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2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试
高二年级(理科)数学试卷
一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)
1.已知 Z1 ? 3 ? i, Z2
?
1
?
i,
Z1是Z1的共轭复数,
i为虚数单位,
则
Z1 Z2
?
(
)
A.1? i
B.1? i
C. 2 ? i
2.若 m ? 0 ,则| x ? a |? m 和| y ? a |? m 是| x ? y |? 2m 的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分有必要条件
D. 2 ? i
()
?3.
1
(
1? x2
? x)dx ?
?1
()
A. ?
B. ?
2
C.? ?1
D.? ?1
4. 在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ =4sinθ ,过点(4,π6 )作曲线 C 的切线,则切线长
为( )
A.4
B. 7
C.2 2
D.2 3
? ? ? 5. a ?
2
xdx,b ?
2 exdx, c ?
2 sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是(
)
0
0
0
A a?c?b
Ba?b?c
C c?b?a
Dc ? a ?b
6 .如图,过点P作圆O的割线PBA与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线分别与AE、
BE相交于C、D,若∠AEB= 300 ,则∠PCE等于( )
A 1500
B 750
C 1050
D 600
P
B
D
E
C
A
第6题
7.关于 x 的不等式| cos x ? lg(1? x 2 ) |?| cos x | ? | lg(1? x 2 ) | 的解集为 ( )
A.(-1,1)
B. (? ? , ?1) ? (1, ? )
2
2
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C. (? ? , ? ) 22
D.(0,1)
8..直线
???x ?
?1?
1t 2
(t 为参数)和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A、B 两点,则 AB 的中点坐标为
? ??
y
? ?3
3?
3t 2
()
A.(3,-3) B.(- 3,3) C.( 3,-3)
D.(3,- 3)
9.如图所示,AB 是圆 O 的直径,直线 MN 切圆 O 于 C,CD⊥AB,AM⊥MN,
BN⊥MN,则下列结论中正确的个数是(
)
①∠1=∠2=∠3
②AM·CN=CM·BN
③CM=CD=CN
④△ACM∽△ABC∽△CBN.
A. 4
B.3
C.2
D. 1
10.已知非零向量 a, b 满足: | a |? 2 | b | ,若函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 | a | x2 ? a ? bx 在 R 上有极 32
值,设向量 a, b 的夹角为? ,则 cos? 的取值范围为( )
A.[[ 1 ,1] 2
B. ( 1 ,1] 2
C.[?1, 1] 2
D.[?1, 1 ) 2
11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r ,则 r=a+2bS+c;
类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球的半径为
R,四面体 P-ABC 的体积为 V,则 R=(
)
A.S1+S2+V S3+S4
B.
2V S1+S2+S3+S4
C.S1+S23+VS3+S4
D.S1+S24+VS3+S4
12.若实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 则 xy ? yz ? zx 的取值范围是
()
A.[-1,1]
B.[ ? 1 ,1] 2
C.[-1, 1 ] 2
D.[? 1 , 1] 22
二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上)
13. 以 Rt?ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O ,圆 O 与斜边 AC 交于 D ,过 D
作圆 O 的切线与 BC 交于 E ,若 BC ? 3, AB ? 4 ,则 OE =_________
14.
已知
曲线
C1
、
C2
的极坐标方
程分别为
? ? ?2 cos(? ? ? ) 2
,
2?
cos(?
?
? 4
)
?1
?
0
,则曲线
C1
上的点与曲线
C2
上的点的最远距离为
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15.设 a ? x2 ? xy ? y2 ,b ? p xy,c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a,b, c 为三边
长的三角形,则实数 p 的取值范围是
.
16.在求某些函数的导数时,可以先在解析式两边取对数,再求导数,这比用一般方法求导
数更为简单,如求 y ? x e x 的导数,可先在两边取对数,得 ln y ? ln x ex ? e x ln x ,再
在两边分别对
x
求导数,得 1 y
?y '
?ex
ln x
?ex
?
1 x
即为
y
' x
?
y ??e x ?
ln x
?ex
? 1 ?? ,即 x?
导数为 y
? x e x ???e x ?
ln x
?ex x
??? 。若根据上面提供的方法计算函数 y ?
?xx
的导数,则 y '
?
三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 10 分)已知 a ? b ?1,对 ?a,b ?(0, ??) , 1 ? 4 ?| 2x ?1| ? | x ?1| 恒成立, ab
求 x 的取值范围。
18.(本题满分
10
分) 在平面直角坐标系
xOy
中,直线
l
的参数方程为
?x
? ?
y
? ?
?2 ? 3t 2 ? 4t
(t为参数)
它与曲线 C:(y-2)2 ? x2 ? 1 交于 A、B 两点。
(1)求|AB|的长
(2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 P 的极坐标为 (2 2, 3? ) , 4
求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。
19. (本题满分 12 分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺 绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样 的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形.
(1)求出 f (2) , f (3) f (4) f (5) 并猜测 f (n ) 的表达式;
P
C
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E
D
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(2)求证:f?11?+f?2?1-1+f?3?1-1+…+f?n?1-1 ?
3 2
.
20.(本题满分 10 分)如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC .
(Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB于点 E , AC ? 8 ,
CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3, 求 sin ?BCE .
21.(本题满分 14 分)某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数,单位为米)为半径的半 圆形(如图)地上种植花草树木,其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板
地, ?OCD 区域用于种植花木出售,其余区域用于种植草皮出售.已
知观赏样板地的成.本.是每平方米 2 元,花木的利.润.是每平方米 8 元,
C
草皮的利.润.是每平方米 3 元.(1)设 ?COD ? ? (单位:弧度), 用? 表 示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ) ;(2)园林公司应该怎样规划这块土 A
M
D
O
B
地,才能使总利润最大? 并求相对应的?
(参考公式:扇形面积公式
S
?
1 2
R2?
?
1 2
Rl
,l
表示扇形的弧长)
22.(本题满分 14 分)已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (2a ?1)x ? 2ln x (a ? R) 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在 x ?1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值; (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间; (Ⅲ)设 g(x) ? x2 ? 2x ,若对任意 x1 ? (0, 2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f (x1) ? g(x2 ) ,求 a
的取值范围.
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高二年级(理科) 期末数学答案
一、选择题:DABCD CADBD CB
二、填空题 13. 5 2
14. 2 ?1 15.(1,3)
16. x x (1 ? ln x )
三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本题满分 10 分)解:∵ a>0,b>0 且 a+b=1 ∴
14
+ =(a+b)(
1 + 4 )=5+ b + 4a ≥9,
ab
ab a b
故 1 + 4 的最小值为 9, ab
分
------------------------5
因为对 a,b∈(0,+∞),使 1 + 4 ≥|2x-1|-|x+1|恒成立,所以,|2x-1|-|x+1|≤9, -7 ab
分
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当 x≤-1 时,2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,
当 -1<x< 1 时,-3x≤9, 2
∴ -1<x< 1 ,当 x≥ 1 时,x-2≤9, ∴ 1 ≤x≤11,∴ -7≤x≤11
2
2
2
10 分
18. 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得
-------------
7t2 ?12t ? 5 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1, t2 ,则
t1
?
t2
?
12 7
, t1t2
?
?
5 7
.
……3 分
所以 AB ?
(?3)2 ? (?4)2 t1 ? t2 ? 5
(t1 ? t2 )2
? 4t1t2
? 10 71 7
.
……5 分
(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中点
M 对应的参数为 t1 ? t2 ? 6 . 27
所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为
……8 分
PM ? (?3)2 ? (?4)2 ? 6 ? 30 . 77
……10 分
20. 解: (1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,∴ f(5)=25+4×4=41.
∵ f(2)-f(1)=4=4×1,f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3,f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式规律得出 f(n+1)-f(n)=4n. ∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),f(n-1)-f(n-2)=4·(n-
2),
f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),…
f(2)-f(1)=4×1, ∴ f(n)-f(1)=4[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2),
又 n=1 时,f(1)也适合 f(n). ∴ f(n)=2n2-2n+1.
--------6 分
(2)当 n≥2 时,f?n?1-1=2n2-2n1+1-1=12??n-1 1-1n??,
∴ f?11?+f?2?1-1+f?3?1-1+…+f?n?1-1
=1+12??1-12+12-13+…+n-1 1-1n??
=1+12???1-1n???=32-21n.
---------------12 分
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20. (Ⅰ)证明: AB 为直径,??ACB ? ? , 2
?CAB ? ?ABC ? ? 2
??PAC ? ?ABC??PAC ? ?CAB ? ? 2
? PA ? AB, AB 为直径,? PA为圆的切线
P
C
A
.O
B
E
D
…………………… 3 分
(Ⅱ) CE ? 6k, ED ? 5k,, AE ? 2m, EB ? 3m
? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k
??AEC∽ ?DEB ? BD ? 3m ? BD ? 4 5 8 6k
??CEB∽ ?AED ?
BC 2 AD 2
?
25 m 2 25 m 2
? 64 ? 80
? (3k )2 m
? m ? 2, k
?
25 5
? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB中 sin ?BAD ? BD ? 4 5 ? 2 5 AB 10 5
??BCE ? ?BAD?s i n?B C E? 2 5 …………………… 10 分 5
21
【解析】(1) S扇 ?
1 2
R2?
,
S?OCD
? 1 R2 sin? , 2
S弓
?
f
(? )
?
1 2
R2 (?
? sin? ) .………3
分
(2)设总利润为 y 元,草皮利润为 y1 元,花木地利润为 y2 ,观赏样板地成本为 y3
y1
?
3(1 ? 2
R2
?
1 2
R2? )
,
y2
?
1 2
R2
sin?
?8
,
y3
?
1 2
R2 (?
?
sin? )
?
2
,
?
y
?
y1
?
y2
?
y3
?
3(1 ? 2
R2
?
1 2
R2? )
?
1 2
R2
sin?
?8?
1 2
R2 (?
? sin? ) ? 2
.
? 1 R2[3? ? (5? ?10sin? )]
2
C
……8 分
M
D
设 g(?) ? 5? ?10sin? ? ?(0,? ) .
A
O
B
g' (? ) ? 5 ?10cos?
, g'(? ) ? 0,cos? ? 1 , g(? )在? ?(0, 2
? )上为减函数; 3
g' (?
)
?
0,cos?
?
1 2
,
g(?
)在?
?(?3
,?)上为增函数.
……12 分
当? ? ? 时, g(? ) 取到最小值,此时总利润最大. 3
答:所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 ? 时,总利润最大. 3
………14 分
22.解: f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 (x ? 0) . ---------2 分 x
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(Ⅰ) f ?(1) ? f ?(3) ,解得 a ? 2 . ---------3 分 3
(Ⅱ) f ?(x) ? (ax ?1)(x ? 2) (x ? 0) . x
①当 a ? 0 时, x ? 0 , ax ?1? 0 , 在区间 (0, 2) 上, f ?(x) ? 0 ;在区间 (2, ??) 上 f ?(x) ? 0 ,
故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) ,单调递减区间是 (2, ??) .
②当 0 ? a ? 1 时, 1 ? 2 , 在区间 (0, 2) 和 ( 1 , ??) 上, f ?(x) ? 0 ;在区间 (2, 1 ) 上
2a
a
a
f ?(x) ? 0 ,
故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( 1 , ??) ,单调递减区间是 (2, 1 ) .
a
a
③当 a ? 1 时, f ?(x) ? (x ? 2)2 , 故 f (x) 的单调递增区间是 (0, ??) .
2
2x
④当 a ? 1 时, 0 ? 1 ? 2 , 在区间 (0, 1 ) 和 (2, ??) 上, f ?(x) ? 0;在区间 ( 1 , 2) 上
2
a
a
a
f ?(x) ? 0 ,
故 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, 1 ) 和 (2, ??) , 单 调 递 减 区 间 是 ( 1 , 2) .
a
a
--------
-9 分
(Ⅲ)由已知,在 (0, 2] 上有 f (x)max ? g(x)max .
分
---------10
由已知, g(x)max ? 0 ,由(Ⅱ)可知,
①当 a ? 1 时, f (x) 在 (0, 2] 上单调递增, 2
故 f (x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ?1) ? 2 ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ,
所以, ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0,解得 a ? ln 2 ?1,
故 ln 2 ?1 ? a ? 1 . 2
②当 a ? 1 时, f (x) 在 (0, 1 ] 上单调递增,在[ 1 , 2] 上单调递减,
2
a
a
故
f
( x)max
?
f
(1) a
? ?2 ?
1 2a
? 2ln a .
由 a ? 1 可知 ln a ? ln 1 ? ln 1 ? ?1, 2ln a ? ?2, ?2ln a ? 2 ,
2
2e
所以, ?2 ? 2ln a ? 0, f (x)max ? 0 ,
综
上
所
述
,
a ? ln 2 ?1
.
---------14 分
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