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重庆南开中学高2014级10月月考数学试题及解答(理科)


重庆南开中学高 2014 级高三 10 月月考 数 学 试 题(理)
第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.

43 ?) ?( 6 1 A. ? 2 cos(?

) B.

1 2

C. ?

3 2

D. )

3 2

2. 集合 U ? {x | y ? lg x} , P ? { y | y ? A. (??, )

1 2

B. (0, )

1 2

1 , x ? 2} ,则 CU P ? ( x 1 C. ( , ??) 2
) C.充要条件 )

D. [ , ??)

1 2

3. “ ( ) ? 4 ”是“ lg( x ? 2) ? 1 ”的(
x

1 2

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

2 4. 已知 tan ? ? 3 ,则 3sin ? ? 2sin ? ? cos ? ? (

A.

21 10

B.

24 10
3m ?7

C.

25 10

D.

26 10


5. 已知 m ? N ,函数 f ( x) ? x A. 0 6. 已知 sin ? ? cos ? ? A. B. 1

关于 y 轴对称且在 (0, ??) 上单调递减,则 m ? ( C. 2 ) D. D. 3

16 81

1 (tan ? ? cot ? ) ? (1 ? tan ? ) ?( ,则 3 sin ? 81 16 B. C. 16 27


27 16

7. 若 a ? log5 4 , b ? (log5 3)2 , c ? log4 5 ,则( A. a ? c ? b B. b ? c ? a

C. a ? b ? c

D. b ? a ? c

8. 如题(8)图,在第一象限由直线 y ? 2 x , y ? 曲线 y ?

1 x和 2

1 所围图形的面积是( x
B. 2 ln 2 D. 1 ? ln 2



A. ln 2 C. 1 ? ln 2

共4页

第1 页

9. 若关于 x 的方程 | a x ?1| ?2 x ? 0 有两个不相等的实数解,则实数 a 的取值范围是(



1 e 1 2 C. (0, 2 ) ? (1, e ) e
A. (0, ) ? (1, e)

1 ) ? (1, 2e) 2e D. (1, e2 )
B. (0,

10. 已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,若 f ( x ) 满足: ( x ? 1)[ f ?( x) ? f ( x)] ? 0 ,

f (2 ? x) ? f ( x)e2?2 x ,则下列判断一定正确的是(
A. f (1) ? f (0) B. f (2) ? ef (0)

) D. f (4) ? e4 f (0)

C. f (3) ? e3 f (0)

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡 相应位置上. 11. 函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 2 x ? 3) 的单调递减区间为________________.
2

12. 函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域是________________. 13. 若非空 集合 A ? {x | .. ________________. 考生注意:14、15、16 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14. 如题(14)图,? O 是 ?ABC 的外接圆, 过点 C 作 ? O 的切线 交 AB 的延长线于点 D , CD ? 2 7 , AB ? BC ? 3 ,则
B O C A

9 ? 5x2 9 ? x2 ? 2 x

? m, x ? Z} 至多含有 4 个元素,则实数 m 的取值范围是

AC ? ________________. 15. 在直角坐标系中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴, D
建立极坐标系.若曲线 ? ? 1 和 ? ? 2 cos(? ? 两点,则 | AB |? ________________.

?

题(14)图

3

) 交于 A, B

16. 若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|≤ 3 成立,则实数 a 的取值范围是________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x ? 2 .
2 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [

? 3?
4 , 4

] 时,求 f ( x) 的值域.

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第2 页

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x . (Ⅰ)判断 f ( x ) 的奇偶性并证明; (Ⅱ)若 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

7? 3? ) ? cos( x ? ) . 4 4

(Ⅰ)求 f ( x ) 的对称轴方程; (Ⅱ)已知 sin(? ? ? ) ? ?

3 ? 4 ? 3? ) ,求 f (? ) 的值. , cos( ? ? ) ? ? , ? , ? ? ( 5 4 5 2 4

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x (a ? R) . 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (0, e) 内有极小值

1 ,求 a 的值. 2

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第3 页

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,焦点到其相应准线的距离是 3 . 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

) ( Ⅱ ) 是 否 存 在 过 点 A( 4 , 0 的 直 线 l 与 椭 圆 C 交 于 不 同 的 两 点 M , N , 使 得
| AM | ? | AN |? 81 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 7

22. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? e x , g ( x) ?

x2 ? 4 ? x . 2

(Ⅰ)若关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? m ? f ( x) ? 4 ? 0 有两个不相等的正根,求实数 m 的取值范 围; (Ⅱ)直线 y ? t (t ? 1) 与 y ? f ( x), x ? 0, y ? g ( x) 的图象分别交于 M , S , N 三点.求证:不

存在两个不同的 t 使得

| SM | 的值相等. | SN |

重庆南开中学高 2014 级高三 10 月月考 数学试题答案(理)
一、选择题 1~5 CDBAB 二、填空题 11. (3, ??) 三、解答题 17.解: (I) f ( x) ? 1 ? 2sin x cos x ? 2 cos x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ?
2

6~10 DDACC 12. (??,1] 13. [2 2 ? 2, 4 ? 5)

14.

3 7 2

15.

3

16. [?2, 4]

2 sin(2 x ? ) 4

?

共4页

第4 页



的单调增区间为

(II)



∴当

时,

的最大值为 1,最小值为 ? 2

18.解: (Ⅰ) f ( x ) 定义域为 R ,当 x 递增时, 2 递增, ?
x

1 递增,∴ f ( x ) 在 R 上递增; 2x

∵ f (? x) ? 2? x ? 2x ? ? f ( x) ,∴ f ( x ) 是奇函数 (Ⅱ)∵ f ( x ) 是奇函数,∴原不等式等价于 f (1 ? m) ? ? f (1 ? m2 ) ? f (m2 ? 1) ∵ f ( x ) 在 R 上递增,∴ 1 ? m ? m ? 1 ,解得 m? (??, ?2) ? (1, ??)
2

19.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x cos

7? 7? 3? 3? ? cos x sin ? cos x cos ? sin x sin 4 4 4 4

? 2 sin x ? 2 cos x ? 2sin( x ? ) 4 ? ? 3? 令 x ? ? k? ? ,解得 f ( x ) 的对称轴是 x ? k? ? ,k ?Z 4 2 4
(Ⅱ) f (? ) ? 2sin(? ?

?

?

? 2sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? 2 cos(? ? ? ) sin( ? ? ) ????(*) 4 4 ? 3? 3? ? 3? ) , ? ? ? ( ,? ) ∵ ?? ? ? ≤ ∴ ? ? ? ? (? , 2 4 2 4 4 4 ? 3 ∴ cos(? ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? 代入(*)式得 5 4 5 48 ∴ f (? ) ? 25

?

) ? 2sin[(? ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4

?

?

20.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) 在 (2, ??) 上单调递增,∴ f ?( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? a ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立 x

共4页

第5 页

即 x2 ? (a ? 1) x ? a ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立,即 (1 ? x)a ? x2 ? x ≥ 0 在 (2, ??) 恒成立 即 (1 ? x)a ≥ x ? x2 在 (2, ??) 恒成立,即 a ≤ x 在 (2, ??) 恒成立 ∴实数 a 的取值范围是 (??, 2] (Ⅱ) f ( x ) 定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)( x ? 1) ? x x

①当 a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 ,结合 f ( x ) 定义域解得 0 ? x ? 1 或 x ? a ∴ f ( x ) 在 (0,1) 和 (a, ??) 上单调递增,在 (1, a ) 上单调递减

1 2 a ? a ? a ln a 2 1 1 2 1 若 f ( x ) 在 (0, e) 内有极小值 ,则 1 ? a ? e ,但此时 ? a ? a ? a ln a ? 0 ? 矛盾 2 2 2
此时 f ( x) 极小值 ? f (a ) ? ? ②当 a ? 1 时,此时 f ?( x ) 恒大于等于 0 ,不可能有极小值 ③当 a ? 1 时,不论 a 是否大于 0 , f ( x ) 的极小值只能是 f (1) ? ?

1 ?a 2

1 1 ? a ? ,即 a ? ?1 ,满足 a ? 1 2 2 综上所述, a ? ?1
令?

c 1 a2 ? c ? 3 联立 a 2 ? c2 ? b2 解得 a ? 2 , c ? 1 , b2 ? 3 21.解: (Ⅰ)由题得 ? , a 2 c
∴椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)易知直线 m 斜率存在,设直线 m : y ? k ( x ? 4) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) 与椭圆方程联立得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ?12 ? 0
1 1 ?k? 2 2

∴ ? ? (32k 2 )2 ? 4(3 ? 4k 2 )(64k 2 ?12) ? 0 ,解得 ?

x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 x1 x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ,

2 2 又 | AM | ? | AN |? 1 ? k | x1 ? 4 | ? 1 ? k | x2 ? 4 | ? (k 2 ? 1)(4 ? x1 )(4 ? x2 )

? (k 2 ?1)( x1x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16) ? (k 2 ? 1)(

64k 2 ? 12 32k 2 ? 4? ? 16) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

共4页

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? (k 2 ? 1)
∴ (k 2 ? 1)

36 . 3 ? 4k 2

1 1 36 81 2 ? ,解得 k ? ? ,满足 ? ? k ? 2 2 2 3 ? 4k 7 4 2 ∴直线 m 的方程为 y ? ? ( x ? 4) 4 x 22.解: (Ⅰ)∵ (ex )2 ? m ? ex ? 4 ? 0 有两个不相等的正根,令 t ? e
∴关于 t 的方程 t ? m ? t ? 4 ? 0 有两个大于 1 且不相等的根
2

? ?1 ? m ? 4 ? 0 ? 2 ∴ ? ? ? m ? 16 ? 0 解得 m ? (?5, ?4) ? m ?? ? 1 ? 2
(Ⅱ)联立 y ? t 和 f ( x) ? e x ,解得 x ? ln t ,∴ | SM |? ln t 联立 y ? t 和 g ( x) ?

1? t2 t 2 ?1 x2 ? 4 ? x ,解得 x ? ,∴ | SN |? t t 2



t ln t | SM | t ln t ? 2 ,令 h(t ) ? 2 t ?1 | SN | t ? 1

不存在两个不同的 t (t ? 1) 使得

| SM | 的值相等 ? 不存在两个不同的 t (t ? 1) 使 h(t ) 的值相等 | SN |

h?(t ) ?

t 2 ? t 2 ln t ? ln t ? 1 (t 2 ? 1)2
2 2

令 u(t ) ? t ? t ln t ? ln t ?1 ∵当 t ? 1 时, u ??(t ) ?

∴ u ?(t ) ? t ? 2t ln t ? , u ??(t ) ?

1 t

1 ? 1 ? 2 ln t t2

1 ? 1 ? 2 ln t ? 0 t2

∴ u?(t ) 在 (1, ??) 上单调递减

∴当 t ? 1 时, u?(t ) ? u?(1) ? 0 ∴当 t ? 1 时, h?(t ) ?

∴ u(t ) 在 (1, ??) 上单调递减 ∴当 t ? 1 时, u (t ) ? u (1) ? 0

u (t ) ? 0 ∴ h(t ) 在 (1, ??) 上单调递减 (t ? 1) 2
2

∴不存在两个不同的 t (t ? 1) 使 h(t ) 的函数值相等,结论得证

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