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上海高中数学-复数讲义



一、知识点梳理: 1、i 的周期性: i =1,所以,i
4 4n+1



=i, i

4n+2

=-1, i

4n+3

=-i, i =1 ? n ? Z ?
4n
王新敞
奎屯 新疆

i 4n ? i 4n?1 ? i 4n?2 ? i 4n?3 ? 0 ? n ? Z ?
2 、复数的代数形式: a ? bi ? a, b ? R ? , a 叫实部, b 叫虚部,实部和虚部都是实数。

C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c且b=d ; a ? bi ? 0 ? a ? 0且b=0

?实数 (b=0) ? 4、复数的分类: 复数Z ? a ? bi ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ?
虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是 3 ? i, 6 ? 2i 也没有大小。 5、 复数的模: 若向量 OZ 表示复数 z, 则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模, z ?| a ? bi |? 积或商的模可利用模的性质(1) z1 ? 6、复数的几何意义: 复数 z ? a ? bi ? a, b ? R ? ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应

a 2 ? b2 ;

zn ? z1 ? z2 ?

(2) ? zn ,

z z1 ? 1 z2 z2

?z

2

? 0?

复数Z ? a ? bi ? a, b ? R ?

一一对应

? 平面向量OZ ,

7、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中 x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 ,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算
王新敞
奎屯 新疆

复数 z1 与 z2 的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数 z1 与 z2 的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律

? a, b, c, d ? R? ? a, b, c, d ? R?

数加法的几何意义:复数 z1=a+bi,z2=c+di ? a, b, c, d ? R ? ;OZ = OZ 1 + OZ 2 =(a,b)+(c,

d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义:复数 z1-z2 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 Z2 Z1 ? OZ1 ? OZ2 ,两个
王新敞
奎屯 新疆

复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地, z AB ? zB-zA., z AB ? AB ? z B ? z A 为两点间的距离。

| z ? z1 |?| z ? z2 | z 对应的点的轨迹是线段 Z1Z 2 的垂直平分线;| z ? z0 |? r , z 对应的点的

轨迹是一个圆; | z ? z1 | ? | z ? z2 |? 2a Z1 Z2 ? 2 a , z 对应的点的轨迹是一个椭圆;

?

?

| z ? z1 | ? | z ? z2 | ? 2a? Z1 Z2 ? 2 a? , z 对应的点的轨迹是双曲线。

10、显然有公式:

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2 z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? 2 z1 ? z2
2 2

?

2

2

?
? a, b, c, d ? R?

11、复数的乘除法运算: 复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 * 实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z ,z ,z ∈C 及 m,n∈N 有: 1 2 3 m n m+n z z =z , 复数的除法: m n mn n n n (z ) =z , (z z ) =z z . 1 2 1 2

a ? bi ac ? bd bc ? ad z1 ? i = ? (a+bi) ? (c+di)= c ? di c 2 ? d 2 c 2 ? d 2 z2

? a, b, c, d ? R? ,分母实

数化是常规方法 12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复 数;特别地,虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数;

z ? a ? bi, z ? a ? bi ? a, b ? R ? , 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实 轴 对 称 。
z ?| z |? a 2 ? b 2

z ? z ? a 2 ? b2 ? R, z ? z ? z ? z , z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,
1 i

2

2

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ,

? z1 ? z1 ? ?? ? z2 ? z2

2 2 13、熟记常用算式: ? ?i , (1 ? i) ? 2i , (1 ? i) ? ?2i ,

1? i 1? i ?i, ? ?i 1? i 1? i

14、复数的代数式运算技巧:
2 (1)① (1 ? i) ? 2i 2 ② (1 ? i) ? ?2i

1? i ?i ③1? i

1? i ? ?i ④1? i

??? ?
(2) “1”的立方根

1 2

3 i 2 的性质:
2

①? ? 1
3

②? ? ?
2

③1 ? ? ? ? ? 0

??


1

?

? ?1

1
⑤?

??

15、实系数一元二次方程的根问题:

(1)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个实根 x1 , x 2 。 (2)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时,方程有两个共轭虚根,其中 x1 ? x2 。

此时有

x1

2

? x2

2

? x1 x 2 ?

c ? b ? ? ?i 且 x1, 2 ? 。 a 2a

注意两种题型:(1)x1 ? x2

(2)x1 ? x2

虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。但仍然适用 韦达定理。 已知 x2 ? x1 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,求 x2 ? x1 的方法:
2

(1)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,
2

x 2 ? x1 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
(2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,
2

b 2 ? 4ac a

x 2 ? x1 ?

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

4ac ? b 2 a

2 已知 x1,x 2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的两个根,求 x 2 ? x1 的方法:

(1)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时, c b ① x1 ? x2 ? 0, 即 ? 0 ,则 x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? a a
c ② x1 ? x2 ? 0, 即 ? 0 ,则 x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? a
2 (2)当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,

b 2 ? 4ac a

x2 ? x1 ? 2 x1 ? 2 x1 ? x2 ? 2
二、典例分析: (1+i) 例 1. (1)复数 等于( 1-i A.1-i
2 2

c a

) C.-1+ i D.-1-i

B.1+i

2i (1+i) ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i ,选 C. 解析: 复数 = 1- i 1 ? i
(2)若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = 解:已知 ? Z ? iZ ? 2i ? Z ? 2i ? i ?1 ;
? ?



1? i

(3)设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 解析: (1) a, b, c ? R, 复数 (a ? bi)(c ? di) = (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 为实数,∴ ad ? bc ? 0 ,

选 D; (4)已知

m ? 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m ? ni ? ( 1? i
(B) 1-2i (C)2+i



(A)1+2i 解析:

(D)2-i

?1 ? n ? 0 m ? 1 ? ni ? m ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?i ,由 m 、 n 是实数,得 ? , 1? i ?1 ? n ? m ?n ? 1 ? m ? ni ? 2 ? i ,故选择 C。 ?m ? 2
x y 5 ? ? ,则 x ? y ? 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i


∴?

(5)设 x, y 为实数,且

解析:

x y x(1 ? i ) y (1 ? 2i) x y x 2y ? ? ? ? ( ? ) ? ( ? )i , 1 ? i 1 ? 2i 2 5 2 5 2 5



5 5(1 ? 3i) 1 3 x y 1 x 2y 3 ? ? ? i 所以 ? ? 且 ? ? ,解得 x=-1,y=5, 1 ? 3i 10 2 2 2 5 2 2 5 2

所以 x+y=4。 点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。

? 2? ? 例 2: (1)计算: ?? ? 1 ? i 1 ? 2 3i ? ? ? 答案: ? 1 ? i ?2 3 ?i

1996

(2)设复数 z 满足关系 z ? | z |? 2 ? i ,求 z; 解:设 z=a+bi(a,b 为实数) ,由已知可得 a ? bi ? a 2 ? b 2 ? 2 ? i 由复数相等可得: ?

? 3 3 ?a ? a 2 ? b 2 ? 2 ,解得 a ? , b ? 1 ,所以 z ? ? i 4 4 ? ?b ? 1

设 z=a+bi-x+yi(a,b 为实数)复数问题实数化。 (3)若 x ? C ,解方程 | x |? 1 ? 3i ? x 解: 设 x=a+bi (a,b∈R)代入条件得: a 2 ? b 2 ? 1 ? a ? (3 ? b)i ,由复数相等的定义可得:

? a2 ? b2 ? 1 ? a ,∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。 ? ?3 ? b ? 0
例 3:(1)复数 z 满足 | z ? i | ? | z ? i | ? 1 ,则 z 对应的点在复平面内表示的图形为(A)
2 2

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 2 2 2 2 解:令 z=x+yi(x,y∈R) ,则 x +(y+1) -[x +(y-1) ]=1,∴y=1/4。故选 A。 (2)设复数 z 满足: | z ? 3 ? 3i |? 3 ,求|z|的最大值与最小值;

解:|z|的最大值为 3 3 ,最小值为 3 ; (3)已知 z∈C,|z-2|=1 且复数 z-2 对应的点落在直线 y=x 上,求 z。 解:设 z-2=a+ai,∵|z-2|=1,∴ a ? ?

2 , 2

∴z?2?

2 2 2 2 ? i或z ?2? ? i。 2 2 2 2

【思维点拨】从整体出发利用条件,可简化运算,本题也可设 z=a+bi 再利用条件,但运算 复杂。 (4)设 z ? C,1 ?| z |?

2 ,则复数 u ? z(1 ? i) ,在复平面内对应的图形面积为_______。

解:∵|u|=| z |?|1+i|= 2 |z|,∴ 2 ≤|u|≤2,故面积 S= ? [22 ? ( 2 ) 2 ] ? 2? 。 【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。 例 4:已知 z=1+i,a,b 为实数, (1)若ω =z +3 z -4,求|ω |; (2)若
2

z 2 ? az ? b ? 1 ? i ,求 a,b 的值。 z2 ? z ?1
2

解: (1)ω =(1+i) +3(1-i)-4=―1―i,∴ | ? |? (2)由条件

2。

?a ? ?1 (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,∴ (a ? b) ? (a ? 2)i ? 1 ? i ,∴ ? 。 i ?b?2

【思维点拨】利用复数的充要条件解题。 例 5:设 z ? C , 且

z 是纯虚数,求 | z ? i | 的最大值。 z ?1
z z x2 ? y2 ? x y ,∵ 是纯虚数, ? ? 2 2 2 2 z ? 1 ( x ? 1) ? y z ?1 ( x ? 1) ? y
y O -1 P 1/2 x

解:令 z=x+yi(x,y∈R) ,则

∴?

1 2 1 ?x 2 ? y 2 ? x ? 0 2 ,即 ( x ? ) ? y ? ( y ? 0) ,由数形结 y?0 2 4 ?

1 2 1 2 合可知本题是求圆 ( x ? ) ? y ? ( y ? 0) 上的点到 A(0,-1) 2 4
的最大距离。∴ | z ? i | max=|PA|= 练习:

5 ?1 。 2

1.已知复数z与( z ? 2) 2 ? 8i均是纯虚数,则 z ? ______ Z ? ?2i 2..若(a ? 2i ) i ? b ? i ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则a 2 ? b 2 =( D ) A.0 B.2 C. 5 D.5
2

1 3.设复数ω =- + 3 i,则 1+ω =( 2 2
(B)ω 2 (C) ? 1 ? 4.复数 z ? 1 的共轭复数是(B ) (A)–ω
1? i



C

(D) 1 ?2 C. 1 ? i D. 1 ? i

A. 1 ? 1 i
2 2

B. 1 ? 1 i
2 2

5.若复数 z 满足方程 z 2 ? 2 ? 0 ,则 z 3 ? A. ?2 2 B. ?2 2



) D

C. ?2 2i D. ?2 2i a ? bi 6. 设 a 、 b 、 c 、 d ? R ,若 为实数,则 (C ) c?di (A) bc ? ad ? 0 (B) bc ? ad ? 0 (C) bc ? ad ? 0 7.如果复数 (m ? i)(1 ? mi) 是实数,则实数 m ? (
2

(D) bc ? ad ? 0



B

A. 1

B. ?1

1 ? i 2005 ) ? 8. ( 1? i

C. 2 ( )
2005

D. ? 2 A
2005

A. i B.- i C. 2 D.- 2 9.满足条件 | z ? i| ?|3 ? 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 10.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且 11.已知

)C
.a ?

z1 为纯虚数,则 实数a 的值为 z2

8 3

m C ? 1 ? ni ,其中 m,n是实数, i是虚数单位,则 m ? ni ? 1? i (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i

12、复数 (1 ? i)3 的虚部为 (A)3
3

(B)-3

(C)2

(D)-2

解析:复数 ?1 ? i ? = 1 ? 3i ? 3 ? i ? ?2 ? 2i ,所以它的虚部为-2,选 D. 13、在复平面内,复数 (A)第一象限 解:

1? i 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

1? i ( i 1+i) = =1-i 故选 D; i -1

点评:复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主要考 察复数的的分类和几何性质。 14、求满足条件: z
2

? ( z ? z )i ?
2

3?i (i 为虚数单位)的复数 z 2?i

[解]原方程化简为 z

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,

设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=-

1 3 且 y=± , 2 2

∴原方程的解是 z=15、已知 z1 ? x 2 ?

1 3 ± i. 2 2

x 2 ? 1 ? i , z 2 ? ( x 2 ? a)i 对于任意的 x∈R 均有|z1|>|z2|成立,试求

实数 a 的取值范围。 解:∵ |z1| >|z2|,∴ x 4 ? x 2 ? 1 ? ( x 2 ? a) 2 ,∴ (1 ? 2a) x 2 ? (1 ? a 2 ) ? 0 ,对 x ? R 成 立。 当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? 当 1 ? 2a ? 0 时 ?

1 时,不等式成立; 2

1 ? 2a ? 0 ? 1 1 ? ?1 ? a ? 。综上得 a ? ( ?1, ] 。 2 2 2 ?? 4(1 ? 2a)(1 ? a ) ? 0

【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。


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