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高中数学第二章概率2.2条件概率与事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布课堂探究教案新人教B版选修2

2.2.3 独立重复试验与二项分布 课堂探究 探究一 独立重复试验的概率 解决独立重复试验的概率求解问题时, 首先要判断涉及的试验是否为独立重复试验, 在 确定是独立重复试验后再利用公式 Pn(k)=Cnp (1-p) k k n-k (其中 k=0,1,2,…,n)来计算. 【典型例题 1】 某单位有 6 个员工借助互联网开展工作,每个员工上网的概率都是 0.5(每个员工上网与否相互独立).求: (1)至少 3 个人同时上网的概率; (2)至少几个人同时上网的概率会小于 0.3? 思路分析:根据题目可获取以下主要信息:(1)单位上网员工的人数;(2)员工上网的概 率相同且相互独立. 解答本题可先确定 6 个员工上网开展工作是相互独立试验, 再根据题目 的要求用 n 次独立重复试验的概率公式求解. 解:该单位 6 个员工每个人上网的概率都为 0.5,则其对立事件每个人不上网的概率也 是 0.5.在 6 个人需上网的条件下,“r 个人同时上网”这个事件(记为 Ar)的概率为 P(Ar)= C6×0.5 ×(1-0.5) r r 6-r 1 r = ×C6(r=0,1,…,6). 64 1 3 4 (1)(方法一)所求概率为 P(A3∪A4∪A5∪A6)=P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6)= ×(C6+C6 64 1 21 5 6 +C6+C6)= ×(20+15+6+1)= . 64 32 (方法二)所求概率为 1-P(A0∪A1∪A2)=1- 21 . 32 (2)设“至少 r 个人同时上网”的事件为 Br, 1 1 0 1 2 ×(C6+C6+C6)=1- ×(1+6+15)= 64 64 P(B6)=P(A6)= <0.3, 6 P(B5)=P(A5∪A6)=P(A5)+P(A6)= ×(C5 <0.3, 6+C6)= 1 64 1 64 7 64 5 6 P(B4)=P(A4∪A5∪A6)= ×(C4 >0.3.所以至少 5 个人同时上网的概率小 6+C6+C6)= 1 64 11 32 于 0.3. 探究二 二项分布的分布列 二项分布的解题步骤 (1)判断随机变量 X 是否服从二项分布. 看两点: ①是否为 n 次独立重复试验; ②随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事 1 件发生的次数. (2)建立二项分布模型. (3)确定 X 的取值并求出相应的概率. (4)写出分布列. 【典型例题 2】 为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市 场前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮 1 1 检测不合格的概率为 ,第二轮检测不合格的概率为 ,两轮检测是否合格相互之间没有影 6 10 响. (1)求该产品不能销售的概率; (2)如果产品可以销售,则每件产品可获利 40 元;如果产品不能销售,则每件产品亏损 80 元(即获利-80 元).已知一箱中有 4 件产品,记一箱产品获利 X 元,求 X 的分布列. 思路分析: 要求随机变量的分布列, 首先根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值, 然后计算各取值对应的概率. 解:(1)记“该产品不能销售”为事件 A,则 A 表示“该产品能够销售”, 1? 1 ? 1?? 所以 P(A)=1-P( A )=1-?1- ??1- ?= . ? 6?? 10? 4 (2)由题意知,X 的可能取值为-320,-200,-80,40,160,其概率分别为 P(X=-320)=? ?4= 4 ?1? ? ? 1 , 256 3 4 3 64 3 P(X=-200)=C1 , 4×? ? × = 4 ?1? ? ? 2 2 P(X=-80)=C2 4×? ? ×? ? = 4 4 ?1? ? ? ?3? ? ? 27 , 128 3 P(X=40)=C3 , 4× ×? ? = 4 1 ?3? 4 ? ? 27 64 P(X=160)=? ?4= 4 所以 X 的分布列为 ?3? ? ? 81 . 256 X P 探究三 综合应用 -320 1 256 -200 3 64 -80 27 128 40 27 64 160 81 256 二项分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布, 它的应用十分广泛, 利用二项分布 的模型可以快速地写出随机变量的分布列, 从而简化了求随机变量取每一个具体值的概率的 过程,因此,我们应熟练掌握二项分布.利用二项分布解决实际问题的关键在于在实际问题 2 中建立二项分布的模型. 1 【典型例题 3】 某人抛掷一枚硬币,出现正、反面的概率都是 ,构造数列{an},使 an 2 ? ?1,当第n次出现正面时, =? ?-1,当第n次出现反面时. ? 记 Sn=a1+a2+…+an(n∈N+). (1)求 S8=2 时的概率; (2)求 S2≠0,且 S8=2 时的概率. 思路分析:弄清“S8=2”及“S2≠0,且 S8=2”对应的事件,再根据相应公式求解. 5?1?5?1?3 3?1? 解:(1)S8=2,需 8 次中有 5 次正面 3 次反面,设其概率为 P1,则 P1=C8? ? ? ? =C8? ? ?2? ?2? ?2? 8 8×7×6 ?1?8 7 = ×? ? = . 3×2 ?2? 32 (2)S2≠0 即前两次同时出现正面或同时出现反面. ①当前两次同时出现正面时,S2=2,要使 S8=2,需后 6 次中出现 3 次正面 3 次反面. 设其概率为 P2, 1 1 3 ?1?3?1?3 ?1?8 6×5×4 5 则 P2= × ×C6×? ? ? ? =? ? × = . 2 2 3×2 64 ?2? ?2? ?2? ②当前两次同时出现反面时, S2=-2, 要使 S8=2, 需后 6 次中出现 5 次正面 1 次反面. 设 其概率为 P3, 1 1 5 ?1?5?1? ?1?8 3

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