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2018届高三文科数学一轮复习 同角三角函数的基本关系与诱导公式_图文

第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_ 淮北一中数学组 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin2α+cos2α=1 ; (2)商数关系 sin α tan α=______. cos α 2.诱导公式 组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 记忆 规律 一 2kπ+ α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+ α 三 -α 四 π- α sin α 五 π -α 2 cos α sin α 六 π +α 2 -sin α -sin α -cos α tan α cos α cos α -sin α -cos α -tan α -tan α 函数名改变 符号看象限 函数名不变 符号看象限 奇变偶不变,符号看象限 [小题体验] 1.已知 ?π ? 3 ? π? sin?2+α?= ,α∈?0,2 ?,则 ? ? 5 ? ? sin(π+α)=______. 4 答案:- 5 1 cos θ 2.若 sin θcos θ= ,则 tan θ+ 的值为________. 2 sin θ 答案:2 1. 利用诱导公式进行化简求值时, 先利用公式化任意角的三角函 数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断 符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. [小题纠偏] 5 1.已知 α 是第二象限角,sin α= ,则 cos α=________. 13 12 答案:- 13 ? 31π? 2.(1)sin?- 4 ?=________, ? ? ? 26π? (2)tan?- 3 ?=________. ? ? 2 答案:(1) 2 (2) 3 考点一 三角函数的诱导公式 [题组练透] 1.化简 sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°) 的结果为 A.1 B.-1 C.0 ( D.2 ) 解析: 原式=(-sin 1 071°)· sin 99°+sin 171°· sin 261°= - sin(3×360° - 9°)sin(90° + 9°) + sin(180° - 9°)· sin(270°-9°)=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°=0. 答案:C sin?kπ+α? cos?kπ+α? 2.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成 sin α cos α 的集合是 A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} ( ) sin α cos α 解析:当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α 答案:C 3.已知 ?π ? tan?6 -α?= ? ? ?5π ? 3 ,则 tan? 6 +α?=________. 3 ? ? ?5π ? ? ? π 解析:tan? 6 +α?=tan?π-6+α? ? ? ? ? ? ?π ?? =tan?π-?6 -α?? ? ? ?? ?π ? =-tan?6-α?=- ? ? 3 . 3 3 答案:- 3 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 4.(易错题)设 f(α)= ?3π ? ?π ? 2 2 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ? ? 23π? 1? ?=________. α≠- ?,则 f?- 2? 6 ? ? ?-2sin α??-cos α?+cos α 解析:∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α ? ?sin ? 2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = = , 2sin2α+sin α sin α?1+2sin α? tan α ? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? = = ? 23π?= ? π? π tan?- 6 ? tan?-4π+6 ? tan6 ? ? ? ? 1 1 1 3. 答案: 3 [谨记通法] 1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函 数的步骤 也就是:“负化正,大化小,化到锐角就好了.” 2.利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形; (2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能 简单,能求值的要求出值,如“题组练透”第 4 题. 考点二 同角三角函数的基本关系 [典例引领] sin α+3cos α 1.已知 =5,则sin2α-sin αcos α的值为( 3cos α-sin α 2 1 2 B.- C. D. 5 5 5 tan α+3 解析:依题意得: =5,∴tan α=2. 3-tan α 2 sin α-sin αcos α 2 ∴sin α-sin αcos α= sin2α+cos2α ) 1 A.- 5 tan2α-tan α 22-2 2 = = 2 = . tan2α+1 2 +1 5 答案:D 1 2.若 α 是三角形的内角,且 tan α=- ,则 sin α+cos α 3 的值为________. 1 1 解析:由 tan α=- ,得 sin α=- cos α, 3 3 将其代入 sin2α+cos2α=1, 10 2 9 2 得 cos α=1,∴cos α= ,易知 cos α<0, 9 10 3 10 10 10 ∴cos α=- ,sin α= ,故 sin α+cos α=- . 10 10 5 10 答案:- 5 [由题悟法] 同角三角函数基本关系式的应用技巧 技巧 切弦 互化 解读 sin θ 主要利用公式 tan θ= 化 cos θ 成正弦、余弦,或者利用公式 s