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2018届二轮 等差等比数列与数列的通项及求和 专题卷(全国通用)


专题对点练 13 等差、等比数列与数列的通项及求和 +2an=4Sn+3. 1.Sn 为数列{an}的前 n 项和.已知 an>0, (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 解 (1) 由 2(an+1+an)= 又 +2an=4Sn+3, 可知 +2an+1=4Sn+1+3. 两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1, 即 =(an+1+an)(an+1-an).由于 an>0,因此 an+1-an=2. +2a1=4a1+3,解得 a1=3(a1=-1 舍去). 所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,故 an=2n+1. (2)由 an=2n+1 可知 bn= . Tn=b1+b2+…+bn= +…+ . 2.已知数列{an}是等差数列,前 n 项和为 Sn,若 a1=9,S3=21. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a5,a8,Sk 成等比数列,求 k 的值. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,∵a1=9,S3=21, ∴S3=3×9+ d=21,解得 d=-2, ∴an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11. (2) ∵ a5,a8,Sk 成 等 比 数 列 , ∴ =a5·Sk, 即 (-2×8+11) =(-2×5+11)· 2 ,解得 k=5. 3.(2017 河北衡水中学三调 , 理 17) 已知数列 {an} 的前 n 项和为 Sn,a1≠0,常数 λ >0, 且 λ a1an=S1+Sn 对一切正整数 n 都成立. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 a1>0,λ =100,当 n 为何值时,数列 的前 n 项和最大? 解 (1)令 n=1,得 λ =2S1=2a1,即 a1(λ a1-2)=0. 因为 a1≠0,所以 a1= . 1 当 n≥2 时,2an= +Sn,2an-1= +Sn-1, 两式相减,得 2an-2an-1=an(n≥2), 所以 an=2an-1(n≥2),从而数列{an}为等比数列, 所以 an=a1·2 = . n-1 (2)当 a1>0,λ =100 时,由(1)知,an= , 设 bn=lg =lg =lg 100-lg 2n=2-nlg 2, 所以数列{bn}是单调递减的等差数列,公差为-lg 2, 所以 b1>b2>…>b6=lg =lg >lg 1=0, 当 n≥7 时,bn≤b7=lg <lg 1=0, 所以数列 的前 6 项和最大. 4.(2017 河北邯郸二模,理 17)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1≠0,a3=3,且 λ Sn=anan+1. 在等比数列{bn}中,b1=2λ ,b3=a15+1. (1)求数列{an}及{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Tn,且 cn=1,求 Tn. 解 (1)∵λ Sn=anan+1,a3=3,∴λ a1=a1a2,且 λ (a1+a2)=a2a3, ∴a2=λ ,a1+a2=a3=3.① ∵数列{an}是等差数列,∴a1+a3=2a2,即 2a2-a1=3.② 由①②得 a1=1,a2=2,∴an=n,λ =2,∴b1=4,b3=16, ∴{bn}的公比 q=± ∴bn=2n+1 或 bn=(-2)n+1. (2)由(1)知 Sn= =±2, ,∴cn= , ∴Tn=1- +…+

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