当前位置:首页 >> 高二数学 >>

空间点线面位置关系复习最新版


落木 志 是实 志 。消 气 失迎 气 沉 太 望不 太 , 小 烦上 大 结 , 闷头 , 果 因 ;来 理 就循 ,想 必苟 结过 至且 果多 于, 自, 堕麻 然事

课题: 空间点、线、面的位置关系复习

一、平面的基本性质(平面三公理)
公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
A

?

? B

α

A、B ? a ? ?? a ?? A、B ?? ?

“线面关系”

公理2 :过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. ?B ? A ?C α
点A、B、C不共线 ? A、B、C可 以确定一个平面

“确定平面”

公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. α α “面面相交” β
2016/8/14

? p

l

P ?? ? ? ? ?唯一的直线l,使得? ? ? =l , P ? l P?? ?

公理2有三个推论
推论1:
A?

α ? C α

? B
A?

经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面。

推论2:
B

?

?C ?
? C α

经过两条相交直线,可以确定一个平面。

推论3:

A

? B

经过两条平行直线,可以确定一个平面。

公理2及其推论主要用于确定平面;证明点线共面
2016/8/14

二、直线与直线的位置关系
1、位置关系:
平行
a b b a α

“两者必居其一,或三者 必居其一” 共面直线

相交

P b

?

α

异面

?P
a

α

异面直线:不同在任何一个平面内,没有公 共点

2016/8/14

2、平行直线的性质(平面→空间)
(1)公理4:(平行线的传递性)

(2)等角定理

a ? b? ? ? b ?c a ?c?

注意区别:平面几何是在同一个 平面内,空几是在不同平面内

相等或互补

2016/8/14

3、异面直线
(1)定义:不同在任何一个平面内,没有公共点;既不相交也不平行

(2)图形:(平面衬托)
b α α a b

?P

α a

β

(3)判断或论证异面直线(用图形法判断,用反证法论证) (4)异面直线所成的角 ?定义:

a
b ?求法:按定义 平移→相交→归面

?

b a

P

? 0, ? 异面直线所成角的范围: ? 2?

?

??

(解三角形求角)

异面直线所成角不可能为零, 否则就不异面了

2016/8/14

三、直线与平面的位置关系
直线a在平面内
a α

a ??

无数个公共点

a

直线a与平面相交

?A

α

a ?? ? A

一个公共点

a

直线a与平面平行

α

a ??

没有公共点

注意:直线与平面平行不包含直线在平面内,直线与 平面平行和直线在平面内是两种不同的位置关系
2016/8/14

四、平面与平面的位置关系
α

两平面平行
β

? ??
? ?? ?l

0个公共点

β

两平面相交

l

α

无数个公共点(均在交线l上)

2016/8/14

—— 疑 难 辨 析 ——
1.平面的基本性质
(1)空间中不同三点确定一个平面.( ) )

(2)空间中两两相交的三条直线确定一个平面.( (3)一条直线和一个点能确定一个平面.( (4)梯形一定是平面图形.( ) )

2016/8/14

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

[解析]

(1)空间中不共线的三点确定一个平面.

(2)空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面. (3)经过直线和直线外一点确定一个平面. (4)梯形一定是平面图形显然成立,故正确.

2016/8/14

2.空间直线关系
(1)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.( (2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( ) ) )

(3)若a与b相交,b与c相交,则a与c相交.( (4)若a,b与c成等角,则a∥b. ( )

2016/8/14

[答案] (1)√

(2)√

(3)×

(4)×

[解析] (1)由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,因为 若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾. (2)由平行公理知正确. (3)当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故(3)不正确. (4)当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故(4)不正确.

2016/8/14

例1

(1)[2012·兰州一模] 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P,Q,R分别是AB,AD, B C 的中 )
1 1

点,那么,正方体的过P,Q,R的截面图形是( A.三角形 B.四边形 C.五边形

D.六边形

(2)如图1,α ∩β =l,A,B∈α ,C∈β ,且C ?l,直线AB∩l=M,过A, B,C三点的平面记作γ ,则γ 与β 的交线必通过( )

A.点A

B.点B

图1 C.点C但不过点M

D.点C和点M

2016/8/14

答案:

∴截面为六边形PQFGRE.

2016/8/14

变式题 (1)不重合的三条直线,若相交于一点,最多能确定________个平面;若相交于两点,

最多能确定________个平面;若相交于三点,最多能确定________个平面.
(2)如图2所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则四个点

共面的图形是________.

图2

2016/8/14

[解析] (1)三条直线相交于一点,最多可确定3个平面,如图①;三条直线相交于
两点,最多可确定2个平面,如图②;三条直线相交于三点,最多可确定1个 平面,如图③.

2016/8/14

例2
【1】

异面直线所成的角
正方体 ABCD —

思维启迪

解析

探究提高

A 1B 1C1D 1 中,

(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D

(1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小; 所成的角,再计算.(2)可证A1C1 (2)若 E 、F 分别为 AB 、AD 的 与EF垂直. 中点,求 A 1C1 与 EF 所成角的 大小.

题型分类·深度剖析
例2
【例 1】

异面直线所成的角
正方体 ABCD —

思维启迪


解析

探究提高

A 1B 1C1D 1 中,

(1)如图所示, 连

(1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小; 接 B C,由 ABCD— 1 (2)若 E 、F 分别为 AB 、AD 的 A B C D 是正方体,
1 1 1 1

中点,求 A 1C1 与 EF 所成角的 大小.

易知 A1D∥B1C, 从而 B1C 与 AC 所 成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C,

∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .

例2
【例 1】

异面直线所成的角
正方体 ABCD —

思维启迪

解析

探究提高

A 1B 1C1D 1 中,

(2) 如 图 所 示 , 连 接

(1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小; AC 、 BD ,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 (2)若 E 、F 分别为 AB 、AD 的 中点,求 A 1C1 与 EF 所成角的 大小.
中 , AC⊥BD , AC∥A1C1, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点,

∴EF∥BD,
∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° .

题型三
【例 1】

异面直线所成的角
正方体 ABCD —

思维启迪

解析

探究提高

A 1B 1C1D 1 中, (1)求 AC 与 A 1D 所成角的大小; (2)若 E 、F 分别为 AB 、AD 的 中点,求 A 1C1 与 EF 所成角的 大小.

求异面直线所成的角常采用“平移 线段法” , 平移的方法一般有三种类 型:利用图中已有的平行线平移; 利用特殊点(线段的端点或中点 )作 平行线平移;补形平移.计算异面 直线所成的角通常放在三角形中 进行.

变式训练 1 直三棱柱 ABC-A 1B 1C1 中, 若∠BAC=90°, AB =AC=AA 1, 则异面直线 BA 1 与 AC1 所成的角等于 A.30°
解析

( C D.90°

)

B.45°

C .60°

如图,可补成一个正方体,

∴AC1∥BD1.
∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° .

即 BA1 与 AC1 成 60° 的角.

易错警示
【例 2】

.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B.l1⊥ l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 )

A.l1⊥ l2,l2⊥l3?l1∥l3 C .l1∥ l2∥l3?l1,l2,l3 共面

易 错 分 析

解 析

答 案

温 馨 提 醒

易错警示
【例 2】

.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B.l1⊥ l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 )

A.l1⊥ l2,l2⊥l3?l1∥l3 C .l1∥ l2∥l3?l1,l2,l3 共面

易 错 分 析

解 析

答 案

温 馨 提 醒

由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、 线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种 位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

易错警示
【例 2】

.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B.l1⊥ l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 )

A.l1⊥ l2,l2⊥l3?l1∥l3 C .l1∥ l2∥l3?l1,l2,l3 共面

易 错 分 析

解 析

答 案

温 馨 提 醒

当 l1⊥l2, l2⊥l3 时, l1 与 l3 也可能相交或异面, 故 A 不正确; 当 l1∥l2∥l3 时,l1,l2,l3 未必共面,如三棱柱的三条侧棱,故 C 不正确;l1,l2, l3 共点时, l1, l2, l3 未必共面, 如正方体中从同一顶点出发的三条棱, 故 D 不正确.

易错警示
【例 2】

.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B.l1⊥ l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面

B)

A.l1⊥ l2,l2⊥l3?l1∥l3 C .l1∥ l2∥l3?l1,l2,l3 共面

易 错 分 析

解 析

答 案

温 馨 提 醒

易错警示
【例 2】

.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( B.l1⊥ l2,l2∥l3?l1⊥l3 D.l1,l2,l3 共点? l1,l2,l3 共面 )

A.l1⊥ l2,l2⊥l3?l1∥l3 C .l1∥ l2∥l3?l1,l2,l3 共面

易 错 分 析

解 析

答 案

温 馨 提 醒

(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立,如“垂直于同一条 直线的两条直线互相平行”在空间中不成立,所以在用一些平面几何中的 定理和结论时,必须说明涉及的元素都在某个平面内. (2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路:一是逐个判断,利用空间线 面关系证明正确的结论,寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型 或实际空间位置(如课桌、 教室)作出判断, 但要注意定理应用要准确、 考虑 问题要全面细致.


相关文章:
空间点线面位置关系复习最新版.ppt
空间点线面位置关系复习最新版_高二数学_数学_高中教育_教育专区。落木 志 是实
空间点线面位置关系(复习).ppt
空间点线面位置关系(复习)_数学_高中教育_教育专区。高中数学空间点线面位置关系(复习) 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 ?高考考纲要求: ? 1. 能用...
知识讲解_空间点线面的位置关系(基础).doc
空间点线面的位置关系【考纲要求】 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据公理和定理; (3)能运用公理、定理和已经获得结论证明一些...
2018届一轮复习人教A版 空间点线面的位置关系 课件理_图文.ppt
第三节 空间点、线、面的位置关系 知识点一 平面的基本及推论 1.平面的基本性质
空间点线面位置关系练习题.doc
空间点线面位置关系练习题 - 空间点线面位置关系练习题 1、已知l 、m 是不同
空间中点线面的位置关系测试题.doc
空间点线面的位置关系测试题 - 空间中点、线、面的位置关系 一、 选择题: 1
专题1.15 空间点线面的位置关系(理)-2016届高三数学二....doc
专题1.15 空间点线面的位置关系(理)-2016届高三数学二轮复习考点总动员(解析版)_高中教育_教育专区。专题1.15 空间点线面的位置关系(理)-2016届高三数学二轮...
高考数学复习课件9.3空间点线面之间的位置关系理新人教....ppt
高考数学复习课件9.3空间点线面之间的位置关系理新人教版 - 1.平面的基本性质
高中数学一轮复习课件:空间点线面的位置关系_图文.ppt
高中数学一轮复习课件:空间点线面的位置关系 - 考 1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 纲 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 要 3.能运用公理、定理和已...
空间点线面的位置关系教案.doc
空间点线面的位置关系教案 - 空间点线面的位置关系 (一)教学目标: 1. 知识与技能 (1) 理解空间直线、平面位置关系的定义; (2) 了解作为推理依据公理和...
高考数学总复习空间点线面的位置关系提高知识讲解.doc
高考数学总复习空间点线面的位置关系提高知识讲解 - 空间点线面的位置关系 【考纲要求】 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理...
高考数学总复习空间点线面的位置关系基础知识讲解.doc
高考数学总复习空间点线面的位置关系基础知识讲解 - 空间点线面的位置关系 【考纲要求】 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义; (2)了解可以作为推理依据的公理...
巩固练习_空间点线面的位置关系(提高).doc
巩固练习_空间点线面的位置关系(提高) - 【巩固练习】 1.已知三个命题:①若
空间中点线面的位置关系练习题.doc
空间点线面的位置关系练习题 - 1、下列有关平面的说法正确的是( A 一个平面
...数学二轮复习课件 第12讲 空间点线面的位置关系_图....ppt
2018届高考文科数学二轮复习课件 第12讲 空间点线面的位置关系 - 第12讲 空间点线面的位置关系 1.(2014 全国卷Ⅰ)如图,在下列四个正方体中,A, B 为正方...
空间点线面的位置关系_图文.ppt
空间点线面的位置关系 - 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 观察长方体,
空间中点线面的位置关系复习课件_图文.ppt
空间中点线面的位置关系复习课件 - 数学 北(理) §8.3 空间点、直线、平面
空间中点线面的位置关系练习题.doc
空间点线面的位置关系练习题 - 1、下列有关平面的说法正确的是( A 一个平面
教师提高版巩固练习_空间点线面的位置关系(提高).doc
教师提高版巩固练习_空间点线面的位置关系(提高) - 【巩固练习】 1.已知三个
高考数学一轮复习专题8_3空间点线面的位置关系练.doc
高考数学一轮复习专题8_3空间点线面的位置关系练 - 第 03 节 空间点、线、面的位置关系 A 基础巩固训练 1. 【2016 高考山东文数】已知直线 a,b 分别在两...
更多相关标签: