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河北省衡水中学11-12学年高二下学期期末考试(数学理)

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2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试

高二年级(理科)数学试卷

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)

1.已知 Z1 ? 3 ? i, Z2

?

1

?

i,

Z1是Z1的共轭复数,

i为虚数单位,



Z1 Z2

?





A.1? i

B.1? i

C. 2 ? i

2.若 m ? 0 ,则| x ? a |? m 和| y ? a |? m 是| x ? y |? 2m 的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分有必要条件

D. 2 ? i
()

?3.

1
(

1? x2

? x)dx ?

?1

()

A. ?

B. ?

2

C.? ?1

D.? ?1

4. 在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sinθ ,过点(4,π6 )作曲线 C 的切线,则切线长

为( )

A.4

B. 7

C.2 2

D.2 3

? ? ? 5. a ?

2
xdx,b ?

2 exdx, c ?

2 sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是(



0

0

0

A a?c?b

Ba?b?c

C c?b?a

Dc ? a ?b

6 .如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线分别与AE、

BE相交于C、D,若∠AEB= 300 ,则∠PCE等于( )

A 1500

B 750

C 1050

D 600

P

B

D

E

C

A

第6题

7.关于 x 的不等式| cos x ? lg(1? x 2 ) |?| cos x | ? | lg(1? x 2 ) | 的解集为 ( )

A.(-1,1)

B. (? ? , ?1) ? (1, ? )

2

2

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C. (? ? , ? ) 22

D.(0,1)

8..直线

???x ?

?1?

1t 2

(t 为参数)和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标为

? ??

y

? ?3

3?

3t 2

()

A.(3,-3) B.(- 3,3) C.( 3,-3)

D.(3,- 3)

9.如图所示,AB 是圆 O 的直径,直线 MN 切圆 O 于 C,CD⊥AB,AM⊥MN,

BN⊥MN,则下列结论中正确的个数是(

)

①∠1=∠2=∠3

②AM·CN=CM·BN

③CM=CD=CN

④△ACM∽△ABC∽△CBN.

A. 4

B.3

C.2

D. 1

10.已知非零向量 a, b 满足: | a |? 2 | b | ,若函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 | a | x2 ? a ? bx 在 R 上有极 32
值,设向量 a, b 的夹角为? ,则 cos? 的取值范围为( )

A.[[ 1 ,1] 2

B. ( 1 ,1] 2

C.[?1, 1] 2

D.[?1, 1 ) 2

11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r ,则 r=a+2bS+c;

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为

R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=(

)

A.S1+S2+V S3+S4

B.

2V S1+S2+S3+S4

C.S1+S23+VS3+S4

D.S1+S24+VS3+S4

12.若实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 则 xy ? yz ? zx 的取值范围是

()

A.[-1,1]

B.[ ? 1 ,1] 2

C.[-1, 1 ] 2

D.[? 1 , 1] 22

二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上)

13. 以 Rt?ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O ,圆 O 与斜边 AC 交于 D ,过 D

作圆 O 的切线与 BC 交于 E ,若 BC ? 3, AB ? 4 ,则 OE =_________

14.

已知

曲线

C1



C2

的极坐标方

程分别为

? ? ?2 cos(? ? ? ) 2



2?

cos(?

?

? 4

)

?1

?

0

,则曲线

C1

上的点与曲线

C2

上的点的最远距离为

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15.设 a ? x2 ? xy ? y2 ,b ? p xy,c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a,b, c 为三边

长的三角形,则实数 p 的取值范围是

.

16.在求某些函数的导数时,可以先在解析式两边取对数,再求导数,这比用一般方法求导

数更为简单,如求 y ? x e x 的导数,可先在两边取对数,得 ln y ? ln x ex ? e x ln x ,再

在两边分别对

x

求导数,得 1 y

?y '

?ex

ln x

?ex

?

1 x

即为

y

' x

?

y ??e x ?

ln x

?ex

? 1 ?? ,即 x?

导数为 y

? x e x ???e x ?

ln x

?ex x

??? 。若根据上面提供的方法计算函数 y ?

?xx

的导数,则 y '

?

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 10 分)已知 a ? b ?1,对 ?a,b ?(0, ??) , 1 ? 4 ?| 2x ?1| ? | x ?1| 恒成立, ab
求 x 的取值范围。

18.(本题满分

10

分) 在平面直角坐标系

xOy

中,直线

l

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

?2 ? 3t 2 ? 4t

(t为参数)

它与曲线 C:(y-2)2 ? x2 ? 1 交于 A、B 两点。

(1)求|AB|的长
(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2, 3? ) , 4
求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。

19. (本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺 绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样 的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.

(1)求出 f (2) , f (3) f (4) f (5) 并猜测 f (n ) 的表达式;
P

C

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E
D

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(2)求证:f?11?+f?2?1-1+f?3?1-1+…+f?n?1-1 ?

3 2



20.(本题满分 10 分)如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC .
(Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB于点 E , AC ? 8 ,
CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3, 求 sin ?BCE .

21.(本题满分 14 分)某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数,单位为米)为半径的半 圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板

地, ?OCD 区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已

知观赏样板地的成.本.是每平方米 2 元,花木的利.润.是每平方米 8 元,

C

草皮的利.润.是每平方米 3 元.(1)设 ?COD ? ? (单位:弧度), 用? 表 示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ) ;(2)园林公司应该怎样规划这块土 A

M

D

O

B

地,才能使总利润最大? 并求相对应的?

(参考公式:扇形面积公式

S

?

1 2

R2?

?

1 2

Rl

,l

表示扇形的弧长)

22.(本题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (2a ?1)x ? 2ln x (a ? R) 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在 x ?1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g(x) ? x2 ? 2x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f (x1) ? g(x2 ) ,求 a
的取值范围.

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高二年级(理科) 期末数学答案

一、选择题:DABCD CADBD CB

二、填空题 13. 5 2

14. 2 ?1 15.(1,3)

16. x x (1 ? ln x )

三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本题满分 10 分)解:∵ a>0,b>0 且 a+b=1 ∴

14
+ =(a+b)(

1 + 4 )=5+ b + 4a ≥9,

ab

ab a b

故 1 + 4 的最小值为 9, ab


------------------------5

因为对 a,b∈(0,+∞),使 1 + 4 ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以,|2x-1|-|x+1|≤9, -7 ab


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当 x≤-1 时,2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,

当 -1<x< 1 时,-3x≤9, 2

∴ -1<x< 1 ,当 x≥ 1 时,x-2≤9, ∴ 1 ≤x≤11,∴ -7≤x≤11

2

2

2

10 分

18. 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

-------------

7t2 ?12t ? 5 ? 0

设 A , B 对应的参数分别为 t1, t2 ,则

t1

?

t2

?

12 7

, t1t2

?

?

5 7



……3 分

所以 AB ?

(?3)2 ? (?4)2 t1 ? t2 ? 5

(t1 ? t2 )2

? 4t1t2

? 10 71 7



……5 分

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为 t1 ? t2 ? 6 . 27
所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

……8 分

PM ? (?3)2 ? (?4)2 ? 6 ? 30 . 77

……10 分

20. 解: (1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴ f(5)=25+4×4=41.

∵ f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,

由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4·(n-

2),

f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),…

f(2)-f(1)=4×1, ∴ f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2),

又 n=1 时,f(1)也适合 f(n). ∴ f(n)=2n2-2n+1.

--------6 分

(2)当 n≥2 时,f?n?1-1=2n2-2n1+1-1=12??n-1 1-1n??,

∴ f?11?+f?2?1-1+f?3?1-1+…+f?n?1-1

=1+12??1-12+12-13+…+n-1 1-1n??

=1+12???1-1n???=32-21n.

---------------12 分

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20. (Ⅰ)证明: AB 为直径,??ACB ? ? , 2
?CAB ? ?ABC ? ? 2
??PAC ? ?ABC??PAC ? ?CAB ? ? 2
? PA ? AB, AB 为直径,? PA为圆的切线

P

C

A

.O

B

E

D

…………………… 3 分

(Ⅱ) CE ? 6k, ED ? 5k,, AE ? 2m, EB ? 3m

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k

??AEC∽ ?DEB ? BD ? 3m ? BD ? 4 5 8 6k

??CEB∽ ?AED ?

BC 2 AD 2

?

25 m 2 25 m 2

? 64 ? 80

? (3k )2 m

? m ? 2, k

?

25 5

? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB中 sin ?BAD ? BD ? 4 5 ? 2 5 AB 10 5

??BCE ? ?BAD?s i n?B C E? 2 5 …………………… 10 分 5

21

【解析】(1) S扇 ?

1 2

R2?



S?OCD

? 1 R2 sin? , 2

S弓

?

f

(? )

?

1 2

R2 (?

? sin? ) .………3



(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2 ,观赏样板地成本为 y3

y1

?

3(1 ? 2

R2

?

1 2

R2? )



y2

?

1 2

R2

sin?

?8



y3

?

1 2

R2 (?

?

sin? )

?

2

,

?

y

?

y1

?

y2

?

y3

?

3(1 ? 2

R2

?

1 2

R2? )

?

1 2

R2

sin?

?8?

1 2

R2 (?

? sin? ) ? 2

.

? 1 R2[3? ? (5? ?10sin? )]

2

C

……8 分

M

D

设 g(?) ? 5? ?10sin? ? ?(0,? ) .

A

O

B

g' (? ) ? 5 ?10cos?

, g'(? ) ? 0,cos? ? 1 , g(? )在? ?(0, 2

? )上为减函数; 3

g' (?

)

?

0,cos?

?

1 2

,

g(?

)在?

?(?3

,?)上为增函数.

……12 分

当? ? ? 时, g(? ) 取到最小值,此时总利润最大. 3

答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 ? 时,总利润最大. 3

………14 分

22.解: f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 (x ? 0) . ---------2 分 x

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(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? 2 . ---------3 分 3
(Ⅱ) f ?(x) ? (ax ?1)(x ? 2) (x ? 0) . x
①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ?1? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?(x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?(x) ? 0 ,

故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) .

②当 0 ? a ? 1 时, 1 ? 2 , 在区间 (0, 2) 和 ( 1 , ??) 上, f ?(x) ? 0 ;在区间 (2, 1 ) 上

2a

a

a

f ?(x) ? 0 ,

故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( 1 , ??) ,单调递减区间是 (2, 1 ) .

a

a

③当 a ? 1 时, f ?(x) ? (x ? 2)2 , 故 f (x) 的单调递增区间是 (0, ??) .

2

2x

④当 a ? 1 时, 0 ? 1 ? 2 , 在区间 (0, 1 ) 和 (2, ??) 上, f ?(x) ? 0;在区间 ( 1 , 2) 上

2

a

a

a

f ?(x) ? 0 ,

故 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, 1 ) 和 (2, ??) , 单 调 递 减 区 间 是 ( 1 , 2) .

a

a

--------

-9 分

(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f (x)max ? g(x)max .


---------10

由已知, g(x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,

①当 a ? 1 时, f (x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2

故 f (x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ?1) ? 2 ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ,

所以, ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0,解得 a ? ln 2 ?1,

故 ln 2 ?1 ? a ? 1 . 2

②当 a ? 1 时, f (x) 在 (0, 1 ] 上单调递增,在[ 1 , 2] 上单调递减,

2

a

a



f

( x)max

?

f

(1) a

? ?2 ?

1 2a

? 2ln a .

由 a ? 1 可知 ln a ? ln 1 ? ln 1 ? ?1, 2ln a ? ?2, ?2ln a ? 2 ,

2

2e

所以, ?2 ? 2ln a ? 0, f (x)max ? 0 ,











a ? ln 2 ?1

.

---------14 分

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