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2019高三数学文北师大版一轮课件:第2章 第6节 对数与对数函数_图文

第 章 函数、导数及其应用
第六节 对数与对数函数

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双基自主测评 题型分类突破 课时分层训练

[考纲传真] 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化 成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念 及其单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点,会画底数为 2,10,12的对数函数 的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数.

(对应学生用书第 18 页) [基础知识填充]
1.对数的概念 如果 a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于 N,即 ab=N,那么数 b 叫作以 a 为底 N 的 对数,记作_l_o_g_aN__=__b_,其中_a_叫作对数的底数,_N_叫作真数.

2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=_lo_g_a_M__+__lo_g_a_N_; ②logaMN =__lo_g_a_M_-__l_o_g_a_N__; ③ ④llooggamaMMnn==__mnn__l_l_oo__gg_a_aM_M___(_(mn_,∈__nR_∈_);_R__且___m_≠__0_)_.

(2)对数的性质 ①alogaN=_N__;②logaaN=_N__ (a>0,且 a≠1). (①3)换对底数公的式重:要_l公o_g_式b_N_=__ll_oo_gg_aaN_b_ (a,b>0,a,b≠1,N>0); ②logab=log1ba,推广 logab·logbc·logcd=_l_o_g_ad__.

3.对数函数的图像与性质 a>1
图像

0<a<1

(1)定义域:(_0_,__+__∞_)_

(2)值域:_R__

(3)过点_(_1_,0_)_,即 x=_1_时,y=_0_

性质

(4)当 x>1 时,__y>__0__,

(5)当 x>1 时,_y_<__0__,

0<x<1 时,_y_<__0__

0<x<1 时,_y_>__0_

(6)是(0,+∞)上的_增__函__数__

(7)是(0,+∞)上的_减__函__数__

4. 反函数 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数_y_=__l_o_g_ax_ (a>0 且 a≠1)互为反函数, 它们的图像关于直线_y_=__x_对称.

[知识拓展] 1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=log1ba; (2)logambn=mn logab. 其中 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,m,n∈R.

2.对数函数的图像与底数大小的比较 如图 2-6-1,作直线 y=1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的 底数.故 0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到 右底数逐渐增大.
图 2-6-1

[基本能力自测] 1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)log2x2=2log2x.( ) (2)当 x>1 时,logax>0.( ) (3)函数 y=lg(x+3)+lg(x-3)与 y=lg[(x+3)(x-3)]的定义域相同.( ) (4)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),???1a,-1???, 函数图像不在第二、三象限.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2.已知 a=2 ,b=log213,c= A.a>b>c C.c>b>a

,则( ) B.a>c>b D.c>a>b

D [∵0<a=2 <20=1,b=log213<log21=0,c=



=1,

∴c>a>b.]

3.已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的

图像如图 2-6-2,则下列结论成立的是( )

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1

图 2-6-2

C.0<a<1,c>1

D.0<a<1,0<c<1 D [由图像可知 y=loga(x+c)的图像是由 y=logax 的图像向左平移 c 个单位

得到的,其中 0<c<1.再根据单调性可知 0<a<1.]

4.(教材改编)若 loga34<1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范围是(

)

A.???0,34 ???

B.(1,+∞)

C.???0,34???∪(1,+∞)

D.???34,1 ???

C [当 0<a<1 时,loga34<logaa=1,∴0<a<34;

当 a>1 时,loga34<logaa=1,∴a>1.

即实数 a 的取值范围是???0,34???∪(1,+∞).]

5.(2018·南昌模拟)计算:2log510+log514=________,2log43=________. 【导学号:00090033】
2 3 [2log510+log514=log5???102×14???=2,因为 log43=12log23=log2 3,所以 2log43=2log2 3= 3.]

对数的运算

(对应学生用书第 19 页)

(1)设 2a=5b=m,且1a+1b=2,则 m 等于(

)

A. 10

B.10

C.20

D.100

(2)(2018·太原模拟)已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 等于( )

1

3

A.3

B. 6

3 C. 3

2 D. 4

(1)A (2)D [(1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, ∴1a+1b=log12m+log15m=logm2+logm5=logm10=2, ∴m= 10. (2)由 log7[log3(log2x)]=0 得 log3(log2x)=1, 即 log2x=3,所以 x=8, 所以 x = 42.]

[规律方法] 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成 分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法 则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab=N?b=logaN(a>0,且 a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法, 在运算中应注意互化.

[变式训练 1] (1)(2017·东城区综合练习(二))已知函数 f(x)=?????f2?xx,+x1≥?,4,x<4, 则

f(2+log23)的值为( ) A.24 C.12

B.16 D.8

(2)(2015·浙江高考)计算:log2 22=________,2log23+log43=________.

(1)A (2)-12 3 3 [(1)∵3<2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23)= 23+log23=8×3=24,故选 A.

(2)log2

2 2



log2

2



log22



1 2



1





1 2



2log23



log43



2log23·2log43



3×2log43



3×2log2 3=3 3.]

对数函数的图像及应用 (1)(2017·河南南阳一模)若函数 y=a|x|(a>0,且 a≠1)的值域为 {y|y≥1},则函数 y=loga|x|的图像大致是( )

A

B

C

D

(2)(2017·衡水调研)已知函数 f(x)=?????3loxg,2xx,≤x0>,0, 且关于 x 的方程 f(x)+x-a
=0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是________. (1)B (2)(1,+∞) [(1)若函数 y=a|x|(a>0,且 a≠1)的值域 为{y|y≥1},则 a>1,故函数 y=loga|x|的大致图像如图所示.故 选 B. (2)如图,在同一坐标系中分别作出 y=f(x)与 y=-x+a 的图 像,其中 a 表示直线在 y 轴上截距,由图可知,当 a>1 时, 直线 y=-x+a 与 y=log2x 只有一个交点.]

[规律方法] 1.在识别函数图像时,要善于利用已知函数的性质、函数图像上 的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结 合法求解.

[变式训练 2] (1)(2018·邵阳模拟)若函数 f(x)=ax-k·a-x(a>0 且 a≠1)在(-∞, +∞)上既是奇函数又是增函数,则函数 g(x)=loga(x+k)的大致图像是( )

(2)(2018·合肥模拟)当 0<x≤12时,4x<logax,则 a 的取值范围是(

)

【导学号:00090034】

A.????0,

2?? 2 ??

C.(1, 2)

B.???? 22,1???? D.( 2,2)

(1)B (2)B [(1)由题意函数 f(x)=ax-k·a-x(a>0 且 a≠1)在(-∞,+∞)上既 是奇函数又是增函数,∴有 f(0)=0,即 0=1-k, ∴k=1,根据增+增=增,∴y=ax 是增函数,∴a>1. 那么函数 g(x)=loga(x+1)(a>1)的图像单调递增,恒过(0,0),故选 B.

(2)构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时, 画出两个函数在???0,12???上的图像,可知 f???12???<g???12???,即 2<loga12,则 a> 22,所 以 a 的取值范围为???? 22,1????.
]

对数函数的性质及应用

角度 1 比较对数值的大小 (1)(2016·全国卷Ⅰ)若 a>b>0,0<c<1,则( )

A.logac<logbc C.ac<bc

B.logca<logcb D.ca>cb

(2)(2018·榆林模拟)设 a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则 a、b、c 的大小关 系是( )

A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<c<a

(1)B (2)B [(1)∵0<c<1,∴当 a>b>1 时,logac>logbc,A 项错误; ∵0<c<1,∴y=logcx 在(0,+∞)上是减少的,又 a>b>0, ∴logca<logcb,B 项正确; ∵0<c<1,∴函数 y=xc 在(0,+∞)上是增加的, 又∵a>b>0,∴ac>bc,C 项错误; ∵0<c<1,∴y=cx 在(0,+∞)上是减少的, 又∵a>b>0,∴ca<cb,D 项错误. (2)因为 a=60.4>1,b=log0.40.5∈(0,1),c=log80.4<0,所以 a>b>c.]

角度 2 解简单的对数不等式

(1)(2018·哈 尔 滨 模 拟 ) 已 知 函 数

f(x)



??3+log2x,x>0 ???x2-x-1,x≤0

,则不等式

f(x)≤5 的解集为( )

A.[-1,1]

B.(-∞,-2]∪(0,4)

C.[-2,4]

D.(-∞,-2]∪[0,4]

(2)(2016·浙江高考)已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 logab>1,则( )

A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0

C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0

(1)C (2)D [(1)由于 f(x)=?????3x2+-lxo-g2x1,,xx>≤00 , 当 x>0 时,3+log2x≤5,即 log2x≤2=log24,解得 0<x≤4,当 x≤0 时,x2 -x-1≤5,即(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤0, ∴不等式 f(x)≤5 的解集为[-2,4],故选 C. (2)法一:logab>1=logaa, 当 a>1 时,b>a>1; 当 0<a<1 时,0<b<a<1.只有 D 正确. 法二:取 a=2,b=3,排除 A,B,C,故选 D.]

角度 3 探究对数型函数的性质 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间;

(2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,

请说明理由.

【导学号:00090035】

[解] (1)因为 f(1)=1,所以 log4(a+5)=1, 因此 a+5=4,a=-1,这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0,得-1<x<3, 函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上是增加的,在(1,3)上是减少的. 又 y=log4x 在(0,+∞)上是增加的, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1), 单调递减区间是(1,3).

(2)假设存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,

?? a>0, 即???3a- a 1=1,

解得 a=12.

故存在实数 a=12使 f(x)的最小值为 0.

[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质,要注意以下四点:一 是定义域;二是底数与 1 的大小关系;三是如果需将函数解析式变形,一定 确保其等价性;四是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成 的.

课时分层训练(九)
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