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江苏省徐州市2015届高三第一学期期中考试数学试题 Word版

江苏省徐州市 2015 届高三第一学期期中考试数学试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上 . . 1.设集合 A ? { x ? 1 ? x ? 2}, B ? { x 0 ? x ? 4}, 则 A ? B ? .

2.已知 z ? (a ? i )(1 ? 2i )(a ? R, i 为虚数单位) ,若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上, 则a ? . .

3.若命题 " ?x ? R, x 2 ? 2mx ? m ? 0" 是假命题,则实数 m 的取值范围是 4.已知向量 a ? ( 2,1), b ? (0,?1), 若 (a ? ?b) // a , 则实数 ? ? 5.若等差数列 {a n } 的前 5 项和 S 5 ? 25, 且 a4 ? 3, 则 a 7 ? 6.若直线 y ? x ? b 是曲线 y ? x ln x 的一条切线,则实数 b ?
2 7. 已 知 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? x ? 3a s i n

. . .

?x
2

, 且 f (3) ? 6, 则

a?

.

8.在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 sinA ?

3 sinC , B ? 30?, b ? 2, 则
B

?ABC 的面积是

.

?ABC 中,AC ? 3, BC ? 4, ?C ? 90?, D 是 BC 的中点, 9.如图,
则 BA ? AD 的值为 .

D

C

A
第 9 题图

2 10. 已 知 {a n } 是 分 比 为 q 的 正 项 等 比 数 列 , 不 等 式 x ? a3 x ? a4 ? 0 的 解 集 是

{ x a1 ? x ? a2 }, 则 q ?

.

11.在平面直角坐标系中,已知角 ? ?

?
4
x

的终边经过点 P (3,4), 则 cos? ?
x

.

12.已知点 A, B 分别在函数 f ( x ) ? e 和 g( x ) ? 3e 的图象上,连接 A, B 两点,当 AB 平

行于 x 轴时, A, B 两点的距离是

.

13.已知三个实数 a, b, c ,当 c ? 0 时满足: b ? 2a ? 3c , 且 bc ? a 2 , 则 是 .

b 的取值范围 a ? 2c

2 14.已知函数 f ( x ) ? x x ? 3 , x ? [0, m ] , 其中 m ? R, 当函数 f ( x ) 的值域为 [0,2] 时, 则

实数 m 的取值范围 . 二、解答题:本大题共 6 分,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.

A ? B) ? 2 sin(A ? B). 15.(本题满分 14 分)在 ? ABC 中,已知 sin(
(1)若 B ?

?
6

,求A:

(2)若 tan A ? 2, 求 tan B 的值. 16. (本题满分 14 分)已知集合 A ? { y y ? ?2 x , x ? [2,3]}, B ? { x x 2 ? 3 x ? a 2 ? 3a ? 0} (1)当 a ? 4 时,求 A ? B; (2)若命题“ x ? A ”是命题“ x ? B ”的充分不必要条件, 求实数 a 的取值范围.

17. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知三点 A(4,0), B(t ,2), C (6, t ), t ? R, O 为坐标原点. (1) 若 ? ABC 是直角三角形,求 t 的值; (2) 若四边形 ABCD 是平行四边形,求 OD 的最小值. 18.(本小题满分 16 分) 如图, P 为某湖中观光岛屿, AB 是沿湖岸南北方向 道路,Q 为停车场, PQ ?

26 km, 某旅游团浏览完岛 5

A

屿后,乘游船回停车场 Q , 已知游船以 13 km / h 的速度

Q

?
?
P

M

B

沿方位角 ? 的方向行驶, sin? ?

5 . 游船离开观光岛屿 3 分钟后,因事耽搁没有来得及登 13

上游船的游客甲为了及时赶到停车地点 Q 与旅游团会合,立即决定租用小船先到达湖岸南 北大道 M 处,然后乘出租车到停车场 Q 处(设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车) . 假设游客甲乘小船行驶的方位角是 ? ,出租车的速度为 66 km / h. (1) 设 si n? ?

4 , 问小船的速度为多少 km / h 时,游客甲才能和游船同时到达点 Q; 5

(2) 设小船速度为 10 km / h ,请你替该游客设计小船行驶的方位角 ? , 当角 ? 的余弦值 的大小是多少时,游客甲能按计划以最短时间到达 Q .

19.(本小题满分 16 分) 已知二次函数 h( x) ? ax2 ? bx ? c (其中 c ? 3), 其中导函数 y ? h' ( x ) 的图象如图,设

f ( x ) ? 6 ln x ? h( x )
(1) 求函数 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线斜率; (2) 若函数 f ( x ) 在区间 (1, m ? 数 m 的取值范围; (3) 若 函 数 y ? ? x , x ? (0,6) 的 图 象 总 在 函 数

y

h' ( x )

1 ) 上是单调函数, 求实 2

O

(4,0) (0,?8)

x

y ? f ( x ) 图象的上方,求 c 的取值范围.
20. (本小题满分 16 分) 设等比数列 {a n } 的首项为 a1 ? 2, 公比为 q ( q 为正整数) ,且满足 3a 3 是 8a 1 与 a5 的等差中 项;数列 {bn } 满足 2n ? ( t ? bn )n ?
2

3 bn ? 0( t ? R, n ? N * ). 2

(1) 求数列 {a n } 的通项公式; (2) 试确定 t 的值,使得数列 {bn } 为等差数列;

(3) 当 {bn } 为等差数列时,对每个正整数 k , 在 a k 与 a k ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新 数列 {c n } .设 Tn 是数列 {c n } 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2c m?1 的所有正整数 m.

参考答案与评分标准
1. [0, 2] 2.

1 2

3. ? 0,1?

4.0

5.-3

6.-1

7.5

8. 3

9. ?17

10.

1? 5 2

11.

7 2 10

12. ln 3

13. ? ??,0? ??9, ???

14. ?1, 2?

π π 15.解:(1)由条件,得 sin( A ? ) ? 2sin( A ? ) . 6 6
? 3 1 3 1 sin A ? cos A ? 2( sin A ? cos A) . ?????????3 分 2 2 2 2

化简,得

sin A?

3 cA o. s

? tan A ? 3 .???????????????????????6 分

又 A ? (0, π) , ? A ?

π . ???????????????7 分 3

(2)因为 sin( A ? B) ? 2sin( A ? B) ,
? sin A cos B ? cos A sin B ? 2(sin A cos B ? cos A sin B) .

化简,得 又

3 c oA s

sB i? n

s Ai n .?????????????? Bc o s 11 分

cos A cB os ? ,0

? tan A ? 3 tan B .又 tan A ? 2,

? tan B ?

2 .?????????????????????14 分 3

17.解: (1)由条件, AB ? ?t ? 4,2? , AC ? ? 2, t ? , BC ? ? 6 ? t, t ? 2? ,若直角 ?ABC 中, ?A ? 90 ,则 AB ? AC ? 0 ,即 2 ? t ? 4 ? ? 2t ? 0 ,
? t ? 2 ;-----------------------------------------------------------------------------------------2 分

?B ? 90 , BB C ? 若直角 ?ABC 中, 则A

?0, 即 ? t ? 4?? 6?t ? ? 2 t? ?2?0 ?

?t ? 6 ? 2 2 ; ,

若直角 ?ABC 中, ?C ? 90 ,则 AC ? BC ? 0 ,即 2 ? 6 ? t ? ? t ? t ? 2? ? 0 ,无解, 所以,满足条件的 t 的值为 2 或 6 ? 2 2 . -----------------------8 分

(2)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AD ? BC ,设 D 的坐标为 ( x, y )

?x ? 4 ? 6 ? 6 ?? 即 ? x ? 4, y ? ? ? 6 ? t , t ? 2? , ? y ? t ? 2 . 即 D(10 ? t , t ? 2)

OD ? (10 ? t )2 ? (t ? 2)2 ? 2t 2 ? 24t ? 104 ,
所以当 t ? 6 时, OD 的最小值为 4 2 ,--------------------------14 分

A
18.解:(Ⅰ) 如图,作 PN ? AB , N 为垂足.

5 4 sin ? ? , sin a ? , 5 13
在 Rt △ PNQ 中,

Q

?
P

?

M N B

PN ? PQ sin ? ? QN ? PQ cos? =

26 5 ? ? 2 (km), 5 13 26 12 ? ? 4.8 (km). 5 13

在 Rt △ PNM 中,
MN ? PN 2 ? ? 1.5 (km) .?????????3 分 tan a 4 3

设游船从 P 到 Q 所用时间为 t1 h,游客甲从 P 经 M 到 Q 所用时间为 t 2 h,小船的速度为 v1
26 PM MQ 2.5 3.3 5 1 PQ 2 ? ? ? ? ? (h) ? 5 ? (h), t2 ? km/h,则 t1 ? . v1 66 v1 66 2v1 20 13 13 5

????5 分

由已知得: t2 ? ∴小船的速度为

5 1 1 2 1 25 ? ? ? ,∴ v1 ? .?????????7 分 ? t1 , 2v1 20 20 5 20 3

25 km/h 时,游客甲才能和游船同时到达 Q . 3

(Ⅱ)在 Rt △ PMN 中,

PM ?

PN 2 PN 2cos a (km), MN ? (km). ? ? sin a sin a tan a sin a 2cos a (km). sin a
?????????9 分

∴ QM ? QN ? MN ? 4.8 ? ∴t ? ∵ t? ?

PM QM 1 4 cos a 1 33 ? 5cos a 4 = .???????11 分 ? ? ? ? ? ? 10 66 5sin a 55 33sin a 165 sin a 55
???????13 分

1 5sin 2 a ? (33 ? 5cos a )cos a 5 ? 33cos a , ? ? 165 sin 2 a 165sin 2 a 5 ∴令 t ? ? 0 得: cos a ? . 33
当 cos a ?

5 5 时, t ? ? 0 ;当 cos a ? 时, t ? ? 0 . 33 33

∵ cos a 在 ? ? (0,

?
2

) 上是减函数,
5 时,t 最小,即游客甲能按计划以最短时间到达 Q .?16 分 33

∴当方位角 a 满足 cos a ?

19.解:⑴ f ( x) ? 2 x ? 8 ---------------------------------------------------------------------------- 2 分
'

? f ( x) ? 6 ln x ? x 2 ? 8x ? c
? f ' ( x) ? 6 ? 2x ? 8 x

f ' (2) ? ?1 ,所以函数 f ( x)在点(3, f (3)) 处的切线斜率为-1 ------------------ 4 分

⑵ f ' ( x) ?

6 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 8 ? x x
(3,??)
+ ↗

?x ?0

x
f ' ( x)
f ( x)

(0,1) + ↗

1 0

(1,3) - ↘

3 0

? f ( x) 的单调递增区间为(0,1)和 (3,??)

? f ( x) 的单调递减区间为(1,3)

----------------------------------------------7 分

要使函数 f ( x) 在区间 (1, m ? ) 上是单调函数,

1 2

1 ? 1? m ? ? 1 5 ? 2 则? ,解得 ? m ? 2 2 ?m ? 1 ? 3 ? ? 2
⑶ 由题意, 得
2 即 c ? ? x ? 7 x ? 6ln x

------------------------------------------------- 9 分

恒成立, 恒成立, 恒成立,

设 g ( x) ? ?x ? 6ln x ? 7 x, x ? ? 0,6?, 则c ? g( x)min ----------------------------- 13 分
2

g ' ( x) ? ?2 x ?

6 ? 2 x 2 ? 7 x ? 6 ? (2 x ? 3)(x ? 2) ?7 ? ? x x x
3 2

因为 x ? 0,?当x ? ( ,2)时,? g ' ( x) ? 0, g ( x)为增函数 当 x ? (0, )和(2, ??)时,? g '( x) ? 0, g ( x)为减函数

3 2

3 ? g ( x) 的最小值为 g ( )和g (6) 的较小者. 2

3 9 3 3 33 3 g ( ) ? ? ? 6 ln ? 7 ? ? ? 6 ln , 2 4 2 2 4 2 g (6) ? ?36 ? 6 ln 6 ? 42 ? 6 ? 6 ln 6, 3 9 3 9 g ( ) ? g (6) ? ? 6 ln ? 6 ln 6 ? ? 12 ln 2 ? 0, 2 4 2 4

? g ( x) min ? g (6) ? 6 ? 6 ln 6.
又已知 c ? 3 ,

------------------------------------------------- 15 分

? c ? 6 ? 6 ln 6 . ----------------------------------------------------------------------------- 16 分

20.【解析】(Ⅰ)因为
解得

,所以 (舍),则

, ------------3分



,所以

----------------------------5 分

(Ⅱ)由 ,则由

,得

, -----------8分 10 分

所以

,得

而当

时,

,由

(常数)知此时数列

为等差数列 -------------


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