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宁夏银川一中2014届高三数学4月模拟考试题 理(扫描版)新人教A版


宁夏银川一中 2014 届高三数学 4 月模拟考试题 理 (扫描版) 新人教 A版

1

2

3

4

(数学理科答案) 一、选择题: A 卷答案:1---5CAACC B 卷答案:1---5DAADD
3

6---10CABDB 6---10DABCB

11-12DB 11-12CB

11.提示:曲线 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 关于(0,1)中心对称. 12.提示:函数图象不随 p, q 的变化而变化. 二、填空题:

? ?1 13. 4

14. 50?

5 15. 6
2

16. 8

16.提示:可转化为 y ? 3 ln x ? x 上的动点与直线 y ? x ? 2 上动点的问题. 三、解答题: (解答题按步骤给分,本答案只给出一或两种答案,学生除标准答案的其他解 法,参照标准酌情设定,且只给整数分)

ì ? a12 q = 2, ? í 2 5 ? a1 q = 32, an } { q ? 17.解: (Ⅰ)设等比数列 的公比为 ,由已知得 ? ……………2 分

ì a1 = 1 , ? ? í ? a > 0 q> 0 ? q = 2, 又∵ 1 , ,解得 ?


………………3 分

an = 2n- 1

;…………………5 分

(Ⅱ)由题意可得

bn b1 b2 b3 + + +L + = 2n - 1 1 3 5 2n - 1 ,

2 n ?1 ? 1 ?

bn ? 2n ?1 2n ? 1 ,
bn = 2n- 1 2n - 1 ,

( n ? 2)

两式相减得 ∴

bn ? (2n ? 1)2 n?1

, ( n ? 2 )……………………7 分

b =1 当 n = 1 时, 1 ,符合上式,
∴ 设

bn = (2n - 1) 2n- 1 Tn = 1 + 3?21 1?2

* , ( n ? N )…………………………8 分

5 ?22

L + (2n - 1) 2n- 1



2Tn =

3?22

5 ?23

L + (2n - 3)?2n- 1

(2n - 1) 2n ,………………10 分
5

两式相减得 ∴

- Tn = 1 + 2 (2 + 22 + L + 2n- 1 )- (2n - 1)?2 n

- (2n - 3)?2 n

3



Tn = (2n - 3) 2n + 3

.…………………12 分(整理结果正确即可,不拘泥于形式)

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ,顶点 A1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ,

AB ? AC ? A1B ? 2 .
(Ⅰ)证明:平面 (Ⅱ)若点 P 为

A1 AC ?

平面

AB1B



B1C1

的中点,求出二面角 P ? AB ? A1 的余弦值.

证明: (Ⅰ)由题意得: ∴

A1B ?

面 ABC , ------2 分

A1B ? AC

,

AB ? A1B ? B 又 AB ? AC ,
∴ AC ? 面 ∵ AC ? 面

AB1B

, , ∴平面

------3 分

A1 AC

A1 AC ?

平面

AB1B



------5 分

(Ⅱ)解法 1:以 A 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则

A(0, 0, 0), B(0, 2, 0), B1 (0, 4, 2) C1 (2,2,2)
P ?1,, 3 2?
. ------6 分

因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得

??? ? ??? ? AB ? (0, 2, 0), AP ? (1,3, 2)
设平面 PAB 的法向量为

n1 ? ( x, y, z ),
C1 B1 A1

??? ? ? AB ? ? n1 ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 ? ? ??? ? AP ? n1 ? 0, ? 2y ? 0 ? ? 则 得
令 z ? 1,则

z

n1 ? (?2,0,1), n2 ? (1, 0, 0),

------8 分 ------9 分

x

C

A B

而平面 ABA1 的法向量

y

cos n1 , n2 ?


n1 ? n2 2 2 5 ?? ?? n1 | n2 | 5 5

------11 分

由图可知二面角 P ? AB ? A1 为锐角,
6

2 5 故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 5 .

------12 分

解法 2:过 P 做 PP1//A1B1 交 A1C1 的中点于 P1,由(Ⅰ)
1 BA1 为二面角 可知 P1A1 ? 平面A1 AB , 连接 P1B, 则 ?P

P ? AB ? A1 的平面角,

------8 分

1 A1 ? 1, A1 B ? 2, P 1B ? 1 BA 1 中 , P 在 Rt?P

5 ,

cos ?P1 BA1 ?

A1 B 2 2 5 ? ? P1 B 5 , 5
2 5

故二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值是 5

------12 分

t t 1 2 ? ? (1 ? ) ? 2 2 2 ,解得 t ? 1 .……………3 分 19.解: (Ⅰ)由题意得
(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3

1 t t (2 ? t ) 2 P(? ? 0) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? 2 2 2 8 ; 1 t t 1 t t 4 ? t2 P(? ? 1) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 2 2 2 2 2 2 8 ; 1 t t 1 t t 4t ? t 2 P(? ? 2) ? 2 ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8 ; P(? ? 3) ? 1 t t t2 ? ? ? 2 2 2 8.

故 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

(2 ? t ) 2 8

4 ? t2 8

4t ? t 2 8

t2 8

……………………7 分

? E? ? t ?

1 2 .…………………8 分

7

由题意得:

P(? ? 2) ? P(? ? 1) ?

?t 2 ? 4t ? 2 t ?1 ?0 ? 0 P(? ? 2) ? P(? ? 0) ? 4 2 , ,

P(? ? 2) ? P(? ? 3) ?

2t ? t 2 ?0 4 ,又因为 0 ? t ? 2

所以解得 t 的取值范围是 1 ? t ? 2 .…………………11 分

3 5 ? ? E? ? 2 2 .…………………12 分
20.解:

y

A M

c 3 e? ? a 2 (Ⅰ)依题意

P

N B

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 过焦点F与长轴垂直的直线x=c与椭圆 a

x

2b 2 联立解答弦长为 a =1,……………2 分 x2 ? y2 ? 1 4 所以椭圆的方程 .………………4 分
(Ⅱ)设P(1,t)

k PA ?

t ?0 t t ? l PA : y ? ( x ? 2) 1 ? 2 3 ,直线 3 ,联立得:

t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 x ? ? y 2 ? 1. ? ?4


?4t

2

? 9 x 2 ? 16t 2 x ? 16t 2 ? 36 ? 0 ,

?

16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 ?2 xM ? , x ? 4t 2 ? 9 所以 M 4t 2 ? 9 可知
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 ? ? y ? 12t . M 4t 2 ? 9 ……………………6 分 ? 则?



8

? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 ? ? y ? 4t . ? N 4t 2 ? 1 ………………8 分 同理得到 ?
由椭圆的对称性可知这样的定点在 x 轴, 不妨设这个定点为Q 又

?m,0? ,………………10-分
4t 4t 2 ? 1 ? 2 8t ? 2 ?m 4t 2 ? 1

k MQ

12t 2 9 ? 4t ? 2 18 ? 8t ?m 4t 2 ? 9


k NQ




kMQ ? k NQ

?8m ? 32 ? t 2 ? 6m ? 24 ? 0 , m ? 4 .……………12 分
,

21.解:(Ⅰ)

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? x ? 1? ln( x ? 1) ? x

F ' ( x) ? ln( x ? 1) ,
x ? (?1,0) F ' ( x) ? 0, F ( x) 为减函数;

x ? (0, ??), F ' ( x) ? 0, F ( x) 为增函数,
所以 F ( x) 只有一个极小值点 x ? 0 ,极小值为 0.……………………4 分 (Ⅱ) 设
2 G ( x) ? ln( x ? 1) ? f ( x2 ) ? ln( x ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ?

(?1, x2 ) 依题意即求 G ( x) 在 上存在零点时 a 的取值范围.
又当 x ? ?1时, G( x) ? ?? ,且 G ( x) 在定义域内单调递增, 所以只需要 即 即

G( x2 ) ? 0



? 0, ?? ? 上恒成立.
,在

2 ln( x2 ? 1) ? ? ?? x2 ? 2 ? ln( x2 ? 1) ? ax2 ? x2 ? ??0

? 0, ?? ? 上恒成立.

? x2 ? 1? ln( x2 ? 1) ? ax22 ? x2 ? 0 ,在 ? 0, ?? ? 上恒成立.…………7 分

10 若 a ? 0 ,显然不成立,因为由第一问知 F ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? x 在 (0,??) 为增函数,
故 F ( x) ? F (0) ? 0

2 0 ? x ? 1 ? 0 ,即

ln( x ? 1) ?

ax 2 ? x ? 0 ? 0, ?? ? x ?1 在 恒成立,
9

h( x) ? ln( x ? 1) ?
不妨设

ax 2 ? x x ? 1 , x ? ? 0, ?? ?

h ' ( x) ?

x(?ax ? 1 ? 2a) , x ? (0,??) ( x ? 1) 2 ,

h ' ( x) ?

x(?ax ? 1 ? 2a) 1 ? 2a ? 0, x1 ? 0, x 2 ? 2 a ,…………………9 分 ( x ? 1)

若 a ? 0 ,则 合题意),

x2 ?

1 ? 2a ?0 h' ( x) ? 0 ,所以 h( x) 为增函数, h( x) ? h(0) ? 0 a , 若x ?0, (不

0?a?


1 1 ? 2a x ? (0, ) ' 2, a ,h ( x) ? 0 , h( x) 为增函数,h( x) ? h(0) ? 0(不合题意) 若 ,

a?


1 ' 2 ,若 x ? (0, ??) , h ( x) ? 0 , h( x) 为减函数, h( x) ? h(0) ? 0 (符合题意),

综上所述,若 x ? 0 时, h( x) ? 0 f ( x) ? 0 恒成立,

a?


1 2 .……………………………12 分

22.解:(Ⅰ)连接 AB,在 EA 的延长线上取点 F,如图①所示. ∵AE 是⊙O1 的切线,切点为 A, ∴∠FAC=∠ABC,.……………1 分 ∵∠FAC=∠DAE, ∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC 是⊙O2 内接四边形 ABED 的外角, ∴∠ABC=∠ADE,……………2 分 ∴∠DAE=∠ADE.………………3 分 ∴EA=ED,∵ EA ? EB ? EC ,
2

∴ ED

2

? EB ? EC .………………5 分

(Ⅱ)当点 D 与点 A 重合时,直线 CA 与⊙O2 只有一个公共点, 所以直线 CA 与⊙O2 相切.……………6 分 如图②所示,由弦切角定理知:

?PAC ? ?ABC ?MAE ? ?ABE 又?PAC ? ?MAE 1 因?ABC ? ?ABE ? ? 180 ? 2

M P O1 C B
图(2)

A O2 E
10

∴AC 与 AE 分别为⊙O1 和⊙O2 的直径.…………8 分 ∴由切割线定理知:EA2=BE·CE,而 CB=2,BE=6,CE=8 ∴EA2=6×8=48,AE= 4 3 .故⊙O2 的直径为 4 3 .………………10 分 23.解: (Ⅰ)? ? ? cos? ,

? 2 ? ? cos ? …………………2 分
x2 ? y2 ? x 1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 2? 4 ?
( Ⅱ ) 设 P
2

2

.…………………4 分 ( 2 cos? , 2 sin ? ),

1 C 2 ( ,0) 2

1? ? PC2 ? ? 2 cos ? ? ? ? 2? ? ? 4 cos 2 ? ? 2 cos ? ? ? 2 cos 2 ? ? 2 cos ? ?
…………………6 分

?

2 sin ?

?

2

1 ? 2sin 2 ? 4 9 4

1 ? cos ? ? , PC2 2 ,
PQ min ?

min

?

7 2 ,…………………8 分

7 ?1 2 .……………………10 分

24.解:(Ⅰ)当 a=1 时,

f ( x) ? x ? 2 ? x ? 1 ? x

当x ? 2时 ,解得 x ? 3 ;
当 1 ? x ? 2 时,解得 x ? 1 , ?无解

当x ? 1时 ,解得 x ? 1;……………………………3 分
综上可得到解集 (Ⅱ)依题意, 则

{x x ? 1或x ? 3}

.……………………5 分

对?x ? R, 都有f ( x) ? 3 ,
,……………8 分

f ( x) ? ax ? 2 ? ax ? a ? ?ax ? 2? ? ?ax ? a ? ? a ? 2 ? 3

a ? 2 ? 3或a ? 2 ? ?3
11

? a ? 5或a ? ?1 (舍) ,
所以 a ? 5. …………………10 分

12


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