生发现问题,习惯思维受到冲击,有些学生发现老师错误,但不知所在,经老师引导,原来 当一元二次方程中未知数取值范围受到限制时, 利用判别式的取值来判定方程的解不准确 , 犯了方法运用不当,推理不严密的错误。 2、一题多错,辨别分析错误。教师可组织学生积极参与,辨析思维,挖掘致错根源。师 生共同探究,充分展示探究过程,达到对解题方法的透彻理解。

例 2 已知 a,b

,且 a+b=1,求证: + (

)( +

先让学生练习,教师巡视,并让证题出错的学生板演。 错证 1: 错证 2:

错证 3

然后组织学生自己分析错因,可以发现错证 1 和错证 2 中等号成立的条件均为 a=b=1, 这与条件 a+b=1 相悖。错证 3 则是应用了异向不等式相加的错误推理,较为隐蔽。 反思错因,促进了正确思路的萌生。在分析中,学生能掌握证题的关键是抓住等号成

立的条件,容易估猜当 a=b= 举一种。正解:

时等号成立。学生在这个原则指导下,探索了多种证法,现

2

通过以上的教学形式,可帮助学生形成反思错解的习惯 也知道如何去寻找错因,从而总结 教训,避免再犯;同时也加深了对概念、法则、定理、公式的理解,训练了思维的严谨性和 批判性,也促进了知识的同化和顺应。师生共同参与,揭示探究过程,在潜移默化中培养学 生的自我探究能力。 二、反思突破口,培养思维的开阔性和灵活性,提高自我探究能力 有些题学生往往感到无法入手, 或做到中途无法继续。 其实解不出的题往往只是某个小 知识点或某种处理方法没有掌握,只要找到阻碍思路的地方,弄通它,思路就豁然开朗了。 解题不仅仅是知道解法,更重要是反思解题过程,从中找出卡住思路的地方,这些常常也是 题目的突破口,从而逐步积累解题经验,为进一步探究打下坚实的基础。

例 3、已知椭圆

,问是否存在斜率为 k(k

0)的直线 L,使 L 与椭

圆交与两个不同点 M,N,且|AM|=|AN|,若存在,求 k 的取值范围,若不存在,请说明理由。 此题设 L:y=kx+b 与椭圆方程联立,先找 k 与 b 的关系,再由联立的方程的 >0 建立 k 的

不等式,相当繁琐,参数太多,学生往往在中途会做不下去。 解: 假设存在斜率为 k 的直线 L,令 M(x1,y1),N(x2,y2)中点为 P(x0,y0),由|AM|=|AN|得 L LAP

即 kAp=

---------------(1)







k=

-------------(2)

由(1)(2)得 ,
3

因 P 点在椭圆内,所以

解得

故 L 存在

教师给出此解法后让学生反思,学生不难发现解法是从 L 的斜率 k 出发,借助|AM|=|AN|, 得出 L LAP,P 为 MN 的中点,用 k 表示 P 点,再考虑 P 点在椭圆内 , 从而建立 k 的不等式。

解法关键在于控制 P 点在椭圆内, 从而避开了繁琐的计算。 这也是一大类有关圆锥曲线和直 线,点的对称问题的关键所在。用此法可较容易解决下题:

例 4 已知椭圆 C 的方程为

,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 y=4x+m,椭圆

C 上有不同的两点关于该直线对称(广东高考题)。 三、反思总结,扩大成果,培养思维的发散性和创新性,提高自我探究能力 解题不在多而在深。肤浅的解决很多问题,在题海里浮游,就捕捞不到有价值的东西;反之 认真研究一个问题, 总结出几条借鉴的规律, 以后在遇到类似的或相近的题目, 就不但会解, 还可以多方面去解,甚至推而广之,以一当十。 因此,每解一道新题,都要反思,争取得到尽可能多的收获。“一个大的发现可以解决一个 新的问题, 但在解决任何一个问题里都有一点点发现”。 若能在解题中注重积累“一点点的 发现”,从量变到质变,慢慢就可培养出一种善于思考问题和解决问题的能力,有能力进行 自我探究。 1、反思解法,寻求一题多解。题目往往由于审题的角度不同,得出多种解题方法。教师应 启发学生进行多角度观察,联想,找到更多的思维通道,探索更好的解题途径。一题多解的 训练,能开阔思维,增强综合运用数学知识的能力,利于培养创造性的发散思维。 例 5 求使关于 x 的方程 ㏒ 2x=2 ㏒ 2(x-a)2 恰有一实数解的 a 的取值范围 等价于

解法一:原方程可化为㏒ 22x=㏒ 2(x-a)2

得 x2-(2a+2)x+a2=0

①当

时 a=

,可得

满足。 (注:多数高三学生只能做到这里)

4

②当

时即

得 得

其中

满足题意要

使原方程只有一解只需

综上,当

或 a=

时原方程有唯一解

此解法较繁,②中用求根公式较少见,绝大多数学生想不到。 教师可引导学生回到等价转换的地方再观察,不难发现问题实质是要使方程 2x=(x-a)2 在 (a,+∞) 恰有一解,由此产生下列解法。 解法二:要使方程 2x=(x-a)2 在(a,+∞) 恰有一解

①当 ②当

时 a=

,可得

满足。

时,由 2x=(x-a)2 得 x2-(2a+2)x+a2=0,令 f(x)= x2-(2a+2)x+a2 则的图像在 ,(后略)

(a,+∞)内与 x 轴恰有一交点,而另一交点在(-∞,a],只需

此法较简,但仍需分情况讨论,可否不分呢?再回到等价转换的地方,可发现恰有一解,可 利用两函数的图像只有一个公共点实现。 解法三:

5

令 t=

(t>0)得 a=

(t>0)

由图可知当

或 a=

,两函数的图像只有一交点,即原方程恰有一解

可见后两种解法较简,体现了数形结合,正如华罗庚教授所说:“数缺形时少直觉,形少数 时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事非。” 通过以上多解训练,学生加深了对一元二次方程,一元二次函数的图像与性质,一元二次不 等式的深刻理解。达到一线串珠的效果,培养了学生思维的发散性和灵活性。 2、反思结论与条件。去掉题目条件的某些约束,使特殊条件一般化,推广到较普遍性的新 命题,能够证明吗?保持条件不变,把结论开拓引申,又可使题目深化。例如把射影定理的

结论加以开拓引申, 就得到勾股定理。 如例 5 由解法三可知当

或 a=

时原方程有唯

一解;a<

时方程无实数解;

<a<0 时原方程有两个不同的实数解。

3、反思解题规律,总结数学思想、方法、技巧。数学习题千变万化,但变化之中也有规律 可找。掌握了解题规律,就能提高解题速度。例如有时根据需要把某些字母(或式)看作未 知数而把其他字母看作常数, 或把等式看作方程, 这是灵活运用方程观点分析解题思路的常 用方法。又例如证面面垂直时,总是先证线面垂直;而条件给出面面垂直时,又常转化成线 面垂直,线线垂直。 例 6, (2006 高考广东 18 题)设函数 f(x)=-x3+3x+2 分别在 x1,x2 处取得极小值,极大值。 xoy 平面上点 A、 的坐标分别为(x1,f(x1))、 B (x2,f(x2)),该平面上动点 P 满足 =4,

6

点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4)的对称点。求 (1) 求点 A、B 的坐标; (2) 求动点 Q 的轨迹方程。 解:(1)对 y=-x3+3x+2 求导得 y’=-3x2+3,令 y’=0 解得 x=±1 当 x<-1 时,y’<0;当-1<x<1 时,y’>0;当 x>1 时,y’<0 所以 y 在 x=-1 处取得极小值 0,在 x=1 处取得极大值 4。即点 A、B 的坐标分别为(-1,0)、 (1,4)。 (2)设 P(x,y),则 =(-1-x,-y), =(1-x,4-y),由 =4

(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4 即 x2+(y-2)2=32 方法一:因点 Q 是点 P 关于直线 y=2(x-4)的对称点,所以动点 Q 的轨迹是一个以 C0( x0,y0)为圆心, 半径为 3 的圆, 其中 C0(x0,y0)和 C(0,2)关于直线 y=2(x-4)对称, 于是有

故动点 Q 轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9 方法二:设 Q(u,v),因 P、Q 关于直线 y=2(x-4)对称,故

代入 x2+(y-2)2=32 化简得(u-8)2+(v+2)2=9 Q 轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9 题目解完后,可引导学生反思解题规律: ① 数学思想在解题中的运用。题中条件 =4 的处理,是将向量问题

坐标化,化归为代数问题处理,这是方程思想和化归思想的联合应用。事实上,当我们拿到 一个新的数学问题而不知如何下手时, 首先要想到的是用方程或函数的观点去看问题, 往往 能迅速抓住问题的实质。 ②方法与技巧的运用。 求点的轨迹有两种基本处理方法: (1)直接法,在知道轨迹是圆的情况 下,可以直接求圆心和半径;(2)相关点法,这是通法,在不知道轨迹的情况下,将 Q 的问 题转化到 P 点处理,也是化归思想的体现。 ③解法的选择。在解题中要先想一想解决问题有几种方案,哪种方案较好,然后从最优方案 入手。这也是考试时的重要解题策略。例如我们应该选择方法一,在高考时就可以节省大量 时间去做其它难题。 通过反思,学生加深了对数学思想方法与实际应用的领悟,逐步学会了归纳和总结。一段 时间的积累后,就可达到快速解决问题的目的。可见,反思是知识转化为能力的桥梁。同时 也使得我们有能力去做进一步的探究, 会发现一些我们意想不到的结论。 有利于激发学生学 习数学的兴趣,有利于增强学生的数学应用意识,有利于扩展学生的视野。教师应经常的有 目的多角度引导学生学会题后反思,教会学生反思,锤炼思维,提高解题能力,开发创新意 识。这也是新课程的要求。

7

总之,通过反思可让学生沟通新旧知识的联系,挖掘知识之间的内在联系,促进知识的同 化和迁移。同时也有利于学生建立合理的知识结构和体系。教师在教学中要让学生有时间, 有机会对自己的数学学习的思维加以反思,要教会学生反思,让学生养成反思的习惯。只有 学生自己去反思,才能更好地总结解决问题的基本方法、技巧和经验教训,领悟数学思想方 法,优化认知结构,提高思维层次,开发智能和潜能, 从而举一反三, 培养自我探究的能力, 真正从题海中走出来。

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