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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第9章 第7节 数系的扩充与复数的引入]


第七节

数系的扩充与复数的引入

考点一

复数的有关概念

10 [例 1] (1)(2013· 安徽高考)设 i 是虚数单位,若复数 a- (a∈R)是纯虚数,则 a 的值 3-i 为( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 (2)(2013· 山东高考)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 是虚数单位), 则 z 的共轭复数 z 为( A.2+i C.5+i B.2-i D.5-i 10?3+i? 10 [自主解答] (1)∵a- =a- 3-i ?3-i??3+i? =(a-3)-i 为纯虚数,∴a-3=0,即 a=3. 5?2+i? 5?2+i? 5 (2)由(z-3)(2-i)=5,得 z=3+ = +3= +3=5+i, 5 2-i ?2-i??2+i? ∴ z =5-i. [答案] (1)D (2)D 【互动探究】 若将本例(2)中的“z-3”改为“z-i”,则 z 为何值? 5 5 解:∵(z-i)(2-i)=5,则 z-i= ,∴z=i+ =i+(2+i)=2+2i, 2- i 2-i ∴ z =2-2i. 【方法规律】 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问 题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (2)解题时一定要先看复数是否为 a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部. 1.设复数 z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为 z =a-bi,则 z- z 为 A.实数 B.纯虚数 C.零 解析:选 D 由题意知 z- z =(a+bi)-(a-bi)=2bi, 当 b=0 时,z- z 为 0;当 b≠0 时,z- z 为纯虚数. 2.若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2 的虚部为( A.0
2

)

(

)

D.零或纯虚数

)

B.-1
2 2

C.1
2 2

D.-2

解析:选 A ∵z + z =(1+i) +(1-i) =0,∴z + z 2 的虚部为 0. 考点二 复数的几何意义

[例 2] (1)(2013· 江西高考)已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在复 平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(2)(2013· 四川高考)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点 是( )

A.A

B.B

C.C 1 的模为( i-1 )

D.D

(3)(2013· 辽宁高考)复数 z=

1 2 A. B. C. 2 D.2 2 2 [自主解答] (1)由共轭复数的定义知:z=1-2i,则复数 z 在复平面内对应的点的坐标 为(1,-2),位于第四象限. - (2)设 z=-a+bi(a>0,b>0),则 z 的共轭复数 z =-a-bi.它对应的点为(-a,-b),是 第三象限的点,即图中的 B 点. i+1 i+1 1 1 1 (3)∵z= = = =- - i, 2 2 i-1 ?i-1??i+1? -1-1 ?1?2+?-1?2= 2. ∴|z|= ?2? ? 2? 2 [答案] (1)D (2)B (3)B 【方法规律】 判断复数在平面内的点的位置的方法 首先将复数化成 a+bi(a,b∈R)的形式,其次根据实部 a 和虚部 b 的符号来确定点所在 的象限. 1.在复平面内,复数 6+5i、-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是( ) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 解析:选 C 由题意得 A(6,5),B(-2,3),所以 AB 中点 C 的坐标为(2,4),所以点 C 对 应的复数为 2+4i. 2.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的点分别为 A,B,C.O 为 坐标原点,若 OC =x OA +y OB ,则 x+y 的值是________. 解析:由已知得 A(-1,2),B(1,-1),C(3,-2), ∵ OC =x OA +y OB , ∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)=(-x+y,2x-y), ? ? ?-x+y=3, ?x=1, ∴? 解得? 故 x+y=5. ?2x-y=-2, ?y=4, ? ? 答案: 5 高频考点 考点三 复数代数形式的运算

1.复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容,题型为选择题或填空题,难度较 小,属容易题. 2.高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下几个命题角度: (1)复数的乘法运算; (2)复数的除法运算; (3)利用复数相等求参数.

[例 3] (1)(2013· 浙江高考)已知 i 是虚数单位,则(2+i)(3+i)=( ) A.5-5i B.7-5i C.5+5i D.7+5i 1+2i (2)(2013· 新课标全国卷Ⅰ) =( ) ?1-i?2 1 1 A.-1- i B.-1+ i 2 2 1 1 C.1+ i D.1- i 2 2 (3)(2013· 广东高考)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 B.3 C.4 D.5 2 [自主解答] (1)(2+i)(3+i)=6+5i+i =5+5i. 1+2i 1+2i ?1+2i?i -2+i 1 (2) = = =-1+ i. 2= 2 2 ?1-i? -2i ?-2i?i 3+4i (3)由已知得 x+yi= =4-3i, i 故|x+yi|= 42+?-3?2=5. [答案] (1)C (2)B (3)D

)

复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法. 复数的乘法类似于多项式的四则运算, 可将含有虚数单位 i 的看作一类 同类项,不含 i 的看作另一类同类项,分别合并即可. (2)复数的除法. 除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数, 解题中要注意把 i 的幂 写成最简形式. (3)利用复数相等求参数.a+bi=c+di?a=c,b=d(a,b,c,d∈R). 1.若复数 z 满足 z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则 z 为( ) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i 11+7i ?11+7i??2+i? 15+25i 解析:选 A 由题意知 z= = = =3+5i. 5 2-i ?2-i??2+i? ?1+i?2 014=( 2.i 为虚数单位,则? ) ? ?1-i? A.-i B.-1 C.i D.1 1 + i ? ?2 014=i2 014=i2=-1. 解析:选 B ? ? ?1-i? 11-7i 3.设 a,b∈R,a+bi= (i 为虚数单位),则 a+b 的值为________. 1-2i 11-7i ?11-7i??1+2i? 25+15i 解析:∵ = = =5+3i=a+bi,∴a+b=8. 5 1-2i ?1-2i??1+2i? 答案:8 ———————————[课堂归纳——通法领 悟]———————————————— 1 个分类——复数的分类 对复数 z=a+bi(a,b∈R),

当 b=0 时,z 为实数; 当 b≠0 时,z 为虚数; 当 a=0,b≠0 时,z 为纯虚数. 2 个技巧——复数的运算技巧 (1)设 z=a+bi(a,b∈R),利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问 题的常用方法. (2)在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则 需分母实数化. 3 个结论——复数代数运算中常用的三个结论 1+i 1-i (1)(1± i)2=± 2i; =i; =-i; 1-i 1+i (2)-b+ai=i(a+bi); + + + + + + (3)i4n=1,i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i,i4n+i4n 1+i4n 2+i4n 3=0,n∈N*.


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