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浙江省杭州市2013届高三第二次教学质检检测数学(理)试题


浙江省杭州市 2013 届高三第二次教学质检检测

数学(理)试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的)

1+ i i + =( ) i 1+ i 1 3 1 3 3 1 3 1 + i i i A. B. C. + i D. 2 2 2 2 2 2 2 2 p 2.已知集合 A = {k ? Z | sin(k p q) = sin q, q ? (0, )}, B {k ? Z | cos(k p q) = cos q, q 2 p (0, )}, 则(?z A) ? B = ( ) 2 A. k | k = 2n, n Z} B. k | k = 2n - 1, n Z } C. k | k = 4n, n Z} D. k | k = 4n - 1, n Z } { { { { 3.设 P 为函数 f ( x) = sin(p x) 的图象上的一个最高点,Q 为函数 g ( x) = cos(p x) 的图象上的一个最低点,
1.已知 i 是虚数单位,则 则|PQ|最小值是( ) A.

p2 +4 4

B.2

C.

17 2

D.2 2

4.设直线: l : y = kx + m(m

0) ,双曲线 C :

b x2 y 2 + 2 = 1(a > 0, b > 0) ,则“ k = - ”是“直线 l 与双曲 2 a a b
C.充分条件 D.既不充分也不必要条件

线 C 恰有一个公共点“的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

ì x- y 0 ? ? ? 5.若存在实数 x,y 使不等式组 í x - 3 y + 2 0, 与不等式 x - 2 y + m ? ? x+ y- 6 0 ? ? ?
值范围是( ) A.m≥0 B. m≤3 C.m≥l

0 都成立,则实数 m 的取

D.m≥3

6.设数列{an}是首项为 l 的等比数列,若 {

1 1 1 1 1 } 是等差数列,则 ( + )+ ( + ) 2a1 a2 2a2 a3 2an + an+ 1

+ ?+ (

1 1 + ) 的值等于( ) 2a2012 a2013
B. 2013
2 2

A. 2012 7.已知双曲线 C :

C. 3018

D. 3019

y x + 2 = 1(a > 0, b > 0) ,A,B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点,且与点 B 2 a b 4 在双曲线的同一支上.P 关于 y 轴的对称点是 Q 若直线 AP,BQ 的斜率分别是 k1,k2,且 k1· 2= k ,则 5
双曲线的离心率是( ) D.

9 3 3 5 B. C. 4 2 5 x 8.若函数 f ( x) = ( x + 1).e ,则下列命题正确的是( )
A. A. 对任意 m < -

9 5

1 1 , 都存在 x ? R ,使得 f ( x) < m B. 对任意 m > - 2 , 都存在 x ? R , 使得 f ( x) < m 2 e e 1 1 C.对任意 m < - 2 ,方程 f ( x) = m 只有一个实根 D.对任意 m > - 2 ,方程 f ( x) = m 总有两个实根 e e ? ??? ? ??? ??? ? 9.在直角坐标中,A(3,1) ,B(-3,-3) ,C(l.4) 是 AB 和 AC 夹角平分线上的一点,且 AP =2, .P ??? ? 则 AP 的坐标是( )

4 5 2 5 5 26 26 C. (, ) , ) B. (- 2, 2) 5 5 13 13 10.如图,平面 a 与平面 b 交于直线 l ,A,C 是平面 a 内 不同的两点,B,D 是平面 b 内不同的两点,且 A,B. C.D 不在直线 l 上,M,N 分别是线段 AB,CD 的中
A. (点,下列判断正确的是( ) A.若 AB 与 CD 相交,且直线 AC 平行于 l 时,则直线 BD 与 l 可能平行也有可能相交 B.若 AB,CD 是异面直线时,则直线 MN 可能与 l 平行 C.若存在异于 AB,CD 的直线同时与直线 AC,MN,BD 都相交,则 AB,CD 不可能是异面直线 D.M,N 两点可能重合,但此时直线 AC 与 l 不可能相交 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

D (-

3,1)

2 p ( x R ) ,则 cos( x - ) = 3 3 1 6 ) 的展开式中,常数项为 12.在二项式 (2 x x
11.已知 cos x = 13.若某程序框图如图所示,则该程序 运行后输出的值是____ 。 14.一个空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为 。 15.公差不为 0 的等差数列{an}的部分 项 ak1 , ak2 , ak3 ? ,构成等比数列,且 k1=1,k2=2,k3=6,则 k4= 。 16.在△ OAB 中,C 为 OA 上的一点, 且 OC =

。 。

? 2 ??? OA, D 是 BC 的中点, 3 ??? ? ??? ? ??? ? 过点 A 的直线 l ∥ OD,P 是直线 l 上的动点, OP = l 1OB + l 2 OC ,则 l 1 - l 2 =
, R, 且 a ? b ) 2 2 直线 l 过点 A(a,a2) ,B(b,b2) ,则直线 l 被圆( x - cos q) + ( y - sin q) = 4 所 17.已知 a sin q + a cos q - 2 = 0, b sin q + b cos q - 2 = 0(a, b, q
2 2

????



截得的弦长为____。 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.已知 c=2.acosB-bcosA= (I)求 bcosA 的值; (Ⅱ )若 a=4.求△ ABC 的面积。

7 。 2

19. (本小题满分 14 分) 已知盘中有编号为 A,B,C,D 的 4 个红球,4 个黄球,4 个白球(共 12 个球)现从中摸出 4 个球(除 编号与颜色外球没有区别) (I)求恰好包含字母 A,B,C,D 的概率) ; (II)设摸出的 4 个球中出现的颜色种数为随机变量 X.球 Y 的分布列和期望 E(X) 。

20. (本题满分 15 分) 已知在四棱锥 P -ABCD 中,底面 ABCD 是平行 四边形,PA⊥ 平面 ABCD,PA= 3 ,AB=1.AD= 2. ∠ BAD= 120°,E,F,G,H 分别是 BC,PB,PC, AD 的中点 (Ⅰ )求证:PH∥ 平面 GED; (Ⅱ )过点 F 作平面 a ,使 ED∥ 平面 a ,当平面 平面 EDG 时,设 PA 与平面 a 交于点 Q,求 PQ 的长。 a⊥

21. (本题满分 15 分) 已知直线 y=2x-2 与抛物线 x2=2py(p>0)交于 M1,M2 两点,直线 y= 与 y 轴交于点 F.且直线 y = (I)求 P 的值;

p 2

p 恰好平分∠ 1FM2。 M 2

p 上一点,直线 AM2 交抛物线于另点 M3,直线 2 ??? ??? ? ? p M1M3 交直线 y= 于点 B,求 OA ·OB 的值。 2
(Ⅱ )设 A 是直线 y=

22. (本题满分 I4 分)设函数 f ( x) = ax + bx(a, b 为实数) 。 (I)设 a≠0,当 a+b=0 时.求过点 P(一 1,0)且与曲线 y = f ( x) 相切的直线方程; (Ⅱ )设 b>0,当 a≤0 且 x ? [0,1] 时,有 f ( x) ? [0,1),求 b 的最大值。

3

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的): 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C A B C C B A D 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分): 11.

1 15 . ? 3 6

12. 60 16. ?

13. 6 17. 2 3

14. 50(1 ? 3)

15. 22

3 2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本题满分 14 分) a 2 ? c2 ? b2 b2 ? c2 ? a2 7 7 ?b? ? , (Ⅰ) ∵ a cos B ? b cos A ? ,根据余弦定理得, a ? 2ac 2bc 2 2 ∴ 2a 2 ? 2b2 ? 7c ,又∵ c ? 2 ,∴ a 2 ? b 2 ? 7 , b2 ? c2 ? a2 3 ?? . ∴ b cos A ? 2c 4 7 3 11 (Ⅱ) 由 a cos B ? b cos A ? 及 b cos A ? ? ,得 a cos B ? . 4 4 2 3 15 11 又∵ a ? 4 ,∴ cos B ? ,∴ sin B ? 1 ? cos2 B ? , 16 16 1 3 ∴ S?ABC ? ac sin B ? 15 . ks5u 2 4 19. (本题满分 14 分) C1 ? C1 ? C1 ? C1 9 (Ⅰ) P= 3 3 4 3 3 ? . C12 55 (Ⅱ) P( X ? 1) ?
P( X ? 3) ?
1 2 3 1 C3 1 C 2 (C1C 3 ? C4 C 2 ? C4 C4 ) 68 , P( X ? 2) ? 3 4 4 4 4 , ? ? 4 C12 165 C12 165

7分

14 分

5分

1 1 2 3C4C4C4 32 . ? 4 C12 55

分布列为: X P 12 分
1 2 ? 68 3 ? 32 85 E( X ) ? ? ? ? . 165 165 55 33

1

2

3

1 165

68 165

32 55
14 分

20. (本题满分 15 分)

(Ⅰ) 连接 HC,交 ED 于点 N,连结 GN, 由条件得:DHEC 是矩形,∴N 是线段 HC 的中点,又 G 是 PC 的中点, ∴ GN//PH, 2分 又 ∵ GN ? 平面 GED,PH 不在平面 GED 内, 4分 ∴ PH//平面 GED. 5分 (Ⅱ) 方法 1:连结 AE,∵ ?BAD ? 120? , ∴ △ABE 是等边三角形,设 BE 的中点为 M,以 AM、AD、AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 B(
3 3 3 1 , ? ,0), C( , ,0),D(0,2,0),P(0,0, 3 ), 2 2 2 2
3 1 3 3 3 3 3 1 , ,0), F( ,? , ),G( , , ). 4 4 2 2 4 4 2 2 3 3 3 5 3 , ,0) , DG ? ( ,? , ). 2 2 4 4 2

则 E(

(第 20 题) 8分

设 Q(0,0, t ) , ED ? (?

设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 GED 的一个法向量,

? 3 3 ? x1 ? 3 y1 x1 ? y1 ? 0 ?n1 ? ED ? ? ? ? 2 2 则? ,得 ? 3 , 3 5 3 y1 ? z1 ? ? 3 ? ?n1 ? DG ? 4 x1 ? 4 y1 ? 2 z1 ? 0 ?
令 y1 ? 1 ∴ n1 ? ( 3 ,1,
3 ). 3

10 分

设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 ? 的一个法向量,

? 3 3 ? x2 ? 3 y2 x2 ? y2 ? 0 ?n2 ? ED ? ? ? ? 2 2 则? ,得 ? ,令 y2 ? 1 ,得 1 y2 3 1 3 ? z2 ? ? 2t ? 3 ? ?n2 ? QF ? 4 x2 ? 4 y2 ? ( 2 ? t ) z2 ? 0 ? 1 n2 ? ( 3 ,1, ), 12 分 2t ? 3
当平面 GED⊥平面 ? 时, n1 ? n2 ? 3 ? 1 ? 得t ?
3 1 ? ?0, 3 2t ? 3

11 3 13 3 11 11 3 ? ? ,则 PQ 的长为 3 ? . 15 分 24 24 24 8 3 方法 2:连接 BH,则 BH//ED,又∵PB//GE,∴平面 PBH//平面 GED, 设 BH 与 AE 交于点 K,PK 的中点为 M, ∵F 是 PB 的中点,∴FM//BK, ∵ABEH 是菱形,∴AE⊥BK, ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥BK ,∴ BK⊥平面 PAK. ∴ FM⊥平面 PAK, 过 M 作 MQ⊥PK,交 PA 于 Q,设 MQ 与 FM 所确定的平面为 ? , ∵ED//BH// FM,∴ED//平面 ? ,又平面 ? ⊥平面 PBH,∴平面 ? ⊥平面 EDG . 得平面 ? 满足条件. 9分

(第 20 题)

∵ PA ? 3 , AK ? 由

1 13 1 ,∴ PK ? 3 ? ? , 4 2 2

PQ PM , ? PK PA
15 分 ks5u

13 13 ? PK ? PM 4 ? 13 3 . 得 PQ ? ? 2 PA 24 3

21. (本题满分 15 分) ? y ? 2x ? 2 (Ⅰ) 由 ? 2 ,整理得 x 2 ? 4 px ? 4 p ? 0 ,设MR1R( x1 , y1 ),MR2R( x2 , y2 ), x ? 2 py ?
?? ? 16 p 2 ? 16 p ? 0 ? 则 ? x1 ? x2 ? 4 p , ?x ? x ? 4 p ? 1 2

p 平分 ?M 1 FM 2 ,∴ kM1F ? kM 2F ? 0 , 2 p p p p y1 ? y2 ? 2 x1 ? 2 ? 2 x2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 ,即: 2 ? 2 ? 0, ∴ x1 x2 x1 x2 p x ? x2 ? 0 ,∴ p ? 4 ,满足 ? ? 0 ,∴ p ? 4 . ∴ 4 ? (2 ? ) ? 1 2 x1 ? x2
∵ 直线 y ?

(第 21 题) 7分

2 2 ? x ? x2 ? 16 x x (Ⅱ) 由(1)知抛物线方程为 x 2 ? 8 y ,且 ? 1 , M 1 ( x1 , 1 ) , M 2 ( x2 , 2 ) , 8 8 ? x1 x2 ? 16 2 x 设 M 3 ( x3 , 3 ) ,A (t ,2) , B(a,2) , 8 由A、MR2R、MR3R三点共线得 kM2M3 ? k AM 2 ,

x2 ?2 x2 ? x3 2 2 ∴ ,即: x2 ? x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? x2 ? 16 , ? 8 8 x2 ? t 整理得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? ?16 , ……①

2

由B、MR3R、MR1R三点共线,同理可得 x1 x3 ? a( x1 ? x3 ) ? ?16 , ……② ②式两边同乘 x 2 得: x1x2 x3 ? a( x1x2 ? x2 x3 ) ? ?16x2 , 即: 16x3 ? a(16 ? x2 x3 ) ? ?16x2 , ……③ 由①得: x2 x3 ? t ( x2 ? x3 ) ? 16 ,代入③得: 16x3 ? 16a ? ta( x2 ? x3 ) ? 16a ? ?16x2 , 即: 16( x2 ? x3 ) ? at( x2 ? x3 ) ,∴ at ? 16 . ∴ OA ? OB ? at ? 4 ? 20 . 15 分

22. (本题满分 14 分) (Ⅰ) ∵ a ? 0 , a ? b ? 0 ,∴ b ? ? a ,则 f ( x) ? ax3 ? ax , ∴ f ?( x) ? 3ax2 ? a ,设切点 T( x0 , y0 ),则 f ?( x0 ) ? k PT , 即:切线方程为 y ? y0 ? (3ax02 ? a)( x ? x0 ) ,又∵切线过点 P( ?1,0 ), 1 ∴ ? (ax03 ? ax0 ) ? (3ax0 2 ? a)(?1 ? x0 ) ,解得: x0 ? ?1 或 x0 ? . 2 ?( x0 ) ? 2a ,切线方程为 y ? 2ax ? 2a , 当 x0 ? ?1 时, f 1 1 1 1 当 x0 ? 时, f ?( x0 ) ? ? a ,切线方程为 y ? ? ax ? a . 4 4 4 2 (Ⅱ) ① 当 a ? 0 , b ? 0 时, f ( x) ? bx 在[0,1]上递增,∴ b ? 1 . ② 当 a ? 0 , b ? 0 时,令 f ?( x) ? 3ax2 ? b ? 0 ,得 x ? ? ?
f (x) 在[0, ?

7分

b , 3a

b ]上递增, 3a

( i ) 若 ?

b ? 1 时, f (x) 在[0,1]上递增,∵ f (0) ? 0 , 3a

? b ?? 3a ? 1 ?3a ? b ? 0 ? 3 ? ∴ ?a ? b ? 1 ,即: ?a ? b ? 1 ,由线性规划知: b ? . 2 ?a ? 0, b ? 0 ?a ? 0, b ? 0 ? ? ?

( ii ) 若 ?
? b ?? 3a ? 1 ? ? b 意得: ? f ( ? ) ? 1 , 3a ? ?a ? b ? 0 ? ?

b b b ? 1 时, f (x) 在[0, ? ]上递增,在[ ? ,1]上递减,又 f (0) ? 0 , 由题 3a 3a 3a

由 f( ?

b b b b ) ? 1 得, a ? (? ) ? ? ?b? ? ? 1, 3a 3a 3a 3a

2 b ? 1 ,得 4b 3 ? ?27a . 即: b ? ? 3 3a 又 a ? b ? 0 ,∴ a ? ?b , 3 ∴ 4b 3 ? 27b ,得 0 ? b ? 3. 2 3 3 3 b 当b ? ,满足 ? 3 时, a ? ?b ? ? ?1. 2 2 3a

综上所述: b 的最大值为

3 3 . 2

14 分


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