当前位置:首页 >> 初中教育 >>

高中数学课件 选修2-2:第三章 数系的扩充与复数的引入 2.1《复数代数形式的加减法运算及其几何意义》


3.2.1 复数代数形式的加 减法运算及其几何意义

内容:
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 重点:复数的代数形式的加、减运算及其几何意义; 难点:加、减运算的几何意义; 应用: 1、复数代数形式的加、减运算

2、复数几何意义的运用
3、复数的综合应用

本课主要学习复数代数形式的加减法运算及其几何意义。以复 习复数的代数形式和几何意义引入新课,接着讲述复数的加法法 则、复数的加法运算率及复数的几何意义,复数的减法法则及复 数减法的几何意义。本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题 入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性.在复数加法 的运算律及几何意义的处理上 ,都是让学生自主探究,使学生在参 与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程 理念.对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法 ,让学生 自主探究,自己总结,且法则可以用已学的知识推导,使学生体会其 中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题 的能力.然后,通过三个例题和变式训练巩固复数代数形式的加 减法运算及其几何意义的应用。 在讲述复数代数形式的加减法运算及其几何意义的应用时, 采用例题与变式结合的方法。例题和练习的设计遵循由浅入深,循 序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次 的学生.采用一讲一练针对性讲解的方式,重点理解复数代数形 式的加减法运算及其几何意义的应用。

1.复数的代数形式: 通常用字母 z 表示,即

z ? a ? bi
实部 虚部

其中

i 称为虚数单位.
R? C ?

讨 论?

2.复数集C和实数集R之间有什么关系?

?实数b ? 0 ? 复数a+bi ? ?纯虚数a ? 0,b ? 0 ?虚数b ? 0?非纯虚数a ? 0,b ? 0 ? ?

3.复数的几何意义(一)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应

??? ? 平面向量 OZ
y

z=a+bi
b

Z(a,b)
a

o

x
小结

复数的绝对值 (复数的模) 的几何意义(二) ??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,即复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离.
y z =a +b i Z (a,b)
O

x

??? ? | z | = | OZ | ? a2 ? b2
小结

复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下 设 z1 ? a ? bi,z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 是任意两个复 数,那么 z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 提出问题: (1)它的实质是什么 两个复数的和是个什么数 ,它的值唯一确 (3) ? 类似于实数的哪种 (2)当b=0, d ? 0 时,与实数加法法则一致吗? 定吗? ? 运算方法 一致
实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类 仍然是个复数,且是一个确定的复数; 似于实数运算中的合并同类项.

2.复数的加法运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加

法满足这些运算律吗?
对任意的z1 , z2 , z3 ? C,有

z1 ? z2 ? z2 ? z (交换律) 1
( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3(结合律) )

3.复数加法运算的几何意义?

z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ
符合向量加法 的平行四边形 法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

复数的减法法则 类比复数的加法法则,你能试着推导复数减 法法则吗?
1.复数的减法法则 我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足 (c ? di) ? ( x ? yi) ? a ? bi

的复数x ? yi叫做复数a ? bi减去c ? di的差, 记作(a ? bi) ? (c ? di).根据复数相等的定义有
(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是 一个确定的复数.

2.复数减法运算的几何意义? 复数z2-z1
符合向量 减法的三 角形法则.

向量Z1Z2
Z2(c,d)

y

Z1(a,b)

o
|z1-z2|表示什么?

x

表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

1.复数的加减法法则:

设z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R)是任意 两个复数,规定z1 ? z2 ? (a ? c) ? (b ? d )i
2.复数加、减法的几何意义: (1)复数的加法按照向量加法的平行四边形法则; (2)复数的减法按照向量减法的三角形法则.

3.几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数 运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚 部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减. (4)复平面内的两点间距离公式: d ? z1.—z2 两个复数差的模的几何意义是:两个复数所对应的 两个点之间的距离.

例1.计算
(1) ( ?2 ? 3i) ? (5 ? i) (3) (2 ? 3i) ? (5 ? 2i) (2) ( ?1 ? 2i) ? (1 ? 2i) (4) (5 ? 6i) ? ( ?2 ? i) ? (3 ? 4i)

解: (1).(?2 ? 3i) ? (5 ? i) ? (?2 ? 5) ? (3 ? 1)i ? 3 ? 2i

(2).(?1 ? 2i) ? (1 ? 2i) ? (?1 ? 1) ? ( 2 ? 2)i ? 0 (3).(2 ? 3i) ? (5 ? 2i) ? (2 ? 5) ? (?3 ? 2)i ? ?3 ? 5i (4).(5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i) ? (5 ? 2 ? 3) ? (?6 ? 1 ? 4)i ? ?11i

计算(1 ? 2i) ? (?2 ? 3i) ? (3 ? 4i) ? (?4 ? 5)i ? ? ?(1999 ? 2000i) ? (?2000 ? 2001i)
?? 1000 ? 1000i

例2.

( 1) 设 分别与复数 z1 ?5 ? 3i, z2 ? 1 ? 4i 对应, ???? ? ???? ? 计算 z1 ? z2 ,并在复平面内作出 OZ1 ? OZ2 ???? ? ???? ? ?1 ? 3i, z ? 2 ? i (2)设 OZ1, OZ2 分别与复数 z1 ???? 对应 , 2 ? ???? ? 计算 z1 +z2 ,并在复平面内作出OZ1 ? OZ2

???? ? ???? ? OZ1, OZ2

解: (1) z1 ? z2 =(5+3i) ? (1 ? 4i) ? (5 ?1) ? (3 ? 4)i ? 4 ? i
(2) z1 +z2 ? (1 ? 3i) ? (2 ? i) ? (1 ? 2) ? (3 ?1)i ? 3 ? 4i y
y

Z2 Z1

Z Z1

Z2

O

x

O

x

已知复数 z1 ? a ? 3 ? (a ? 5)i, z2 ? a ?1? (a ? 2a ?1)i(a ? R ,) ???? ? ???? ? ????? 分别对应向量 OZ1, OZ2(O为坐标原点),若向量Z1Z 2 对应的复数为纯虚数,求 a的值. a ? ?1
2 2

例3已知关于 x的方程:x2 ? (6 ? i) x ? 9 ? ai ? 0(a ? R) 有实数根 b. (1)求实数 a , b 的值; (2)若复数 z满足 z ? a ? bi ? 2 z ? 0, 求 z 的最小值. 2 解 (1)由题意,得b ? (6 ? i)b ? 9 ? ai ? 0,
即(b 2 ? 6b ? 9) ? (a ? b)i ? 0, ?b 2 ? 6b ? 9 ? 0 由复数相等的定义得 ? ?a ? b ? 0 解得a ? b ? 3.

(2)设z ? x ? yi( x, y ? R ) 由 z ? a ? bi ? 2 z ? 0,得 ( x ? 3) ? ( y ? 3)i ? 2 z 即( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 4( x ? y ) ,
2 2 2

整理得( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 8
2 2

即复数z在复平面内所对应的点Z ( x, y ) 的轨迹是以C( ? 1,1)为圆心,半径长为2 2的圆.
又 z 的几何意义是Z(x, y)与原点O(0,0)的距离.

如图,由平面几何知识知,
z min ? CA ? CO ? 2 2 ? 2 ? 2

复数z的模为1,求 z ?1 ? i 的最大值和最小值

2+1, 2 ?1

(一)知识 1、复数代数形式的加法、减法的运算法则; 2、复数加法、减法的几何意义.
:

3、几点说明: (1)复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数 运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来; (2)复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚 部与虚部分别相加减; (3)多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、 虚部与虚部分别相加减. (4)复平面内的两点间距离公式: d ? z1 —z2 .

必做题: 1 .计算: (1)(2 ? 4i) ? (3 ? 4i) ; (1)5
(2)(?3 ? 4i) ? (2 ? i) ? (1 ? 5i) .?2 ? 2i

??? ? ??? ? 2 . 复数 6+5i 与 ?3+4i 对应的向量分别是 OA 与 OB ,
??? ? ??? ? 其中 O 是原点??? ,求向量 AB , BA 对应的复数,并指出 ?

??? ? AB= ? 9 ? i第三象限 BA=9 ? i,第一象限 其对应的复数位于第几象限.
3 .复平面上三点 A, B, C 分别对应复数 1, 2i,5 ? 2i ,则

由 A, B, C 所构成的三角形△ ABC 是 直角 三角形.

4 .求复数 2 ? i , 3 ? i 所对应的两点之间的距离. 5 5 .已知复数 z 满足 z+ z ? 2 ? 8i ,求复数 z . z ? ?15 ? 8i

6 .已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O, A, C 对应的复数 分别为 0,3 ? 2i, ?2 ? 4i ,试求: ???? ??? ? (2) CA 表示的复数; (1) AO 表示的复数; (3) B 点对 5 ? 2i 应的复数. ?3 ? 2i 1 ? 6i

选做题:
1 .在复平面内,求满足方程 z+i ? z ? i ? 4 的复数 z 所对

应的点的轨迹.
2 .复数 z1 , z 2 满足 z1 ? z2 ? 1 , z1 +z 2 ? 2 ,求 z1 ? z2 .

选做题答案
1 .提示:方程可以变形为 z ? ( ? i) ? z ? i ? 4 |,表示到两

个定点 (0, ? 1) 和 (0,1) 距离之和等于 4 的点的轨迹,故满足 方程的动点轨迹是椭圆. 2 .提示:法一:数形结合思想,构造边长为 1 的正方形,则其中一条
对角线的长度为 2 ,则所求的另一条对角线的长度也等于 2 .
? ? 法 二 :( 向 量 法 ) 设 z1 , z 2 所 对 应 的 向 量 分 别 是 a , b , 将

z1 +z 2 ?

?? 2 两 边 平 方 得 a?b ? 0 , 则 (z1 ? z2 )2 ? 2 , 所 以

z1 ? z 2 ? 2 .


赞助商链接
相关文章:
数系的扩充
数系的扩充江苏省新海高级中学 教学目标: 知识与技能: (1)了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类; (2)理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示...
更多相关标签: