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高考数学试题分类汇编 专题排列组合、二项式定理 理

2011 年高考试题数学(理科)排列组合、二项式定理
一、选择题: 1.(2011 年高考全国卷理科 7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种

(A)-40

(B)-20

(C)20

(D)40 的通项

解 析 1. 令 x=1 得 a=1. 故 原 式 =

1 1 1 1 ( x ? )(2 x ? )5 。 ( x ? )(2 x ? )5 x x x x

Tr?1 ? C5r (2 x)5?2r (? x ?1 )r ? C5r (?1)r 25?r x5?2r ,由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,由
5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40 ,选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘, 若第 1 个括号提出 x,从余下的 5 个括

1 1 1 ;若第 1 个括号提出 ,从余下的括号中选 2 个提出 , x x x 1 1 1 2 2 3 3 3 ? C52 ( ? ) 2 ? C3 (2 X )3 =-40+80=40 选 3 个提出 x.故常数项= X ? C5 (2 X ) ? C3 ( ? ) ? X X X
号中选 2 个提出 x,选 3 个提出

? x 2 ? 2 3.(2011 年高考天津卷理科 5)在 ? ? 2 ? x? ? 的二项展开式中, x 的系数为( ? ? 15 15 3 3 A. ? B. C. ? D. 4 8 8 4
【答案】C
r 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ?(

6



x 6? r 2 6 ) ? (? ) ,所以容易得 C 正确. 2 x
x ?x 6

4.(2011 年高考陕西卷理科 4) (4 ? 2 ) ( x ? R) 的展开式中的常数项是

(A) ?20

(B) ?15

(C) 15

(D) 20

【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项,再进行整理化简,由 x 的指数为 0,确定常 数项是第几项,最后计算出常数项. 【答案】C
r r r 【解】 Tr ?1 ? C6 (4x )6?r (2? x )r ? C6 ? 22 x(6?r ) ? 2? xr ? C6 ? 212 x?3xr , 4 令 12 x ? 3xr ? 0 ,则 r ? 4 ,所以 T5 ? C6 ? 15 ,故选 C.
5 6 5.(2011 年高考重庆卷理科 4) ?1 ? 3 x ? (其中 n ? N 且 a ? 6 )的展开式中 x 与 x 的系数
n

相等,则 n ? (A)6 (C) 8 答案:B
n

(B)7 (D)9
r

r 5 6 5 5 6 6 解析: ?1 ? 3 x ? 的通项为 Tr ?1 ? Cn ? 3 x ? ,故 x 与 x 的系数分别为 Cn 3 和 Cn 3 ,令他们

相等,得:

n! n! 35 ? 36 ,解得 n ? 7 5!? n ? 5?! 6!? n ? 6 ?!

12.在集合 ?1,2,3,4,5? 中任取一个偶数 a 和一个奇数 b 构成以原点为起点的向量 ? ? (a, b) . 从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行 四边形的个数为 n ,其中面积不超过 ...4 的平行四边形的个数为 m ,则 (A)

m ? n

4 15

(B)

1 3

(C)

2 5

(D)

2 3

答案:D
2 解析:基本事件: 从(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3)选取2个,n ? C6 ? 3 ? 5 ? 15 .其

中面积为 2 的平行四边形的个数 (2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) ;其中面积为 4 的平行四 边形的为 (2,3)(2,5);(2,1)(2,3) ; m=3+2=5 故
3

m 5 1 ? ? . n 15 3
2

7.(2011 年高考福建卷理科 6)(1+2x) 的展开式中,x 的系数等于 A.80 C.20 【答案】B 二、填空题: 1. (2011 年高考山东卷理科 14)若 ( x ? B.40 D.10

a x
2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值

为 【答案】4

.

【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ? x
r

6? r

? (?

a x
2

2 )r ,所以 r=2, 常数项为 a ? C6 ? 60,解得 a ? 4 .

2. (2011 年高考浙江卷理科 13)(13)设二项式 ( x ? A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值是 【答案】2
k

a 6 ) (a ? 0) 的展开式中 x 3 的系数为 x


3

【解析】由题意得 Tk ?1 ? C x
k 6

6? k

6? k ? a ? k k 2 ? ? , ?? ? ? ?? a ? C 6 x x? ?

2 4 ∴ A ? ?? a? C6 , B ? ?? a? C6 ,又∵ B ? 4 A , 2 4
2 4 2 ∴ ?? a ? C6 ,解之得 a ? 4 ,又∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 . ? 4?? a? C6

4

2

3. (2011 年 高 考 安 徽 卷 理 科 12) ( 12 ) 设 ( x ??)?? ? a? ? a?x ? a? x? ? L a??x?? , 则

a?? ? a?? ?

.

【命题意图】本题考查二项展开式的通项、组合数公式及运算能力,是容易题目.
r 21?r 【解析】由二项展开式的通项知 Tr ?1 = C21 x (?1)r , 11 10 11 10 10 10 ∴ a10 ? a11 = C21 = ?C21 =0. (?1)11 ? C21 (?1)10 = ?C21 ? C21 ? C21
7 x 4 的系数是______ (用数字作答). 4. (2011 年高考广东卷理科 10) x( x ? ) 的展开式中,

2 x

【答案】84 5. (2011 年高考湖北卷理科 11) ( x ? 果用数值表示) 答案:17
r ? x18? r ? (? 解析:由 Tr ?1 ? C18 3 18 ? r 1 r )r ? (? )r ? C18 ?x 2 3 3 x

1 18 ) 的展开式中含 x15 的项的系数为 3 x

(结

1

3 令 18 ? r ? 15 ,解得 r=2,故其系 2

1 2 数为 (? )2 ? C18 ? 17. 3
6. (2011 年高考湖北卷理科 15)给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时, 在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

n=1 n=2

n=3

n=4

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有 黑色正方形相邻的着色方案共有 【答案】 21,43 种.(结果用数值表示)

种,至少有两个

解析:设 n 个正方形时黑色正方形互不相邻 的着色方案数为 an ,由图可知, ....

a1 ? 2 , a2 ? 3 ,

a3 ? 5 ? 2 ? 3 ? a1 ? a2 , a4 ? 8 ? 3 ? 5 ? a2 ? a3 ,
由此推断 a5 ? a3 ? a4 ? 5 ? 6 ? 13, a6 ? a4 ? a5 ? 8 ? 13 ? 21,故黑色正方形互不相邻 .... 着色方案共有 21 种;由于给 6 个正方形着黑色或白色,每一个小正方形有 2 种方法,所以 一共有 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 64 种方法,由于黑色正方形互不相邻 着色方案共有 21 ....
6

种,所以至少有两个黑色正方形相邻 着色方案共有 64 ? 21 ? 43 种着色方案,故分别填 ..

21,43.
7.(2011 年高考全国卷理科 13) (1- x ) 的二项展开式中,x 的系数与 x 的系数之差为 .
20 9

【答案】0 【解析】 Tr ?1 ? (?1) c20 ( x ) ? (?1) c20 x 2 ,令
r r r r r r

r r ? 1得r ? 2, ? 9得r ? 18 2 2
18 18 2

所以 x 的系数为 (?1) c20 ? c20 , x 的系数为(-1) c20 ? c20
2 2 2 9 2 2 故 x 的系数与 x 的系数之差为 c20 - c20 =0
9

8.(2011 年高考北京卷理科 12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这 样的四位数共有__________个。 (用数字作答)

【答案】14 三、解答题: 1.(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分) 设 整 数 n ? 4 , P (a, b) 是 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 的 点 , 其 中

a, b ?{1, 2,3,

, n}, a ? b

(1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn 解析:考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力,较难题。 ( 1 ) 因 为 满 足 a ? b ? 3 a, b ?{1, 2,3,

1 3

, n}, a ? b 的 每 一 组 解 构 成 一 个 点 P, 所 以

An ? n ? 3 。
(2)设 ( a ? b) ? k ? N ,则 a ? b ? 3k , 0 ? 3k ? n ? 1,? 0 ? k ?
*

1 3

n ?1 , 3

对每一个 k 对应的解数为:n-3k,构成以 3 为公差的等差数列; 当 n-1 被 3 整除时,解数一共有: 1 ? 4 ? 当 n-1 被 3 除余 1 时,解数一共有: 2 ? 5 ? 当 n-1 被 3 除余 2 时,解数一共有: 3 ? 6 ?

? n?3 ?

1 ? n ? 3 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? 2 3 6 2 ? n ? 3 n ? 2 (n ? 2)(n ? 1) ? n?3 ? ? 2 3 6 3 ? n ? 3 n ? 3 (n ? 3)n ? n?3 ? ? 2 3 6

? (n ? 1)(n ? 2) , n ? 3k ? 1orn ? 3k ? 2 ? ? 6 ? Bn ? ? (k ? N * ) (n ? 3)n ? , n ? 3k ? 3 ? 6 ?