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北京市海淀区2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题(扫描版)

参考答案及评分标准
一、 选择题. 题号 答案 二、填空题. 9. 1 B 2 D 3 A 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D

3 4

10. ?2, ? 13. 4,

1 3

11. 1, ? 45

527 16 1 1 1 2 3 0 1 (II)(0, ) ( , ) ( , ) 14. (I)或 4 3 2 3 4
12. ①②③ 说明:12 题如果填写两个选项给 2 分,只填一个选项不给分; 其余两空题目都是每个空 2 分. 三、解答题 15.解: ( I ) f ( ) ? (

? 4

2 2 2 ? ? ) ? cos ? 2 2 2 2

…………………….2 分.

( II ) 因为 f ( x) ? sin2 x ? 2sin x cos x ? cos2 x ? cos2 x 所以 f ( x) ? 1 ? sin 2x ? cos2 x 所以 f ( x ) ? …………………….4 分 …………………….6 分

π 2sin(2x ? ) ? 1 4
2π |? | ?

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T = (Ⅲ)令 2kπ ?

2π ? π …………………….8 分 2

π π π ? 2x ? ? 2kπ ? 2 4 2 3π π ? x ? kπ ? 所以 kπ ? 8 8 (kπ ? 所以 f ( x ) 的单调递增区间为 3π π , kπ ? ),k ? Z 8 8
…………………….10 分

16.解: ( I )解法一:设 {an } 的公差为 d , 因为 an ? an ?1 ? n ?

1 , 2

1 ? a1 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 所以有 ? , ? a 2 ? a3 ? 2 ? 1 ? ? 2
两式相减得到, 2d ? 1 ,即 d ? 代入得到 a1 ? 所以 an ?

1 2

………………….2 分 ………………….4 分 ………………….6 分

1 2

1 1 n +(n ? 1) ? ? 2 2 2

解法二:设 {an } 的公差为 d , 则 an ? a1 +(n ? 1) ? d ,

an?1 ? a1 +n ? d ,

………………….2 分

(2n ? 1) ? d ? 2dn ? 2a1 ? d 所以 an ? an?1 ? 2a1 ?
所以有 2dn ? 2a1 ? d =n ?

1 对 n ? N* 成立, 2

? 1 d= ? 2d =1 ? ? 2 ? 所以有 ? 1 ,解得 ? 2 a ? d = 1 ? a1 = 1 ? ? 2 ? ? 2

………………….4 分

1 1 n +(n ? 1) ? ? 2 2 2 ( a ? an ) n, (II) 因为 S n ? 1 2 ( n ? 1)n 所以 Sn ? 4
所以 an ? (Ⅲ)因为 a1, am , a3m 成等比数列,所以 (am ) =a1a3m 即
2

………………….6 分

………………….9 分 ………………….10 分

m 2 1 3m ? ? 4 2 2

………………….11 分

解得 m ? 3, m ? 0 (舍掉) 所以 m ? 3 ………………….12 分

17. 解: ( I ) 由正弦定理

a b ? 得到 a sin B ? b sin A sin A sin B

………………….2 分 ………………….3 分 ………………….4 分

所以有 a sin B ? a cos B 所以 sin B ? cos B ,即 tan B ? 1

(0,?) , 所以 ?B ? 因为 B ?
(II)在 ?ACE 中,根据余弦定理

π 4

………………….5 分

CE 2 =AC 2 ? AE 2 ? 2 AC ? AEcos?CAE
得到 CE =(3 2) ? 4 ? 2 ? 3 2 ? 4 ? cos
2 2 2

………………….7 分

π 4
………………….8 分 ………………….9 分

化简得 CE = 10 在 ?ACE 中,

sin ?ACE sin ?CAE ? AE CE

化简得到 sin ?ACE =

2 5 5

………………….10 分

因为 ?ACE ? ?CAP ?

π 2 5 ,所以 cos ?CAP ? sin ?ACE ? 2 5

所以在 Rt?ACP 中, cos ?CAP ?

AC 2 5 = AP 5
……………….12 分

代入得到 AP ?

3 10 2

18 解: (I) a3 可能取的值 (II) 存在

3, ? 3,1, ?1

………………….2 分 ………………….3 分

1, ? 2 (或者取 1,2, ? 3, ?2, ? 1, 0) 这个数列的前 6 项可以为 1, ? 2,1, ?2,
………………….5 分 (Ⅲ) | a1 ? a2 ? ... ? a10 | 的最小值为 1 解法一:因为 a1 ? 1,| an?1 |?| an ? 1| , 所以 an ? Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 因此 a1, a2 ,..., a10 中一定有 5 个奇数,5 个偶数, 所以 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | 一定是奇数,所以 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |? 1 ………………….6 分

1, ? 2, 1, ? 2, 1, 2 (或者为 令这 10 项分别为 1, ? 2,1, ?2, 1,2, ?3, ?2, ? 1, 0, 1,, 2 3, ? 4 ,或者为 1,, 2 3, ? 4, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2)

则有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | =1 解法二:因为 a1 ? 1,| an?1 |?| an ? 1| , 所以 an ? Z ,且所有的奇数项都为奇数,偶数项为偶数 又因为 (an?1 ) ? (an ? 1)
2 2 2 2

………………….10 分

所以 (an?1 ) ? (an ) ? 1 ? 2an 所以有 a11 ? a10 ? 1 ? 2a10
2 2

a102 ? a92 ? 1 ? 2a9
......

a32 ? a22 ? 1 ? 2a2 a22 ? a12 ? 1 ? 2a1
把上面的 10 个式子相加,得到 a11 ? a1 ? 10 ? 2(a1 ? a2 ? ... ? a10 )
2 2

所以有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |?

1 | a112 ? 11| 2

因为离 11 最近的奇数的平方是 9,

1 | 9 ? 11|=1 2 1, ? 2, 1, ? 2, 1, 2 (或者为 令这 10 项分别为 1, ? 2,1, ?2, 1,2, ?3, ?2, ? 1, 0, 1,, 2 3, ? 4 ,或者为 1,, 2 3, ? 4, ?3, ?2, ? 1, 0, 1, 2)
所以有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 |? 则有 | a1 ? a2 ? ... ? a10 | =1 说明:解答题有其它正确解法的请酌情给分. ………………….10 分


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