河北省衡水中学11-12学年高二下学期期末考试(数学理)

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2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试

高二年级(理科)数学试卷

一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）

1．已知 Z1 ? 3 ? i, Z2

?

1

?

i,

Z1是Z1的共轭复数,

i为虚数单位,

则

Z1 Z2

?

（

）

A．1? i

B．1? i

C． 2 ? i

2.若 m ? 0 ，则| x ? a |? m 和| y ? a |? m 是| x ? y |? 2m 的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分有必要条件

D． 2 ? i
（）

?3.

1
(

1? x2

? x)dx ?

?1

（）

A． ?

B. ?

2

C.? ?1

D.? ?1

4. 在极坐标方程中，曲线 C 的方程是 ρ ＝4sinθ ，过点(4，π6 )作曲线 C 的切线，则切线长

为( )

A．4

B. 7

C．2 2

D．2 3

? ? ? 5. a ?

2
xdx,b ?

2 exdx, c ?

2 sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是（

）

0

0

0

A a?c?b

Ba?b?c

C c?b?a

Dc ? a ?b

6 .如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、

BE相交于C、D，若∠AEB= 300 ,则∠PCE等于( )

A 1500

B 750

C 1050

D 600

P

B

D

E

C

A

第6题

7.关于 x 的不等式| cos x ? lg(1? x 2 ) |?| cos x | ? | lg(1? x 2 ) | 的解集为 （ ）

A.（-1,1）

B. (? ? , ?1) ? (1, ? )

2

2

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C. (? ? , ? ) 22

D.(0,1)

8..直线

???x ?

?1?

1t 2

(t 为参数)和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标为

? ??

y

? ?3

3?

3t 2

()

A．(3，－3) B．(－ 3，3) C．( 3，－3)

D．(3，－ 3)

9.如图所示，AB 是圆 O 的直径，直线 MN 切圆 O 于 C，CD⊥AB，AM⊥MN，

BN⊥MN，则下列结论中正确的个数是(

)

①∠1＝∠2＝∠3

②AM·CN＝CM·BN

③CM＝CD＝CN

④△ACM∽△ABC∽△CBN．

A． 4

B．3

C．2

D． 1

10.已知非零向量 a, b 满足： | a |? 2 | b | ，若函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 | a | x2 ? a ? bx 在 R 上有极 32
值，设向量 a, b 的夹角为? ，则 cos? 的取值范围为（ ）

A．[[ 1 ,1] 2

B． ( 1 ,1] 2

C．[?1, 1] 2

D．[?1, 1 ) 2

11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r ，则 r＝a＋2bS＋c；

类比这个结论可知：四面体 S－ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为

R，四面体 P－ABC 的体积为 V，则 R＝(

)

A．S1＋S2＋V S3＋S4

B．

2V S1＋S2＋S3＋S4

C．S1＋S23＋VS3＋S4

D．S1＋S24＋VS3＋S4

12.若实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 则 xy ? yz ? zx 的取值范围是

（）

A.[-1,1]

B.[ ? 1 ,1] 2

C.[-1， 1 ] 2

D.[? 1 , 1] 22

二、填空题（每题 5 分，共 20 分。把答案填在题中横线上）

13. 以 Rt?ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O ，圆 O 与斜边 AC 交于 D ，过 D

作圆 O 的切线与 BC 交于 E ，若 BC ? 3， AB ? 4 ，则 OE =_________

14.

已知

曲线

C1

、

C2

的极坐标方

程分别为

? ? ?2 cos(? ? ? ) 2

，

2?

cos(?

?

? 4

)

?1

?

0

，则曲线

C1

上的点与曲线

C2

上的点的最远距离为

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15.设 a ? x2 ? xy ? y2 ,b ? p xy,c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a,b, c 为三边

长的三角形,则实数 p 的取值范围是

.

16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导

数更为简单，如求 y ? x e x 的导数，可先在两边取对数，得 ln y ? ln x ex ? e x ln x ，再

在两边分别对

x

求导数，得 1 y

?y '

?ex

ln x

?ex

?

1 x

即为

y

' x

?

y ??e x ?

ln x

?ex

? 1 ?? ,即 x?

导数为 y

? x e x ???e x ?

ln x

?ex x

??? 。若根据上面提供的方法计算函数 y ?

?xx

的导数，则 y '

?

三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 10 分）已知 a ? b ?1，对 ?a,b ?(0, ??) ， 1 ? 4 ?| 2x ?1| ? | x ?1| 恒成立， ab
求 x 的取值范围。

18.（本题满分

10

分） 在平面直角坐标系

xOy

中，直线

l

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

?2 ? 3t 2 ? 4t

(t为参数）

它与曲线 C：（y-2)2 ? x2 ? 1 交于 A、B 两点。

（1）求|AB|的长
（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 (2 2, 3? ) ， 4
求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。

19. （本题满分 12 分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺 绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样 的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形．

(1)求出 f (2) ， f (3) f (4) f (5) 并猜测 f (n ) 的表达式；
P

C

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E
D

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(2)求证：f?11?＋f?2?1－1＋f?3?1－1＋…＋f?n?1－1 ?

3 2

．

20.（本题满分 10 分）如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC .
(Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB于点 E , AC ? 8 ,
CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3, 求 sin ?BCE .

21.（本题满分 14 分）某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数，单位为米)为半径的半 圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板

地， ?OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已

知观赏样板地的成．本．是每平方米 2 元，花木的利．润．是每平方米 8 元，

C

草皮的利．润．是每平方米 3 元.（1）设 ?COD ? ? (单位：弧度）, 用? 表 示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ) ;（2）园林公司应该怎样规划这块土 A

M

D

O

B

地,才能使总利润最大? 并求相对应的?

(参考公式:扇形面积公式

S

?

1 2

R2?

?

1 2

Rl

，l

表示扇形的弧长)

22.（本题满分 14 分）已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (2a ?1)x ? 2ln x (a ? R) 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在 x ?1 和 x ? 3 处的切线互相平行，求 a 的值； (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间； (Ⅲ)设 g(x) ? x2 ? 2x ，若对任意 x1 ? (0, 2] ，均存在 x2 ? (0, 2] ，使得 f (x1) ? g(x2 ) ，求 a
的取值范围.

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高二年级(理科) 期末数学答案

一、选择题：DABCD CADBD CB

二、填空题 13． 5 2

14． 2 ?1 15．（1,3）

16． x x (1 ? ln x )

三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分 10 分）解：∵ a＞0,b＞0 且 a+b=1 ∴

14
+ =(a+b)(

1 + 4 )=5+ b + 4a ≥9,

ab

ab a b

故 1 + 4 的最小值为 9， ab
分

------------------------5

因为对 a,b∈(0，+∞),使 1 + 4 ≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9, -7 ab
分

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当 x≤-1 时，2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,

当 -1＜x＜ 1 时，-3x≤9, 2

∴ -1＜x＜ 1 ,当 x≥ 1 时,x-2≤9， ∴ 1 ≤x≤11,∴ -7≤x≤11

2

2

2

10 分

18. 解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

-------------

7t2 ?12t ? 5 ? 0

设 A ， B 对应的参数分别为 t1, t2 ，则

t1

?

t2

?

12 7

, t1t2

?

?

5 7

．

……3 分

所以 AB ?

(?3)2 ? (?4)2 t1 ? t2 ? 5

(t1 ? t2 )2

? 4t1t2

? 10 71 7

．

……5 分

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ，根据中点坐标的性质可得 AB 中点

M 对应的参数为 t1 ? t2 ? 6 ． 27
所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为

……8 分

PM ? (?3)2 ? (?4)2 ? 6 ? 30 ． 77

……10 分

20. 解： (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式规律得出 f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－

2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…

f(2)－f(1)＝4×1， ∴ f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，

又 n＝1 时，f(1)也适合 f(n)． ∴ f(n)＝2n2－2n＋1.

--------6 分

(2)当 n≥2 时，f?n?1－1＝2n2－2n1＋1－1＝12??n－1 1－1n??，

∴ f?11?＋f?2?1－1＋f?3?1－1＋…＋f?n?1－1

＝1＋12??1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n??

＝1＋12???1－1n???＝32－21n.

---------------12 分

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20. （Ⅰ）证明： AB 为直径，??ACB ? ? , 2
?CAB ? ?ABC ? ? 2
??PAC ? ?ABC??PAC ? ?CAB ? ? 2
? PA ? AB, AB 为直径，? PA为圆的切线

P

C

A

.O

B

E

D

…………………… 3 分

（Ⅱ） CE ? 6k, ED ? 5k,, AE ? 2m, EB ? 3m

? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k

??AEC∽ ?DEB ? BD ? 3m ? BD ? 4 5 8 6k

??CEB∽ ?AED ?

BC 2 AD 2

?

25 m 2 25 m 2

? 64 ? 80

? (3k )2 m

? m ? 2, k

?

25 5

? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB中 sin ?BAD ? BD ? 4 5 ? 2 5 AB 10 5

??BCE ? ?BAD?s i n?B C E? 2 5 …………………… 10 分 5

21

【解析】（1） S扇 ?

1 2

R2?

，

S?OCD

? 1 R2 sin? , 2

S弓

?

f

(? )

?

1 2

R2 (?

? sin? ) .………3

分

(2)设总利润为 y 元，草皮利润为 y1 元，花木地利润为 y2 ，观赏样板地成本为 y3

y1

?

3(1 ? 2

R2

?

1 2

R2? )

，

y2

?

1 2

R2

sin?

?8

，

y3

?

1 2

R2 (?

?

sin? )

?

2

,

?

y

?

y1

?

y2

?

y3

?

3(1 ? 2

R2

?

1 2

R2? )

?

1 2

R2

sin?

?8?

1 2

R2 (?

? sin? ) ? 2

.

? 1 R2[3? ? (5? ?10sin? )]

2

C

……8 分

M

D

设 g(?) ? 5? ?10sin? ? ?(0,? ) .

A

O

B

g' (? ) ? 5 ?10cos?

， g'(? ) ? 0,cos? ? 1 , g(? )在? ?（0, 2

? ）上为减函数； 3

g' (?

)

?

0,cos?

?

1 2

,

g(?

)在?

?（?3

，?）上为增函数.

……12 分

当? ? ? 时， g(? ) 取到最小值,此时总利润最大. 3

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 ? 时，总利润最大. 3

………14 分

22.解： f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 (x ? 0) . ---------2 分 x

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（Ⅰ） f ?(1) ? f ?(3) ，解得 a ? 2 . ---------3 分 3
（Ⅱ） f ?(x) ? (ax ?1)(x ? 2) (x ? 0) . x
①当 a ? 0 时， x ? 0 ， ax ?1? 0 ， 在区间 (0, 2) 上， f ?(x) ? 0 ；在区间 (2, ??) 上 f ?(x) ? 0 ，

故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) ，单调递减区间是 (2, ??) .

②当 0 ? a ? 1 时， 1 ? 2 ， 在区间 (0, 2) 和 ( 1 , ??) 上， f ?(x) ? 0 ；在区间 (2, 1 ) 上

2a

a

a

f ?(x) ? 0 ，

故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( 1 , ??) ，单调递减区间是 (2, 1 ) .

a

a

③当 a ? 1 时， f ?(x) ? (x ? 2)2 ， 故 f (x) 的单调递增区间是 (0, ??) .

2

2x

④当 a ? 1 时， 0 ? 1 ? 2 ， 在区间 (0, 1 ) 和 (2, ??) 上， f ?(x) ? 0；在区间 ( 1 , 2) 上

2

a

a

a

f ?(x) ? 0 ，

故 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, 1 ) 和 (2, ??) ， 单 调 递 减 区 间 是 ( 1 , 2) .

a

a

--------

-9 分

（Ⅲ）由已知，在 (0, 2] 上有 f (x)max ? g(x)max .
分

---------10

由已知， g(x)max ? 0 ，由（Ⅱ）可知，

①当 a ? 1 时， f (x) 在 (0, 2] 上单调递增， 2

故 f (x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ?1) ? 2 ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ，

所以， ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0，解得 a ? ln 2 ?1，

故 ln 2 ?1 ? a ? 1 . 2

②当 a ? 1 时， f (x) 在 (0, 1 ] 上单调递增，在[ 1 , 2] 上单调递减，

2

a

a

故

f

( x)max

?

f

(1) a

? ?2 ?

1 2a

? 2ln a .

由 a ? 1 可知 ln a ? ln 1 ? ln 1 ? ?1， 2ln a ? ?2， ?2ln a ? 2 ，

2

2e

所以， ?2 ? 2ln a ? 0， f (x)max ? 0 ，

综

上

所

述

，

a ? ln 2 ?1

.

---------14 分

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