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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 模块综合检测(A)]


模块综合检测(A)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.命题“若 A?B,则 A=B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的 个数是( ) A.0 B.2 C.3 D.4 1 1 2.已知命题 p:若 x2+y2=0 (x,y∈R),则 x,y 全为 0;命题 q:若 a>b,则 < .给出下 a b 列四个复合命题:①p 且 q;②p 或 q;③綈 p;④綈 q.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 x2 y2 3.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( ) 4 12 2 2 2 2 x y x y A. + =1 B. + =1 16 12 12 16 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 16 4 4 16 2 2 x y 4.已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0),M 为椭圆上一动点,F1 为椭圆的左焦点,则线段 MF1 的 a b 中点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.线段 5.在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是棱长为 1 的正三角形,侧棱 AA1⊥底面 ABC,点 D 在棱 BB1 上,且 BD=1,若 AD 与平面 AA1C1C 所成的角为 α,则 sin α 的值是( ) 3 2 A. B. 2 2 10 6 C. D. 4 4 6.过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2=6, 那么|AB|等于( ) A.10 B.8 C.6 D.4 7.中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为 ( ) 6 5 A. 6 B. 5 C. D. 2 2 → 8.若 A,B 两点的坐标分别是 A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则|AB|的取值 范围是( ) A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.[1,25] x2 y2 9.设 O 为坐标原点,F1、F2 是 2- 2=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满 a b 足∠F1PF2=60° ,|OP|= 7a,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.x± 3y=0 B. 3x± y=0 C.x± 2y=0 D. 2x± y=0 10.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 BB1、B1C1 的中点,若∠CMN=90° , 则异面直线 AD1 与 DM 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 题 答 号 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 2 11.若向量 a=(1,0,z)与向量 b=(2,1,2)的夹角的余弦值为 ,则 z=________. 3 2 12.已知 p(x):x +2x-m>0,如果 p(1)是假命题,p(2)是真命题,那么实数 m 的取值范 围是_______________________________________________________________. x2 y2 13.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程是 y= 3x,它的一个焦点与抛物 a b 2 线 y = 16x 的 焦 点 相 同 , 则 双 曲 线 的 方 程 为 ____________________ ____________________________________________________. x2 y2 14.若 AB 是过椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)中心的一条弦,M 是椭圆上任意一点,且 AM、BM a b 与坐标轴不平行,kAM、kBM 分别表示直线 AM、BM 的斜率,则 kAM· kBM=________. 15.在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 和 N 分别是 A1B1 和 BB1 的中点,那么 直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) ?x2-4x+3<0 ? 16.(12 分)已知 p:2x2-9x+a<0,q:? 2 , ? ?x -6x+8<0 且綈 q 是綈 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

x2 y2 π 17.(12 分)设 P 为椭圆 + =1 上一点,F1、F2 是其焦点,若∠F1PF2= ,求△F1PF2 100 64 3 的面积.

18.(12 分)已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点. (1)求 a 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值.

19.(12 分)

如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD= DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. 证明:(1)PA∥平面 EDB; (2)PB⊥平面 EFD.

→ → → → 20.(13 分)已知两点 M(-2,0)、N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN||MP|+MN· NP =0,求动点 P(x,y)的轨迹方程.

21.(14 分)

如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的中点. (1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值. (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论.

模块综合检测(A)
1.B [原命题为假,故其逆否命题为假;其逆命题为真,故其否命题为真;故共有 2 个 真命题.] 2.B [命题 p 为真,命题 q 为假,故 p 或 q 真,綈 q 真.] x2 y2 y2 x2 3.D [双曲线 - =-1,即 - =1 的焦点为(0,± 4),顶点为(0,± 2 3).所以对 4 12 12 4 y2 x2 y2 x2 椭圆 2 + 2=1 而言,a2=16,c2=12.∴b2=4,因此方程为 + =1.] a b 16 4 4.A [∵P 为 MF1 中点,O 为 F1F2 的中点, 1 ∴|OP|= |MF2|,又|MF1|+|MF2|=2a, 2 1 1 ∴|PF1|+|PO|= |MF1|+ |MF2|=a. 2 2 ∴P 的轨迹是以 F1,O 为焦点的椭圆.] 5.D [

如图所示,建立坐标系,易求点 D? 3 2 6 → 所以 cos〈n,AD〉= = , 4 2 6 即 sin α= .] 4 6.B [由抛物线的定义, 得|AB|=x1+x2+p=6+2=8.] 7.D

3 1 ?,平面 AA C C 的一个法向量是 n=(1,0,0), 1 1 ? 2 ,2,1?

b b [由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为 y=- x,∴-2=- ×4,∴a=2b, a a 设 b=k,则 a=2k,c= 5k, c 5k 5 ∴e= = = .] a 2k 2

→ 8.B [|AB|= ?2cos θ-3cos α?2+?2sin θ-3sin α?2 = 9+4-12cos αcos θ-12sin αsin θ = 13-12cos?α-θ?. → 因为-1≤cos(α-θ)≤1,所以 1≤13-12cos(α-θ)≤25,所以|AB|∈[1,5].] 9.D

→ → → [如图所示,∵O 是 F1F2 的中点,∴PF1+PF2=2PO, → → → ∴(PF1+PF2)2=(2PO)2. → → 即|PF1|2+|PF2|2+ → → → 2|PF1|· |PF2|· cos 60° =4|PO|2. 又∵|PO|= 7a, → → → → ∴|PF1|2+|PF2|2+|PF1||PF2|=28a2.① 又由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a, ∴(|PF1|-|PF2|)2=4a2. 即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2.② 由①-②得|PF1|· |PF2|=8a2, 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =20a2. 在△F1PF2 中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos 60° = , 2|PF1||PF2| ∴8a2=20a2-4c2.即 c2=3a2. 又∵c2=a2+b2,∴b2=2a2. b2 b 即 2=2, = 2. a a ∴双曲线的渐近线方程为 2x± y=0.] 10.D [

建立如图所示坐标系.设 AB=a,AD=b,AA1=c,则 A1(b,0,0),A(b,0,c),C1(0,a,0), C(0,a,c),B1(b,a,0), b c ,a,0?,M?b,a, ?. D(0,0,c),N? 2? ?2 ? ? → → ∵∠CMN=90° ,∴CM⊥MN, c ? b c? → → ? ∴CM· MN=?b,0,-2? ?· ?-2,0,-2? 1 1 =- b2+ c2=0,∴c= 2b. 2 4 → → ?b,a,- 2b? ∴AD1· DM=(-b,0,- 2b)· 2 ? ? =-b2+b2=0,

∴AD1⊥DM,即异面直线 AD1 与 DM 所成的角为 90° .] 11.0 解析 设两个向量的夹角为 θ, 1×2+0×1+2z 则 cos θ= 1+z2· 22+12+22 2+2z 2 = 2 =3, 1+z · 3 解得 z=0. 12.[3,8) 解析 因为 p(1)是假命题,所以 1+2-m≤0, 即 m≥3.又因为 p(2)是真命题,所以 4+4-m>0, 即 m<8.故实数 m 的取值范围是 3≤m<8. x2 y2 13. - =1 4 12 x2 y2 b 解析 由双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y= 3x 得 = 3,∴b= 3a. a b a ∵抛物线 y2=16x 的焦点为 F(4,0),∴c=4. 又∵c2=a2+b2,∴16=a2+( 3a)2, ∴a2=4,b2=12. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 b2 14.- 2 a 解析 设 A(x1,y1),M(x0,y0), 则 B(-x1,-y1), 2 y0-y1 y0+y1 y2 0-y1 则 kAM· kBM= · = 2 2 x0-x1 x0+x1 x0-x1 2 b2 2 2? 2? ?-b2x2 ? + b - ? a 0 ?-? a2x1+b ? b2 = =- 2. 2 2 a x0-x1 2 15. 5 解析

建系如图, 1 1 1, ,1?,N?1,1, ?, 则 M? 2? ? 2 ? ? A(1,0,0),C(0,1,0) 1 ? → ∴AM=? ?0,2,1?, 1 → 1,0, ?. CN=? 2? ?

1 → → 2 AM· CN 2 → → ∴cos〈AM,CN〉= = = . → → 5 5 |AM||CN| 4

2 即直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 . 5 2 ?x -4x+3<0 ?1<x<3 ? 16.解 由? 2 ,得? , ?2<x<4 ?x -6x+8<0 ? 即 2<x<3.∴q:2<x<3. 设 A={x|2x2-9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p?綈 q,∴q?p,∴B?A. 即 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0. 设 f(x)=2x2-9x+a, 要使 2<x<3 满足不等式 2x2-9x+a<0, ?f?2?≤0 ?8-18+a≤0 ? ? 需? ,即? . ?f?3?≤0 ?18-27+a≤0 ? ? ∴a≤9.故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}. 17.解 如图所示,设|PF1|=m,|PF2|=n,

1 π 3 则 S△F1PF2= mnsin = mn. 2 3 4 由椭圆的定义知 |PF1|+|PF2|=20, 即 m+n=20.① 又由余弦定理,得 π |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 3 2 =|F1F2| , 即 m2+n2-mn=122.② 256 由①2-②,得 mn= . 3 64 3 ∴S△F1PF2= . 3 ?y=ax+1, ? 18.解 (1)由? 2 2 消去 y, ?3x -y =1 ? 得(3-a2)x2-2ax-2=0. ?3-a2≠0, ? 依题意得? 即- 6<a< 6且 a≠± 3. ?Δ>0, ?

? ?x +x =3-a , (2)设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? -2 ? ?x x =3-a .
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

2a

∵以 AB 为直径的圆过原点,∴OA⊥OB, ∴x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, 即(a2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0. -2 2a ∴(a2+1)· 2+a· 2+1=0, 3- a 3-a

∴a=± 1,满足(1)所求的取值范围. 故 a=± 1. 19.

证明 (1)以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角 坐标系. 连结 AC,AC 交 BD 于 G. 连结 EG.设 DC=a, a a? 依题意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E? ?0,2,2?, ∵底面 ABCD 是正方形, ∴G 是此正方形的中心, a a ? 故点 G 的坐标为? ?2,2,0?, a a? → → 且PA=(a,0,-a),EG=? ?2,0,-2?. → → ∴PA=2EG,即 PA∥EG. 而 EG?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. → (2)依题意得 B(a,a,0),PB=(a,a,-a). a a a2 a2 → → → 0, , ?,故PB· 又DE=? DE = 0 + - =0, ? 2 2? 2 2 ∴PB⊥DE,由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E, 所以 PB⊥平面 EFD. → → 20.解 设 P(x,y),则MN=(4,0),MP=(x+2,y), → NP=(x-2,y). → → ∴|MN|=4,|MP|= ?x+2?2+y2, → → MN· NP=4(x-2), → → → → 代入|MN|· |MP|+MN· NP=0, 得 4 ?x+2?2+y2+4(x-2)=0, 即 ?x+2?2+y2=2-x, 化简整理,得 y2=-8x. 故动点 P(x,y)的轨迹方程为 y2=-8x. → → → 21.解 设正方体的棱长为 1,如图所示,以AB,AD,AA1分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正 方向,建立空间直角坐标系 Oxyz.

(1)依题意,得 B(1,0,0),

1 E(0,1, ),A(0,0,0), 2 D(0,1,0), 1 → 所以BE=(-1,1, ), 2 → AD=(0,1,0). → 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,因为 AD⊥平面 ABB1A1,所以AD是平面 ABB1A1 的一个法 向量.设直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角为 θ,则 → → |BE· AD| 1 2 sin θ= = = . 3 → → 3 |BE|· |AD| ×1 2 2 故直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值为 . 3 (2)在棱 C1D1 上存在点 F,使 B1F∥平面 A1BE. 证明如下: → 依题意,得 A1(0,0,1),BA1=(-1,0,1), 1 → BE=(-1,1, ). 2 设 n=(x,y,z)是平面 A1BE 的一个法向量, → → 则由 n· BA1=0,n· BE=0, -x+z=0, ? ? 得? 1 ?-x+y+2z=0. ? 1 所以 x=z,y= z,取 z=2,得 n=(2,1,2). 2 设 F 是棱 C1D1 上的点,则 F(t,1,1)(0≤t≤1). → 又 B1(1,0,1),所以B1F=(t-1,1,0). → 而 B1F ? 平面 A1BE,于是 B1F∥平面 A1BE?B1F·n=0?(t-1,1,0)·(2,1,2)=0?2(t-1) 1 +1 =0?t= ?F 为棱 C1D1 的中点. 这说明在棱 C1D1 上存在点 F(C1D1 的中点), 使 B1F∥平 2 面 A1BE.


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