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河北省衡水中学11-12学年高二下学期期末考试(数学理)
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2011—2012 学年度第二学期高二年级期末考试
高二年级(理科)数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上）
1．已知 Z1 ? 3 ? i, Z2
?
1
?
i,
Z1是Z1的共轭复数,
i为虚数单位,
则
Z1 Z2
?
（
）
A．1? i
B．1? i
C． 2 ? i
2.若 m ? 0 ，则| x ? a |? m 和| y ? a |? m 是| x ? y |? 2m 的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分有必要条件
D． 2 ? i
（）
?3.
1
(
1? x2
? x)dx ?
?1
（）
A． ?
B. ?
2
C.? ?1
D.? ?1
4. 在极坐标方程中，曲线 C 的方程是 ρ ＝4sinθ ，过点(4，π6 )作曲线 C 的切线，则切线长
为( )
A．4
B. 7
C．2 2
D．2 3
? ? ? 5. a ?
2
xdx,b ?
2 exdx, c ?
2 sin xdx, 则 a、b、c 大小关系是（
）
0
0
0
A a?c?b
Ba?b?c
C c?b?a
Dc ? a ?b
6 .如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE,BE，∠APE的平分线分别与AE、
BE相交于C、D，若∠AEB= 300 ,则∠PCE等于( )
A 1500
B 750
C 1050
D 600
P
B
D
E
C
A
第6题
7.关于 x 的不等式| cos x ? lg(1? x 2 ) |?| cos x | ? | lg(1? x 2 ) | 的解集为 （ ）
A.（-1,1）
B. (? ? , ?1) ? (1, ? )
2
2
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C. (? ? , ? ) 22
D.(0,1)
8..直线
???x ?
?1?
1t 2
(t 为参数)和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A、B 两点，则 AB 的中点坐标为
? ??
y
? ?3
3?
3t 2
()
A．(3，－3) B．(－ 3，3) C．( 3，－3)
D．(3，－ 3)
9.如图所示，AB 是圆 O 的直径，直线 MN 切圆 O 于 C，CD⊥AB，AM⊥MN，
BN⊥MN，则下列结论中正确的个数是(
)
①∠1＝∠2＝∠3
②AM·CN＝CM·BN
③CM＝CD＝CN
④△ACM∽△ABC∽△CBN．
A． 4
B．3
C．2
D． 1
10.已知非零向量 a, b 满足： | a |? 2 | b | ，若函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 | a | x2 ? a ? bx 在 R 上有极 32
值，设向量 a, b 的夹角为? ，则 cos? 的取值范围为（ ）
A．[[ 1 ,1] 2
B． ( 1 ,1] 2
C．[?1, 1] 2
D．[?1, 1 ) 2
11.设△ ABC 的三边长分别为 a、b、c，△ ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r ，则 r＝a＋2bS＋c；
类比这个结论可知：四面体 S－ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4，内切球的半径为
R，四面体 P－ABC 的体积为 V，则 R＝(
)
A．S1＋S2＋V S3＋S4
B．
2V S1＋S2＋S3＋S4
C．S1＋S23＋VS3＋S4
D．S1＋S24＋VS3＋S4
12.若实数 x , y , z 满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 则 xy ? yz ? zx 的取值范围是
（）
A.[-1,1]
B.[ ? 1 ,1] 2
C.[-1， 1 ] 2
D.[? 1 , 1] 22
二、填空题（每题 5 分，共 20 分。把答案填在题中横线上）
13. 以 Rt?ABC 的直角边 AB 为直径作圆 O ，圆 O 与斜边 AC 交于 D ，过 D
作圆 O 的切线与 BC 交于 E ，若 BC ? 3， AB ? 4 ，则 OE =_________
14.
已知
曲线
C1
、
C2
的极坐标方
程分别为
? ? ?2 cos(? ? ? ) 2
，
2?
cos(?
?
? 4
)
?1
?
0
，则曲线
C1
上的点与曲线
C2
上的点的最远距离为
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15.设 a ? x2 ? xy ? y2 ,b ? p xy,c ? x ? y ,若对任意的正实数 x, y ,都存在以 a,b, c 为三边
长的三角形,则实数 p 的取值范围是
.
16．在求某些函数的导数时，可以先在解析式两边取对数，再求导数，这比用一般方法求导
数更为简单，如求 y ? x e x 的导数，可先在两边取对数，得 ln y ? ln x ex ? e x ln x ，再
在两边分别对
x
求导数，得 1 y
?y '
?ex
ln x
?ex
?
1 x
即为
y
' x
?
y ??e x ?
ln x
?ex
? 1 ?? ,即 x?
导数为 y
? x e x ???e x ?
ln x
?ex x
??? 。若根据上面提供的方法计算函数 y ?
?xx
的导数，则 y '
?
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 10 分）已知 a ? b ?1，对 ?a,b ?(0, ??) ， 1 ? 4 ?| 2x ?1| ? | x ?1| 恒成立， ab
求 x 的取值范围。
18.（本题满分
10
分） 在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
?x
? ?
y
? ?
?2 ? 3t 2 ? 4t
(t为参数）
它与曲线 C：（y-2)2 ? x2 ? 1 交于 A、B 两点。
（1）求|AB|的长
（2）在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 P 的极坐标为 (2 2, 3? ) ， 4
求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离。
19. （本题满分 12 分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺 绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样 的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形．
(1)求出 f (2) ， f (3) f (4) f (5) 并猜测 f (n ) 的表达式；
P
C
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E
D
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(2)求证：f?11?＋f?2?1－1＋f?3?1－1＋…＋f?n?1－1 ?
3 2
．
20.（本题满分 10 分）如图, ?ABC 内接于⊙ O , AB是⊙ O 的直径, PA是过点 A 的直线, 且 ?PAC ? ?ABC .
(Ⅰ) 求证: PA是⊙ O 的切线; (Ⅱ)如果弦 CD 交 AB于点 E , AC ? 8 ,
CE : ED ? 6 : 5 , AE : EB ? 2 : 3, 求 sin ?BCE .
21.（本题满分 14 分）某园林公司计划在一块 O 为圆心, R ( R 为常数，单位为米)为半径的半 圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形 CMDC 区域用于观赏样板
地， ?OCD 区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已
知观赏样板地的成．本．是每平方米 2 元，花木的利．润．是每平方米 8 元，
C
草皮的利．润．是每平方米 3 元.（1）设 ?COD ? ? (单位：弧度）, 用? 表 示弓形 CMDC 的面积 S弓 ? f (? ) ;（2）园林公司应该怎样规划这块土 A
M
D
O
B
地,才能使总利润最大? 并求相对应的?
(参考公式:扇形面积公式
S
?
1 2
R2?
?
1 2
Rl
，l
表示扇形的弧长)
22.（本题满分 14 分）已知函数 f (x) ? 1 ax2 ? (2a ?1)x ? 2ln x (a ? R) 2
(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在 x ?1 和 x ? 3 处的切线互相平行，求 a 的值； (Ⅱ)求 f (x) 的单调区间； (Ⅲ)设 g(x) ? x2 ? 2x ，若对任意 x1 ? (0, 2] ，均存在 x2 ? (0, 2] ，使得 f (x1) ? g(x2 ) ，求 a
的取值范围.
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高二年级(理科) 期末数学答案
一、选择题：DABCD CADBD CB
二、填空题 13． 5 2
14． 2 ?1 15．（1,3）
16． x x (1 ? ln x )
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 10 分）解：∵ a＞0,b＞0 且 a+b=1 ∴
14
+ =(a+b)(
1 + 4 )=5+ b + 4a ≥9,
ab
ab a b
故 1 + 4 的最小值为 9， ab
分
------------------------5
因为对 a,b∈(0，+∞),使 1 + 4 ≥｜2x-1｜-｜x+1｜恒成立，所以，｜2x-1｜-｜x+1｜≤9, -7 ab
分
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当 x≤-1 时，2-x≤9, ∴ -7≤x≤-1,
当 -1＜x＜ 1 时，-3x≤9, 2
∴ -1＜x＜ 1 ,当 x≥ 1 时,x-2≤9， ∴ 1 ≤x≤11,∴ -7≤x≤11
2
2
2
10 分
18. 解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得
-------------
7t2 ?12t ? 5 ? 0
设 A ， B 对应的参数分别为 t1, t2 ，则
t1
?
t2
?
12 7
, t1t2
?
?
5 7
．
……3 分
所以 AB ?
(?3)2 ? (?4)2 t1 ? t2 ? 5
(t1 ? t2 )2
? 4t1t2
? 10 71 7
．
……5 分
(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ，根据中点坐标的性质可得 AB 中点
M 对应的参数为 t1 ? t2 ? 6 ． 27
所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为
……8 分
PM ? (?3)2 ? (?4)2 ? 6 ? 30 ． 77
……10 分
20. 解： (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.
∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出 f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－
2)，
f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…
f(2)－f(1)＝4×1， ∴ f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，
又 n＝1 时，f(1)也适合 f(n)． ∴ f(n)＝2n2－2n＋1.
--------6 分
(2)当 n≥2 时，f?n?1－1＝2n2－2n1＋1－1＝12??n－1 1－1n??，
∴ f?11?＋f?2?1－1＋f?3?1－1＋…＋f?n?1－1
＝1＋12??1－12＋12－13＋…＋n－1 1－1n??
＝1＋12???1－1n???＝32－21n.
---------------12 分
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20. （Ⅰ）证明： AB 为直径，??ACB ? ? , 2
?CAB ? ?ABC ? ? 2
??PAC ? ?ABC??PAC ? ?CAB ? ? 2
? PA ? AB, AB 为直径，? PA为圆的切线
P
C
A
.O
B
E
D
…………………… 3 分
（Ⅱ） CE ? 6k, ED ? 5k,, AE ? 2m, EB ? 3m
? AE ? EB ? CE ? ED ? m ? 5k
??AEC∽ ?DEB ? BD ? 3m ? BD ? 4 5 8 6k
??CEB∽ ?AED ?
BC 2 AD 2
?
25 m 2 25 m 2
? 64 ? 80
? (3k )2 m
? m ? 2, k
?
25 5
? AB ? 10, BD ? 4 5 在直角三角形 ADB中 sin ?BAD ? BD ? 4 5 ? 2 5 AB 10 5
??BCE ? ?BAD?s i n?B C E? 2 5 …………………… 10 分 5
21
【解析】（1） S扇 ?
1 2
R2?
，
S?OCD
? 1 R2 sin? , 2
S弓
?
f
(? )
?
1 2
R2 (?
? sin? ) .………3
分
(2)设总利润为 y 元，草皮利润为 y1 元，花木地利润为 y2 ，观赏样板地成本为 y3
y1
?
3(1 ? 2
R2
?
1 2
R2? )
，
y2
?
1 2
R2
sin?
?8
，
y3
?
1 2
R2 (?
?
sin? )
?
2
,
?
y
?
y1
?
y2
?
y3
?
3(1 ? 2
R2
?
1 2
R2? )
?
1 2
R2
sin?
?8?
1 2
R2 (?
? sin? ) ? 2
.
? 1 R2[3? ? (5? ?10sin? )]
2
C
……8 分
M
D
设 g(?) ? 5? ?10sin? ? ?(0,? ) .
A
O
B
g' (? ) ? 5 ?10cos?
， g'(? ) ? 0,cos? ? 1 , g(? )在? ?（0, 2
? ）上为减函数； 3
g' (?
)
?
0,cos?
?
1 2
,
g(?
)在?
?（?3
，?）上为增函数.
……12 分
当? ? ? 时， g(? ) 取到最小值,此时总利润最大. 3
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成 ? 时，总利润最大. 3
………14 分
22.解： f ?(x) ? ax ? (2a ?1) ? 2 (x ? 0) . ---------2 分 x
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（Ⅰ） f ?(1) ? f ?(3) ，解得 a ? 2 . ---------3 分 3
（Ⅱ） f ?(x) ? (ax ?1)(x ? 2) (x ? 0) . x
①当 a ? 0 时， x ? 0 ， ax ?1? 0 ， 在区间 (0, 2) 上， f ?(x) ? 0 ；在区间 (2, ??) 上 f ?(x) ? 0 ，
故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) ，单调递减区间是 (2, ??) .
②当 0 ? a ? 1 时， 1 ? 2 ， 在区间 (0, 2) 和 ( 1 , ??) 上， f ?(x) ? 0 ；在区间 (2, 1 ) 上
2a
a
a
f ?(x) ? 0 ，
故 f (x) 的单调递增区间是 (0, 2) 和 ( 1 , ??) ，单调递减区间是 (2, 1 ) .
a
a
③当 a ? 1 时， f ?(x) ? (x ? 2)2 ， 故 f (x) 的单调递增区间是 (0, ??) .
2
2x
④当 a ? 1 时， 0 ? 1 ? 2 ， 在区间 (0, 1 ) 和 (2, ??) 上， f ?(x) ? 0；在区间 ( 1 , 2) 上
2
a
a
a
f ?(x) ? 0 ，
故 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, 1 ) 和 (2, ??) ， 单 调 递 减 区 间 是 ( 1 , 2) .
a
a
--------
-9 分
（Ⅲ）由已知，在 (0, 2] 上有 f (x)max ? g(x)max .
分
---------10
由已知， g(x)max ? 0 ，由（Ⅱ）可知，
①当 a ? 1 时， f (x) 在 (0, 2] 上单调递增， 2
故 f (x)max ? f (2) ? 2a ? 2(2a ?1) ? 2 ln 2 ? ?2a ? 2 ? 2 ln 2 ，
所以， ?2a ? 2 ? 2ln 2 ? 0，解得 a ? ln 2 ?1，
故 ln 2 ?1 ? a ? 1 . 2
②当 a ? 1 时， f (x) 在 (0, 1 ] 上单调递增，在[ 1 , 2] 上单调递减，
2
a
a
故
f
( x)max
?
f
(1) a
? ?2 ?
1 2a
? 2ln a .
由 a ? 1 可知 ln a ? ln 1 ? ln 1 ? ?1， 2ln a ? ?2， ?2ln a ? 2 ，
2
2e
所以， ?2 ? 2ln a ? 0， f (x)max ? 0 ，
综
上
所
述
，
a ? ln 2 ?1
.
---------14 分
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